重視角在解三角函數(shù)題中的作用

文/薛存義

摘 要：三角函數(shù)是高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識點(diǎn)，它有其自身的特殊性，角的應(yīng)用會對解三角函數(shù)題起到積極作用。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；角；例題

三角函數(shù)在江蘇高考中占到了很大的分值，而由于三角函數(shù)公式繁多，學(xué)生記憶比較困難，就更不用提靈活運(yùn)用公式去處理題目。今天筆者希望能夠通過一些題目，提供關(guān)于三角函數(shù)的學(xué)習(xí)方法。

因?yàn)槿呛瘮?shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，也就是說它既具有三角函數(shù)的特性，也具有函數(shù)的性質(zhì)。而三角函數(shù)區(qū)別于其他的函數(shù)就在于它的自變量是角，所以求解三角函數(shù)的題目時(shí)可以抓住“角”，以此來把握解三角函數(shù)題的思路，靈活運(yùn)用公式。下面通過幾個(gè)例題從不同的側(cè)面來闡述重視角的作用對解題的好處。

例1.設(shè)sin（■+α）=■，求sin2α。

思路一：運(yùn)用兩角和的正弦公式對sin（■+θ）=■展開，求出sinα+cosα=■，然后再兩邊平方，抓住sin2α+cos2α=1，求出2sinα cosα=-■，即sin2α=-■。

解：sin（■+α）=sin■cosα+cos■sinα=■，得sinα+cosα=■，（sinα+cosα）2=sin2α+2sinα cosα+cos2α=■，得2sinα cosα=

-■，即sin2α=-■。

思路二：通過觀察已知角和未知角之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)已知角■+α的兩倍減去■等于未知角2α，再運(yùn)用誘導(dǎo)公式和二倍角公式直接解題。

解：sin2α=sin［2（■+α）-■］=-2cos2（■+α）=-［1-2sin2（■+α）］=-■。

點(diǎn)評：這題思路一和思路二都可以將題目解出來，但是從思路二的解題過程，可以清晰地發(fā)現(xiàn)這道題目使用的公式，使我們用公式更加有的放矢。

例2.（2012年江蘇高考題）設(shè)α為銳角，若cos（■+α）=■，求sin（2α+■）。

思路一：運(yùn)用兩角和的余弦公式，求出■cosα-■sinα=■，再與sin2α+cos2α=1聯(lián)立方程組，求出sinα和cosα，進(jìn)而求出sin2α和cos2α，再利用兩角和的正弦公式求出sin（2α+■）。

思路二：通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知角■+α與未知角2α+■滿足2（■+α）-（2α+■）=■，所以sin（2α+■）=sin［2（■+α）-■］=sin2（■+α）cos■+cos2（■+α）sin■=■sin2（■+α）+■cos2（■+α），所以現(xiàn)在只要求到sin2（■+α）和cos2（■+α）即可。此時(shí)，sin2（■+α）=2sin（■+α）cos（■+α），只需要求到sin（■+α），而sin（■+α）和cos（■+α）滿足同角三角函數(shù)直接的關(guān)系；對于cos2（■+α）可運(yùn)用二倍角公式cos2（■+α）=2cos2（■+α）-1求得。

點(diǎn)評：思路一，從理論上講是可行的，但在解■cosα-■sinα=■與sin2α+cos2α=1形成的方程組時(shí)，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算量很大，根本無法很快求出sinα和cosα，更加不要說求出sin2α和cos2α了。但如果運(yùn)用思路二，就可以很清晰地求出函數(shù)的值，而且運(yùn)算量也不是很大，同時(shí)也可以有的放矢地使用公式。

從上述兩道例題，可以清晰地看出通過觀察已知角和未知角直接的關(guān)系去求解三角函數(shù)題，不僅可以簡化計(jì)算，而且可以使我們更靈活地運(yùn)用公式。所以，在解三角函數(shù)題時(shí)要重視角的作用。

