解析幾何中有關參數(shù)范圍問題的求解策略

劉源

解析幾何中的參數(shù)范圍問題是一類綜合性強、變量多、涉及知識面廣的題目，因而也是解幾中的一個難點問題。這類問題往往運用函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結合思想等，將問題轉化為求函數(shù)的值域或最值等來解決。

一、運用數(shù)形結合探求參數(shù)范圍

例1、m為何值時，直線y=-x+m與半橢圓（y≥1）只有一個公共點？

分析：因為橢圓（y≥1）為半條曲線，若利用方程觀點研究這類問題則需轉化成根的分布問題，較麻煩且易出錯，若用數(shù)形結合的思想來研究直觀易解。如圖1，l1、l2、l3是直線系y=-x+m中的三條直線，這三條直線是直線系中的直線與半橢圓交點個數(shù)的“界線”，在l1與l2之間的直線（含l1，不含l2）及l(fā)3都是與半橢圓只有一個公共點的直線，而m是這些直線在y軸上的截距，由此可求m的范圍。

簡解：l1過（，1） ∴ ∴

l1過（，1） ∴ ∴

（y≥1）

由 得到關于x的一元二次方程

y=-x+m

利用△=0得m=6. 綜上所得，≤m< 或m=6。

例2.若直線mx+y+2=0與線段AB有交點，其中A（-2， 3），B（3，2），求實數(shù)m的取值范圍。

解：如圖2，直線mx+y+2=0過一定點C（0， -2），直線mx+y+2=0實際上表示的是過定點（0， -2）的直線系，因為直線與線段AB有交點，則直線只能落在∠ABC的內部，

設BC、CA這兩條直線的斜率分別為k1、k2，則由斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應滿足k≥k1或k≤k2， ∵A（-2， 3） B（3， 2）

∴

∴-m≥或-m≤即m≤-或m≥。

說明：此例是典型的運用數(shù)形結合的思想來解題的問題，這里要清楚直線mx+y+2=0的斜率-m應為傾角的正切，而當傾角在（0°，90°）或（90°，180°）內，角的正切函數(shù)都是單調遞增的，因此當直線在∠ACB內部變化時，k應大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，當A、B兩點的坐標變化時，也要能求出m的范圍。

二、構造含參不等式探求參數(shù)范圍

例3 . 已知拋物線 的頂點在原點，以雙曲線的左準線為準線。

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）若直線（）垂直平分拋物線C的弦，求實數(shù)k的取值范圍。

分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關系的問題，可以設法得到關于 的不等式，通過

解不等式求出k的范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘邔?表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出k的范圍。

解：（Ⅰ）雙曲線的左準線方程是，

故拋物線C的方程為；

（Ⅱ）設拋物線C被直線l垂直平分的弦AB的方程為，

則…①

設、，則，，從而弦AB的中點，由此及點M在直線l上得：，代入①式得：，

解之得：，故實數(shù)k的取值范圍是（-2，0）。

三、運用幾何性質探求參數(shù)范圍

例4.已知橢圓，A，B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P（x0，0），證明：.

分析：欲證x0滿足關于參數(shù)a、b的不等式，須從題中找出不等關系，由橢圓的性質可知，橢圓上的點的坐標滿足如下條件：-a≤x≤a，因此問題轉化為尋求x0與x的關系。

簡解：由題設知，點P在線段AB的垂直平分線上，所以|AP|=|BP|，若設A（x1，y1），B（x2，y2），則有：（x1-x0）2+y12=（x2-x0）2+y22，因為點A、B在橢圓上，所以，

，從而由-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，可得：

。

四、構造方程運用判別式探求參數(shù)范圍

例5. 直線的右支交于不同的兩點A、B.

（I）求實數(shù)k的取值范圍； （II）略.

解：（Ⅰ）將直線

依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，故

例7.在以O為原點的直角坐標系中，點A（4，-3）為△OAB的直角頂點.已知|AB|=2|OA|，且點B的縱坐標大于零.

（1）求向量AB的坐標；（2）求圓關于直線OB對稱的圓的方程；

（3）是否存在實數(shù)a，使拋物線上總有關于直線OB對稱的兩個點？若不存在，說明理由：若存在，求a的取值范圍.

解：（1）設得所以v-3>0，得v=8，故AB={6，8}.

（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直線OB方程：

由條件可知圓的標準方程為：（x-3）2+y（y+1）2=10， 得圓心（3，-1），半徑為 .

設圓心（3，-1）關于直線OB的對稱點為（x ，y）則

故所求圓的方程為（x-1）2+（y-3）2=10.

（3）設P （x1，y1）， Q （x2，y2）為拋物線上關于直線OB對稱兩點，則

故當時，拋物線y=ax2-1上總有關于直線OB對稱的兩點.