一種并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法的研究*

劉平安，王 銓，廖小東

(華東交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江西 南昌 330013)

一種并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法的研究*

劉平安，王 銓，廖小東

(華東交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江西 南昌 330013)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)形式多樣，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型多為非線性方程組，建立和求解往往很復(fù)雜，要獲得其位置分析封閉解更是具有較大難度。通過數(shù)值法建模后，運(yùn)用連續(xù)法利用Matlab編程求解復(fù)雜并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，具有事半功倍的效果，為并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和求解提供了一種有效途徑。

并聯(lián)機(jī)器人 位置分析 連續(xù)法 Matlab

1 引 言

并聯(lián)機(jī)器人一般為上、下平臺(tái)即動(dòng)、靜平臺(tái)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的運(yùn)動(dòng)支鏈相連，機(jī)構(gòu)具有兩個(gè)或兩個(gè)以上自由度，且以并聯(lián)方式驅(qū)動(dòng)的閉環(huán)機(jī)構(gòu)[1]。由于自身的多環(huán)閉鏈結(jié)構(gòu)使得相比串聯(lián)機(jī)構(gòu)在性能上有很多優(yōu)點(diǎn)，如剛度高、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、承載能力強(qiáng)、運(yùn)動(dòng)慣性小、誤差小、精度高、動(dòng)力學(xué)性能好、控制容易等。但由于并聯(lián)機(jī)器人中出現(xiàn)的多環(huán)閉鏈結(jié)構(gòu)使得分析研究變得復(fù)雜，如對機(jī)構(gòu)尺寸的優(yōu)化設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的建立與求解，奇異性分析及控制等，這些問題直接影響著并聯(lián)機(jī)器人的應(yīng)用與發(fā)展。國內(nèi)外關(guān)于并聯(lián)機(jī)器人的研究主要集中于結(jié)構(gòu)學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)和控制策略的研究等幾個(gè)方面。其中并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)主要研究并聯(lián)機(jī)器人的構(gòu)型綜合、運(yùn)動(dòng)分析、奇異位型、工作空間和靈巧度分析以及位置校準(zhǔn)等。這項(xiàng)研究是實(shí)現(xiàn)機(jī)器人設(shè)計(jì)、控制和應(yīng)用研究的基礎(chǔ)，因而在并聯(lián)機(jī)器人的研究中占有重要的基礎(chǔ)地位。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模的方法

并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析包括位置分析、速度分析和加速度分析，其中位置分析是指求解輸入與輸出構(gòu)件之間的位置關(guān)系，是機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析的最基本任務(wù)，是對機(jī)構(gòu)進(jìn)行速度和加速度分析，動(dòng)力學(xué)分析等的基礎(chǔ)[2]，也是運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的關(guān)鍵，它包括位置正解和位置反解。與串聯(lián)機(jī)器人相反，并聯(lián)機(jī)器人位置逆解較容易，而正解非常復(fù)雜，尤其難有統(tǒng)一的方法，且普遍存在多解情況。位置求解常用的方法包括解析解法[3]、數(shù)值解法[4]和附加傳感器法[5]。

數(shù)值算法是其中一種最常用的方法，它可求解任何并聯(lián)機(jī)構(gòu)，建立數(shù)學(xué)模型相對容易。數(shù)值解法采用非線性方程的方法，通過優(yōu)化搜索或迭代來逼近真實(shí)解，當(dāng)給定初值時(shí)，尋找一個(gè)在初值附近較合適的解。數(shù)值解法的優(yōu)點(diǎn)是數(shù)學(xué)模型比較簡單，最大缺點(diǎn)是位置初值不易確定，易造成搜索不收斂，一次只能得到一組解，不能給出全部解。欲研究機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)首先必須建立機(jī)器人各桿件的構(gòu)件坐標(biāo)系，進(jìn)而根據(jù)機(jī)構(gòu)特點(diǎn)建立機(jī)構(gòu)約束方程。由于機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)多為非線性問題，故建立的方程常為非線性多項(xiàng)式方程組，因此我們對于并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解主要是求解非線性多項(xiàng)式方程組。建模過程如圖1所示。

圖1 過程流程圖

連續(xù)法是20世紀(jì)70年代開始進(jìn)入實(shí)用求解非線性方程的數(shù)學(xué)方法[6]。連續(xù)法有2個(gè)突出的特點(diǎn)，①方程求解時(shí)無需給出較高的初始值；②可一次性求得方程組的全部解。筆者結(jié)合Matlab[7]運(yùn)用連續(xù)法來求解多項(xiàng)式方程組的解，即利用Matlab的可編程能力編出連續(xù)法的通用程序來求解一般的并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。其流程圖如圖2所示。

圖2 程序流程圖

3 典型并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

3.1 4-RPUR[8]并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

如圖3所示，4-RPUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)包含4條RPUR支鏈，并且每條支鏈由2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，1個(gè)移動(dòng)副和1個(gè)萬向鉸組成。分別以動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系相對于靜平臺(tái)的位姿，由分析可知具有三個(gè)移動(dòng)和繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，選取動(dòng)平臺(tái)中心到各端點(diǎn)Pi的距離為m，靜平臺(tái)半徑為R；驅(qū)動(dòng)桿EiBi長度為Li，連桿PiEi長度為L0，PiEi與Zd軸反方向夾角為β，繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，相對轉(zhuǎn)角為φ，各驅(qū)動(dòng)桿與靜平臺(tái)之間的夾角為θi。設(shè)Ei在坐標(biāo)系Oi-xiyizi的向量為(xi0zi)T(i=1～4)

由分析知：

動(dòng)平臺(tái)的位姿可以定義為矩陣：

(1)

設(shè)Pi在圖3動(dòng)坐標(biāo)系中的向量可表示為Pi′，有：

(2)