編輯 董慧紅

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摘 要：三角函數(shù)是高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識點(diǎn)，它有其自身的特殊性，角的應(yīng)用會對解三角函數(shù)題起到積極作用。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；角；例題

三角函數(shù)在江蘇高考中占到了很大的分值，而由于三角函數(shù)公式繁多，學(xué)生記憶比較困難，就更不用提靈活運(yùn)用公式去處理題目。今天筆者希望能夠通過一些題目，提供關(guān)于三角函數(shù)的學(xué)習(xí)方法。

因?yàn)槿呛瘮?shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，也就是說它既具有三角函數(shù)的特性，也具有函數(shù)的性質(zhì)。而三角函數(shù)區(qū)別于其他的函數(shù)就在于它的自變量是角，所以求解三角函數(shù)的題目時(shí)可以抓住“角”，以此來把握解三角函數(shù)題的思路，靈活運(yùn)用公式。下面通過幾個(gè)例題從不同的側(cè)面來闡述重視角的作用對解題的好處。

例1.設(shè)sin（■+α）=■，求sin2α。

思路一：運(yùn)用兩角和的正弦公式對sin（■+θ）=■展開，求出sinα+cosα=■，然后再兩邊平方，抓住sin2α+cos2α=1，求出2sinα cosα=-■，即sin2α=-■。

解：sin（■+α）=sin■cosα+cos■sinα=■，得sinα+cosα=■，（sinα+cosα）2=sin2α+2sinα cosα+cos2α=■，得2sinα cosα=

-■，即sin2α=-■。

思路二：通過觀察已知角和未知角之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)已知角■+α的兩倍減去■等于未知角2α，再運(yùn)用誘導(dǎo)公式和二倍角公式直接解題。

解：sin2α=sin［2（■+α）-■］=-2cos2（■+α）=-［1-2sin2（■+α）］=-■。

點(diǎn)評：這題思路一和思路二都可以將題目解出來，但是從思路二的解題過程，可以清晰地發(fā)現(xiàn)這道題目使用的公式，使我們用公式更加有的放矢。

例2.（2012年江蘇高考題）設(shè)α為銳角，若cos（■+α）=■，求sin（2α+■）。

思路一：運(yùn)用兩角和的余弦公式，求出■cosα-■sinα=■，再與sin2α+cos2α=1聯(lián)立方程組，求出sinα和cosα，進(jìn)而求出sin2α和cos2α，再利用兩角和的正弦公式求出sin（2α+■）。

思路二：通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知角■+α與未知角2α+■滿足2（■+α）-（2α+■）=■，所以sin（2α+■）=sin［2（■+α）-■］=sin2（■+α）cos■+cos2（■+α）sin■=■sin2（■+α）+■cos2（■+α），所以現(xiàn)在只要求到sin2（■+α）和cos2（■+α）即可。此時(shí)，sin2（■+α）=2sin（■+α）cos（■+α），只需要求到sin（■+α），而sin（■+α）和cos（■+α）滿足同角三角函數(shù)直接的關(guān)系；對于cos2（■+α）可運(yùn)用二倍角公式cos2（■+α）=2cos2（■+α）-1求得。

點(diǎn)評：思路一，從理論上講是可行的，但在解■cosα-■sinα=■與sin2α+cos2α=1形成的方程組時(shí)，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算量很大，根本無法很快求出sinα和cosα，更加不要說求出sin2α和cos2α了。但如果運(yùn)用思路二，就可以很清晰地求出函數(shù)的值，而且運(yùn)算量也不是很大，同時(shí)也可以有的放矢地使用公式。

從上述兩道例題，可以清晰地看出通過觀察已知角和未知角直接的關(guān)系去求解三角函數(shù)題，不僅可以簡化計(jì)算，而且可以使我們更靈活地運(yùn)用公式。所以，在解三角函數(shù)題時(shí)要重視角的作用。

