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    等價無窮小在求極限運算中的應用

    2014-08-01 14:43:35孫衛(wèi)衛(wèi)杜美華孫建英
    赤峰學院學報·自然科學版 2014年10期
    關鍵詞:洛必達等價青島

    孫衛(wèi)衛(wèi),杜美華,孫建英

    (青島理工大學琴島學院,山東青島266106)

    等價無窮小在求極限運算中的應用

    孫衛(wèi)衛(wèi),杜美華,孫建英

    (青島理工大學琴島學院,山東青島266106)

    本文主要是討論等價無窮小在極限運算中的應用.通過應用極限的四則運算法則證明,得到這樣的結論:在求極限中的乘除運算與冪指函數(shù)的求極限當中,等價無窮小可以做到無條件的替換,而在加減運算中可以做到有條件的替[1]換.這樣使得等價替換在型未定式的計算中可以有效的減少計算量,在一定程度上比洛必達法則求解問題更加的簡捷.

    極限;等價無窮?。坏葍r替換;洛必達法則;未定式

    在高等數(shù)學中,我們都了解等價無窮小在求極限的乘除運算中是可以替換的.

    1 定理1

    在自變量的同一變化過程中,若α1(x)~α2(x),β1(x)~β2(x),則有以下結論:

    例1(1)

    (2)

    (3)

    (4)

    例2

    如果在本題的分子中直接采用等價無窮小替換,也會得到同樣的結果,即

    我們似乎感覺等價無窮小在加減運算中也是可以替換的,但是在例1中的(1)、(2)中若用等價替換:

    這樣又會得到錯誤的結果.

    2 定理2

    證畢.

    證明

    證畢.

    例3(1)

    (2)

    (3)

    3 引理

    證明

    證畢.

    證明

    證明例4

    例5

    從本文中的例題中可以看出掌握等價替換的條件對我們求函數(shù),數(shù)列的極限會有很大幫助,在某種程度上可以大大減少計算量.

    〔1〕同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學(上冊)第六版[M].北京:高等教育出版社,2007.

    O13

    A

    1673-260X(2014)05-0003-02

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