故其在定坐標(biāo)系中位置可表示為：

(i=1～4)

(3)

由以上可知機(jī)構(gòu)的方程為：

(4)

由分析知可得方程：

i=1～4

(5)

3.2 3-RPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

如圖4所示3-RPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)中每條支鏈由一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，一個(gè)移動(dòng)副和一個(gè)圓柱副組成。分別以動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。如圖5所示，取其中一支鏈進(jìn)行分析建立約束方程。

圖4 3-RPC機(jī)構(gòu)簡圖

(6)

式中：φi、a、b為已知。

代入?yún)?shù)有：

(i=1～4)

(7)

已知px,py,pz，求li為運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，已知l1,l2,l3，求px,py,pz為運(yùn)動(dòng)學(xué)正解。

圖5 3-RPC機(jī)構(gòu)支鏈圖

4 基于Matlab實(shí)例計(jì)算與分析

對于4-RPUR機(jī)構(gòu)非線性方程一共4組，含有8個(gè)方程，8個(gè)變量。首先計(jì)算正解，其正解是關(guān)于x,y,z,θ,xi(i=1～4)的非線性方程組。

(8)

利用連續(xù)法分析知，方程含有9個(gè)未知數(shù)，故其解理論上有29=512組。

設(shè)m=0.45 m,R=0.90 m，L0=0.50 m,β=60°，取L1=L2=L3=L4=600 mm=0.6m，代入程序中得到163組收斂解，其中有4組實(shí)數(shù)解，如表1所列。

現(xiàn)取表1中的第一組數(shù)據(jù)作為反解的初始值來驗(yàn)證該程序。同理對于上述非線性方程共4組，含有8個(gè)方程，8個(gè)變量。其反解是關(guān)于L1,L2,L3,L4,xi(i=1～4)的非線性方程組。

(9)

利用連續(xù)法分析知，方程含有8個(gè)未知數(shù)，其解理論上有28=256組，設(shè)m=0.45 m,R=0.90 m，L0=0.50 m,β=60°。先?。簒=0.4 372，y=0.0 162，z=-0.1 469，cosθ=1，sinθ=0，代入程序中得到256組收斂解，其中有16組滿足要求的解如表2所列。

表1 正解中實(shí)數(shù)解值

表2 反解中滿足要求的解

表2(續(xù)) 反解中滿足要求的解

對于3-RPC機(jī)構(gòu)非線性方程共3組，含有3個(gè)方程，3個(gè)變量。首先計(jì)算正解。

故令：px=x1，px=x2，px=x3

(10)

方程含有3個(gè)未知數(shù)，其解理論上有23=8組，?。篴=0.60 m,b=0.40 m,L1=L2=L3=0.50 m，代入程序中得到8組收斂解，其中4組為有實(shí)數(shù)解，如表3所列。

表3 正解中實(shí)數(shù)解

同理取表3中第一組實(shí)數(shù)解代入程序中，含有3個(gè)方程，3個(gè)變量，令：l1=x1，l2=x2，l3=x3

(11)

方程含有3個(gè)未知數(shù)，其解理論上有23=8組，

取a=0.6,b=0.4,px=0.4，py=0.2 309,pz=0.4 583，代入程序得到8組收斂解，其中1組實(shí)數(shù)解為：l1=0.5 000，l2=0.5 001，l3=0.5 000。

通過正反解比較知，正解的數(shù)據(jù)反解數(shù)據(jù)中，其偏差的數(shù)量級(jí)在10-4～10-5之間，可見Matlab在實(shí)際求解復(fù)雜并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正反解時(shí)精度足夠高，滿足對動(dòng)力學(xué)分析精度的要求，并且求解速度快，該程序還可重復(fù)使用，有效的為我們對于不同的機(jī)構(gòu)的正反解提供了一定的理論和實(shí)踐。

5 結(jié) 語

對于較復(fù)雜結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機(jī)器人來說，其運(yùn)動(dòng)學(xué)分析一直是機(jī)構(gòu)分析的基礎(chǔ)與難點(diǎn)，特別是對于并聯(lián)機(jī)器人的正解而言，其存在的解有多種，常規(guī)的方法求解速度慢、效率低并且可能不能求出所有的解。通過實(shí)例證明了利用Matlab編制通用程序?qū)Σ⒙?lián)機(jī)器人的正反解進(jìn)行求解速度快、精度高。該方法對于同類問題具有普遍意義，為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析提供了便利。并且Matlab還提供了良好的外部程序接口，便于這些正反解的計(jì)算結(jié)果直接導(dǎo)入到機(jī)器人的控制系統(tǒng)中，為機(jī)構(gòu)的后續(xù)分析研究提供了理論基礎(chǔ)。

[1] 黃 真，孔令福，方躍法.并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論及控制[M]．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1997．

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The Study of Kinematical Modeling Method for a Kind of Parallel Manipulators

LIU Ping-an，WANG Quan，LIAO Xiao-dong

(SchoolofMechatronicsEngineering,EastChinaJiaotongUniversity,NanchangJiangxi330013,China)

Parallel manipulator has a variety forms, the structure is complex, and its kinematic model mostly is nonlinear equations, their setting up and solving are often very complicated, so to get the position of closed-form solution is even more difficult. In this paper, through numerical modeling method, by using the continuous method and Matlab programming has a good effect to solve the complex problem of kinematics of parallel manipulator. It provides an effective way for the parallel robot kinematics modeling and solving.

parallel manipulator; position analysis; continuous method; Matlab

2013-12-02

劉平安(1962-)，男，江西萍鄉(xiāng)人，教授，主要從事機(jī)械設(shè)計(jì)、機(jī)構(gòu)學(xué)、機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)方面的研究工作。

TH112

A

1007-4414(2014)01-0114-05