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摘 要：三角函數(shù)是高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識點(diǎn)，它有其自身的特殊性，角的應(yīng)用會對解三角函數(shù)題起到積極作用。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；角；例題

三角函數(shù)在江蘇高考中占到了很大的分值，而由于三角函數(shù)公式繁多，學(xué)生記憶比較困難，就更不用提靈活運(yùn)用公式去處理題目。今天筆者希望能夠通過一些題目，提供關(guān)于三角函數(shù)的學(xué)習(xí)方法。

因?yàn)槿呛瘮?shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，也就是說它既具有三角函數(shù)的特性，也具有函數(shù)的性質(zhì)。而三角函數(shù)區(qū)別于其他的函數(shù)就在于它的自變量是角，所以求解三角函數(shù)的題目時(shí)可以抓住“角”，以此來把握解三角函數(shù)題的思路，靈活運(yùn)用公式。下面通過幾個(gè)例題從不同的側(cè)面來闡述重視角的作用對解題的好處。

例1.設(shè)sin（■+α）=■，求sin2α。

思路一：運(yùn)用兩角和的正弦公式對sin（■+θ）=■展開，求出sinα+cosα=■，然后再兩邊平方，抓住sin2α+cos2α=1，求出2sinα cosα=-■，即sin2α=-■。

解：sin（■+α）=sin■cosα+cos■sinα=■，得sinα+cosα=■，（sinα+cosα）2=sin2α+2sinα cosα+cos2α=■，得2sinα cosα=

-■，即sin2α=-■。

思路二：通過觀察已知角和未知角之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)已知角■+α的兩倍減去■等于未知角2α，再運(yùn)用誘導(dǎo)公式和二倍角公式直接解題。

解：sin2α=sin［2（■+α）-■］=-2cos2（■+α）=-［1-2sin2（■+α）］=-■。

點(diǎn)評：這題思路一和思路二都可以將題目解出來，但是從思路二的解題過程，可以清晰地發(fā)現(xiàn)這道題目使用的公式，使我們用公式更加有的放矢。

例2.（2012年江蘇高考題）設(shè)α為銳角，若cos（■+α）=■，求sin（2α+■）。

思路一：運(yùn)用兩角和的余弦公式，求出■cosα-■sinα=■，再與sin2α+cos2α=1聯(lián)立方程組，求出sinα和cosα，進(jìn)而求出sin2α和cos2α，再利用兩角和的正弦公式求出sin（2α+■）。

思路二：通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知角■+α與未知角2α+■滿足2（■+α）-（2α+■）=■，所以sin（2α+■）=sin［2（■+α）-■］=sin2（■+α）cos■+cos2（■+α）sin■=■sin2（■+α）+■cos2（■+α），所以現(xiàn)在只要求到sin2（■+α）和cos2（■+α）即可。此時(shí)，sin2（■+α）=2sin（■+α）cos（■+α），只需要求到sin（■+α），而sin（■+α）和cos（■+α）滿足同角三角函數(shù)直接的關(guān)系；對于cos2（■+α）可運(yùn)用二倍角公式cos2（■+α）=2cos2（■+α）-1求得。

點(diǎn)評：思路一，從理論上講是可行的，但在解■cosα-■sinα=■與sin2α+cos2α=1形成的方程組時(shí)，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算量很大，根本無法很快求出sinα和cosα，更加不要說求出sin2α和cos2α了。但如果運(yùn)用思路二，就可以很清晰地求出函數(shù)的值，而且運(yùn)算量也不是很大，同時(shí)也可以有的放矢地使用公式。

從上述兩道例題，可以清晰地看出通過觀察已知角和未知角直接的關(guān)系去求解三角函數(shù)題，不僅可以簡化計(jì)算，而且可以使我們更靈活地運(yùn)用公式。所以，在解三角函數(shù)題時(shí)要重視角的作用。

編輯 董慧紅

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