深埋隧道素混凝土襯砌可靠度計(jì)算模型研究

李 奎，趙東平，路軍富

(中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，四川成都 610031)

1998年國際標(biāo)準(zhǔn)組織(ISO)頒布了《ISO2394:1998結(jié)構(gòu)可靠性總原則》，為各國規(guī)范編制起到引領(lǐng)性作用。1992年我國頒布了《工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》(GB 50153)，此后國內(nèi)逐步建立了國家、部門和行業(yè)三個(gè)層次的標(biāo)準(zhǔn)。2008年，我國對(duì)可靠性設(shè)計(jì)的國標(biāo)進(jìn)行了全面修訂，形成了《工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》(GB 50153—2008)。目前，美國、歐盟、日本、俄羅斯等國家和地區(qū)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范均采用了極限狀態(tài)設(shè)計(jì)方法。世界各國采用基于概率論的極限狀態(tài)設(shè)計(jì)方法是大勢(shì)所趨。這也是本輪國內(nèi)各部門、行業(yè)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范轉(zhuǎn)軌研究的大背景及動(dòng)力源泉。而建立正確的隧道結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算模型是本次隧道設(shè)計(jì)規(guī)范轉(zhuǎn)軌的前提條件。

1 隧道結(jié)構(gòu)可靠度研究現(xiàn)狀

2006年日本土木學(xué)會(huì)對(duì)《隧道設(shè)計(jì)規(guī)范(盾構(gòu))及解說》進(jìn)行修訂[1]，增補(bǔ)了概率極限狀態(tài)設(shè)計(jì)方法，并且與容許應(yīng)力法一起，都可在管片結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)選用。2009年日本早稻田大學(xué)小泉淳教授領(lǐng)導(dǎo)的管片設(shè)計(jì)方法研究部主編了《盾構(gòu)隧道管片設(shè)計(jì)——從容許應(yīng)力設(shè)計(jì)法到極限狀態(tài)設(shè)計(jì)法》[2]，代表了日本盾構(gòu)隧道管片極限狀態(tài)法設(shè)計(jì)的最新成果。日本明挖隧道設(shè)計(jì)已經(jīng)采用極限狀態(tài)法，美國未見針對(duì)隧道的專業(yè)規(guī)范，但其極限狀態(tài)理論體系是完善的，歐洲普遍采用極限狀態(tài)設(shè)計(jì)方法，在隧道設(shè)計(jì)時(shí)參考建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范。

20世紀(jì)90年代以來，國內(nèi)鐵路隧道行業(yè)開展了鐵路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范的可靠性規(guī)改，相關(guān)研究結(jié)果為規(guī)范的修訂起到了推動(dòng)作用。

2002年景詩庭等[3]全面總結(jié)了當(dāng)時(shí)隧道結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算的研究成果。2004年宋玉香等[4]針對(duì)隧道結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算的輸入隨機(jī)變量具有有限統(tǒng)計(jì)樣本的特點(diǎn)，將響應(yīng)面法應(yīng)用于隧道襯砌的可靠性分析。2006年伍國軍等[5]基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型，提出了多元線性或非線性回歸擬合顯式的功能函數(shù)，然后對(duì)圓形隧洞的襯砌結(jié)構(gòu)進(jìn)行敏感性和可靠性分析。2007年李志華[6]開展了施工期盾構(gòu)隧道開挖面穩(wěn)定及初期支護(hù)結(jié)構(gòu)可靠度、使用期隧道空間結(jié)構(gòu)體系可靠度和抗震可靠度、老化期隧道結(jié)構(gòu)可靠度三方面的研究。2008年宋玉香等[7]應(yīng)用概率理論及工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度分析方法，對(duì)整個(gè)隧道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度進(jìn)行了探討。2012年姚貝貝等[8]開展了基于響應(yīng)面和重要抽樣法的隧道襯砌結(jié)構(gòu)時(shí)變可靠度研究，發(fā)展了隧道結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法。

已有文獻(xiàn)資料表明，隧道結(jié)構(gòu)可靠性研究主要集中在隧道結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法、隧道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度、時(shí)變可靠度等方面。由于隧道結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算模型輸入的隨機(jī)變量缺少真實(shí)的概率分布類型和統(tǒng)計(jì)特征，基礎(chǔ)研究都很不充分，如作用效應(yīng)和結(jié)構(gòu)抗力是否符合計(jì)算的假定等。到目前為止，相關(guān)科研課題仍然沒有很好地解決這些問題，因此，本文借助探討深埋隧道素混凝土襯砌可靠度計(jì)算模型，歸納總結(jié)當(dāng)前隧道結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算存在的一些關(guān)鍵問題。

2 素混凝土襯砌可靠度計(jì)算模型

隧道二次襯砌的功能函數(shù)可以歸納為兩個(gè)綜合隨機(jī)變量，即作用效應(yīng)S和結(jié)構(gòu)抗力R。其中，作用效應(yīng)S是指襯砌上的作用引起的各種內(nèi)力(軸力和彎矩)、變形、位移等;而襯砌抗力R是指襯砌抵抗破壞或變形的能力，如極限強(qiáng)度、極限內(nèi)力和剛度等。當(dāng)僅有作用效應(yīng)和結(jié)構(gòu)抗力兩個(gè)綜合變量時(shí)，隧道二次襯砌的功能函數(shù)可簡化為

荷載—結(jié)構(gòu)模型和地層—結(jié)構(gòu)模型是地下結(jié)構(gòu)計(jì)算最常用的兩種計(jì)算模型，但是只有基于荷載—結(jié)構(gòu)模型的隧道結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算模型才是當(dāng)前隧道結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)最成熟的模型。

2.1 襯砌可靠度計(jì)算方法研究

常用計(jì)算隧道襯砌可靠度的方法有H-L法(優(yōu)化算法)、JC法、蒙特卡羅法和功能函數(shù)綜合變量模擬法等。

H-L法是Hasofer和Lind于1974年提出的計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的優(yōu)化算法。結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的幾何意義是在正交的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)空間中坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)面的最短距離。H-L法是從優(yōu)化的角度出發(fā)，利用迭代算法在正交的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)空間中的極限狀態(tài)面Z=g(Y)上尋求一個(gè)最優(yōu)點(diǎn)Y*(即為設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn))，使該點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)距離最短，這最短的距離即為可靠指標(biāo)。

JC法的基本原理:首先把隨機(jī)變量Xi原來的非正態(tài)分布用正態(tài)分布代替，但對(duì)于代替的正態(tài)分布函數(shù)，要求其在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)x*i處的累積概率分布函數(shù)(CDF)值和概率密度函數(shù)(PDF)值都和原來分布函數(shù)的CDF值和PDF值相同;然后根據(jù)這兩個(gè)條件求得等效正態(tài)分布的均值X—'i和標(biāo)準(zhǔn)差σ'Xi;最后用驗(yàn)算點(diǎn)法計(jì)算結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)。

蒙特卡羅法(Monte Carlo method)是一種被業(yè)界公認(rèn)的計(jì)算精度較高的隨機(jī)模擬方法，是以概率和統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法。其求解結(jié)構(gòu)失效概率的思路:先對(duì)影響結(jié)構(gòu)可靠度的隨機(jī)變量進(jìn)行大量隨機(jī)抽樣，然后把這些抽樣值一組一組地代入功能函數(shù)式，確定結(jié)構(gòu)失效與否，最后從中求得結(jié)構(gòu)的失效概率。

功能函數(shù)綜合變量模擬法是將功能函數(shù)簡化為作用效應(yīng)和結(jié)構(gòu)抗力兩個(gè)綜合隨機(jī)變量后，運(yùn)用蒙特卡羅法中的拉丁超立方抽樣技術(shù)模擬綜合隨機(jī)變量，再通過函數(shù)擬合及分布假設(shè)檢驗(yàn)，分析作用效應(yīng)和結(jié)構(gòu)抗力的分布類型，最后選用正確的可靠度指標(biāo)的計(jì)算方法，即中心點(diǎn)法和驗(yàn)算點(diǎn)法(H-L法和JC法等)。本文研究深埋隧道素混凝土襯砌可靠度計(jì)算模型時(shí)采用功能函數(shù)綜合變量模擬法。

ANSYS程序中的PDS模塊將有限元分析與概率設(shè)計(jì)相結(jié)合，可以采用蒙特卡羅法中的拉丁超立方抽樣技術(shù)。拉丁超立方抽樣技術(shù)，能夠避免抽取的數(shù)據(jù)過多而重復(fù)，收斂較快，能夠有效地改進(jìn)抽樣效率。當(dāng)隨機(jī)變量的分布類型為正態(tài)分布時(shí)，采用截?cái)喔咚闺S機(jī)變量的拉丁超立方抽樣技術(shù)，可使抽樣集中在均值加減2倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)。

2.2 襯砌可靠度指標(biāo)計(jì)算方法

已知作用效應(yīng)S的均值μS、方差σS和變異系數(shù)δS，結(jié)構(gòu)抗力R的均值μR、方差σR和變異系數(shù)δR。隧道二次襯砌可靠度指標(biāo)的計(jì)算方法主要有如下三種情況。

1)S和R均為正態(tài)分布

S和R均為正態(tài)分布是最簡單的一種情況，結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)β的計(jì)算公式為

2)S和R均為對(duì)數(shù)正態(tài)分布

S和R均為對(duì)數(shù)正態(tài)分布也是一種比較簡單的情況，結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)的計(jì)算公式為

3)S為正態(tài)分布，R為對(duì)數(shù)正態(tài)分布

這種情況結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算稍微復(fù)雜，可以采用JC法計(jì)算結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)，可靠度指標(biāo)計(jì)算沒有簡單的公式，需要采用迭代計(jì)算。

2.3 素混凝土襯砌極限狀態(tài)方程

深埋隧道素混凝土二次襯砌判斷抗拉、抗壓破壞功能函數(shù)如下。

1)當(dāng)e0＞0.2h時(shí)按抗拉強(qiáng)度計(jì)算，其功能函數(shù)為

2)當(dāng)e0≤0.2h時(shí)按抗壓強(qiáng)度計(jì)算，其功能函數(shù)為

式中:N為模型計(jì)算軸力，kN;M為模型計(jì)算彎矩，kN·m;b為截面寬度，m;h為截面高度，m;e0為軸向力偏心距，e0=M/N;fc為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，kPa;ft為混凝土軸心抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，kPa;α為軸向力偏心影響系數(shù)，按有關(guān)公式計(jì)算，本處略;N，M，h，fc，ft，α 均為隨機(jī)變量。

3 可靠度計(jì)算模型算例及分析

3.1 計(jì)算模型及輸入?yún)?shù)

ANSYS中荷載—結(jié)構(gòu)模型用梁單元(Beam3)模擬二次襯砌，用桿單元(Link10)模擬圍巖對(duì)二次襯砌變形的約束作用。

以時(shí)速200 km通用參考圖中Ⅲ級(jí)雙線隧道為例，隧道二次襯砌為C30素混凝土，隧道二次襯砌可靠度計(jì)算模型如圖1所示，結(jié)構(gòu)單元共計(jì)82個(gè)。

圖1 隧道二次襯砌有限元模型

襯砌可靠度計(jì)算模型中輸入?yún)?shù)有10個(gè)隨機(jī)變量(暫時(shí)不計(jì)偏心影響系數(shù)的變異性)，根據(jù)調(diào)研以往規(guī)改研究成果，隨機(jī)變量的分布類型均假定為正態(tài)分布，其統(tǒng)計(jì)特征如表1所示。在隧道結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算模型中隨機(jī)變量輸入的是均值，而不是標(biāo)準(zhǔn)值或設(shè)計(jì)值。此外，模型中還需要輸入的參數(shù)包括混凝土泊松比(0.2)、混凝土極限壓應(yīng)變(0.003 3)、鋼筋的彈性模量(200 GPa)、隧道開挖寬度(13.32 m)、深埋隧道二次襯砌荷載分擔(dān)比例(0.3)等，這些參數(shù)均為常量。

表1 襯砌可靠度計(jì)算輸入隨機(jī)變量

3.2 作用效應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征模擬

對(duì)隨機(jī)變量采用拉丁超立方抽樣，大量的研究結(jié)果表明，拉丁超立方抽樣1萬次已經(jīng)能夠滿足計(jì)算精度要求。

根據(jù)二次襯砌素混凝土的極限狀態(tài)方程，作用效應(yīng)為截面軸力。考察各截面的作用效應(yīng)的頻率直方圖，以拱頂截面為例，作用效應(yīng)的頻率直方圖如圖2所示。通過經(jīng)驗(yàn)判斷(非嚴(yán)格檢驗(yàn))，初步認(rèn)為二次襯砌素混凝土作用效應(yīng)的分布類型是正態(tài)分布。

圖2 拱頂截面抽樣1萬次作用效應(yīng)頻率直方圖

素混凝土襯砌的作用效應(yīng)均值分布如圖3所示，作用效應(yīng)均值約為116.10～262.26 kN;作用效應(yīng)的變異系數(shù)分布如圖4所示，變異系數(shù)約為0.130～0.175。

圖3 作用效應(yīng)均值分布

圖4 作用效應(yīng)的變異系數(shù)分布

分析可知，在圍巖壓力及襯砌自重的作用下，二次襯砌拱部的作用效應(yīng)均值明顯小于邊墻及仰拱的作用效應(yīng)均值，而拱部作用效應(yīng)的變異系數(shù)要大于邊墻及仰拱。

3.3 結(jié)構(gòu)抗力統(tǒng)計(jì)特征模擬

根據(jù)二次襯砌素混凝土的極限狀態(tài)方程，結(jié)構(gòu)抗力為計(jì)算軸力，不是模型計(jì)算時(shí)截面軸力(作用效應(yīng))。

考察各截面結(jié)構(gòu)抗力的頻率直方圖(圖5)，通過經(jīng)驗(yàn)判斷(非嚴(yán)格檢驗(yàn))，二次襯砌素混凝土結(jié)構(gòu)抗力的分布類型可能是正態(tài)分布，如圖5(a)所示，也可能是對(duì)數(shù)正態(tài)分布，如圖5(b)所示。

圖5 截面抽樣1萬次結(jié)構(gòu)抗力頻率直方圖

素混凝土襯砌結(jié)構(gòu)抗力的均值分布如圖6所示，抗力均值約為1.39～11.78 MN;抗力變異系數(shù)分布如圖7所示，變異系數(shù)約為0.128～0.262。分析可知，在圍巖壓力及襯砌自重的作用下，二次襯砌拱部的軸力統(tǒng)計(jì)特征變化較大。

圖6 結(jié)構(gòu)抗力均值分布

3.4 結(jié)構(gòu)抗力分布類型對(duì)襯砌可靠度計(jì)算的影響

從前文分析可知，在圍巖壓力及結(jié)構(gòu)自重的作用下，可以初步認(rèn)為二次襯砌作用效應(yīng)的分布類型是正態(tài)分布，而二次襯砌結(jié)構(gòu)抗力的分布類型可能是正態(tài)分布，也可能是對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

圖7 結(jié)構(gòu)抗力變異系數(shù)分布

當(dāng)抗力分布類型為正態(tài)分布時(shí)，可靠度指標(biāo)計(jì)算只需要采用蒙特卡羅法，而當(dāng)抗力分布類型為對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，可靠度指標(biāo)計(jì)算需要采用蒙特卡羅法與JC法相結(jié)合的綜合方法。圖8為結(jié)構(gòu)抗力分別為正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)素混凝土襯砌的可靠度指標(biāo)對(duì)比。分析可知，結(jié)構(gòu)抗力為對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)素混凝土襯砌的可靠度指標(biāo)是結(jié)構(gòu)抗力為正態(tài)分布時(shí)的2.13～3.67倍。

圖8 不同方法計(jì)算襯砌可靠度指標(biāo)對(duì)比

由此可見，計(jì)算隧道二次襯砌各截面的可靠度指標(biāo)時(shí)，科學(xué)地判斷結(jié)構(gòu)抗力的分布類型是非常關(guān)鍵的，這關(guān)系到襯砌可靠度指標(biāo)計(jì)算方法的選擇及可靠度指標(biāo)是否合理。

4 結(jié)論

本文重點(diǎn)探討了基于荷載—結(jié)構(gòu)模型的素混凝土襯砌可靠度計(jì)算模型，包括可靠度計(jì)算方法、可靠度指標(biāo)計(jì)算方法和極限狀態(tài)方程，并以時(shí)速200 km通用參考圖中Ⅲ級(jí)雙線隧道素混凝土襯砌為例，分析了隧道二次襯砌的作用效應(yīng)及結(jié)構(gòu)抗力的概率分布類型和統(tǒng)計(jì)特征，以及結(jié)構(gòu)抗力分布類型對(duì)結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)計(jì)算的影響。結(jié)論如下:

1)采用蒙特卡羅法計(jì)算隧道結(jié)構(gòu)可靠度是一種精度較高的計(jì)算方法。當(dāng)隨機(jī)變量為正態(tài)分布時(shí)，采用截?cái)喔咚闺S機(jī)變量的拉丁超立方抽樣技術(shù)，可使正態(tài)分布的隨機(jī)變量抽樣集中在均值加減2倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)。

2)隧道襯砌的功能函數(shù)可歸納為作用效應(yīng)和結(jié)構(gòu)抗力兩個(gè)綜合隨機(jī)變量，作用效應(yīng)和結(jié)構(gòu)抗力的概率分布類型直接影響到襯砌可靠度指標(biāo)計(jì)算方法的選擇。

3)初步判斷隧道素混凝土二襯作用效應(yīng)的分布類型為正態(tài)分布，結(jié)構(gòu)抗力的分布類型可能是正態(tài)分布，也可能是對(duì)數(shù)正態(tài)分布。計(jì)算隧道襯砌可靠度指標(biāo)時(shí)需要嚴(yán)格判斷各截面的抗力分布類型。

[1](日)土木學(xué)會(huì).隧道標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范(盾構(gòu)篇)及解說[M].北京:中國建筑工業(yè)出版社，2011.

[2]小泉淳.盾構(gòu)隧道管片設(shè)計(jì)——從容許應(yīng)力設(shè)計(jì)法到極限狀態(tài)設(shè)計(jì)法[M].北京:中國建筑工業(yè)出版社，2012.

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[8]姚貝貝，孫均.基于響應(yīng)面和重要抽樣法的隧道襯砌結(jié)構(gòu)時(shí)變可靠度[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，40(10):1475-1479.