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    分類討論的思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

    2014-07-23 12:58:41周劍
    求知導(dǎo)刊 2014年5期
    關(guān)鍵詞:分類討論標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)

    周劍

    摘?要:分類討論的思想在高中數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中應(yīng)用非常廣泛,筆者在多年的教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在遇到需要通過(guò)分類討論才能解決的問(wèn)題時(shí),往往失分較多,究其原因主要是不能根據(jù)需要科學(xué)地進(jìn)行分類,不知道以什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分類;分類不完整,討論重復(fù)或者有遺漏;對(duì)分類討論所得到的結(jié)果處理不當(dāng),答題不完整不規(guī)范。針對(duì)這一現(xiàn)狀筆者總結(jié)了一些心得,希望能給學(xué)生帶來(lái)一些幫助。

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué);分類討論;標(biāo)準(zhǔn);步驟

    在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中廣泛地存在含有參數(shù)的各類問(wèn)題,這也是近年來(lái)高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一。以數(shù)學(xué)命題的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)為標(biāo)準(zhǔn),我們可以把含參數(shù)的問(wèn)題大致分為兩種類型:一是根據(jù)參數(shù)的取值范圍,去尋求命題可能出現(xiàn)的結(jié)果,從而歸納出命題的結(jié)論;二是給定命題的結(jié)論,去尋求參數(shù)的取值范圍或者應(yīng)滿足的條件。然而這些問(wèn)題的求解往往都會(huì)涉及分類討論的思想方法,本文中筆者就分類討論的思想方法在這類問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行一些探討,不妥之處,敬請(qǐng)斧正。

    解決含有參數(shù)的問(wèn)題,需要用到分類討論的方法時(shí),首先要明確需要討論的對(duì)象,再根據(jù)題目的條件和所涉及的數(shù)學(xué)概念、定理、公式、性質(zhì)以及運(yùn)算的需要等進(jìn)行科學(xué)合理的分類,然后逐類進(jìn)行討論,尋求各自的結(jié)果,最后歸納出命題的最終結(jié)論,達(dá)到解決問(wèn)題的目的。其根本在于化難為易,化繁為簡(jiǎn),這是比較常見(jiàn)的解題策略和方法。

    一、科學(xué)合理的分類

    何謂科學(xué)合理的分類,就是把一個(gè)集合A分成若干個(gè)非空真子集Ai(i=1、2、3…n)(n≥2,n∈N+),使集合A中的每一個(gè)元素都屬于且僅屬于某一個(gè)子集。即滿足:

    ①A1∪A2∪A3∪…∪An=A

    ②Ai∩Aj=φ(i,j∈N+,且i≠j)

    則稱對(duì)集合A進(jìn)行了一次科學(xué)的分類。

    科學(xué)的分類需要具備這樣兩個(gè)條件:一是確保分類不能有遺漏,二是確保分類不能有重復(fù),即通常所說(shuō)的不重不漏。在此基礎(chǔ)之上再根據(jù)題目的條件和性質(zhì),做到盡可能減少分類。

    二、確定分類標(biāo)準(zhǔn)

    解題過(guò)程中如果已經(jīng)確定了需要分類討論的對(duì)象,那么接下來(lái)要做的就是以什么樣的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分類,這也是學(xué)生最困惑的地方,同時(shí)也是分類討論的關(guān)鍵。通常情況下我們可以從以下三個(gè)方面入手來(lái)分析確定分類的標(biāo)準(zhǔn)。

    1.根據(jù)數(shù)學(xué)中的概念確定分類標(biāo)準(zhǔn)

    例如:數(shù)學(xué)中的絕對(duì)值是這樣定義的:

    a(a>0)

    │a│=?0(a=0)

    -a(a<0),因而在解

    不等式│log?x│+│log?(3-x)│≥

    1時(shí),就要根據(jù)決定log?x和log?(3-

    x)正負(fù)的x值1和2將定義域(0,3)分成三段區(qū)間進(jìn)行分類討論,即0<

    x<1、1≤x≤2以及2<x<3三種情況分類討論。

    例1?求函數(shù)y=│x+1│+│x-2│-

    2的值域。

    解:函數(shù)y=│x+1│+│x-2│-2的零點(diǎn)是x=-1和x=2,所以應(yīng)該以-1和2作為分類討論的標(biāo)準(zhǔn),將定義域R分成三段,即x<-1,-1≤x≤2以及x>2進(jìn)行分類討論:

    ?。┊?dāng)x<-1時(shí),y=-2x-1

    ⅱ)當(dāng)-1≤x≤2時(shí),y=1

    ⅲ)當(dāng)x>2時(shí),y=2x-3

    綜上所述,

    -2x-1(x<-1)

    y=?1(-1≤x≤2)

    y=2x-3(x>2),再由分段函數(shù)的圖象不難得出函數(shù)的值域?yàn)閇1,+∞)。

    2.根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理、公式和性質(zhì)確定分類標(biāo)準(zhǔn)

    高中數(shù)學(xué)中的許多定理、公式和性質(zhì),在條件發(fā)生變化時(shí)有著不同的結(jié)論,所以在使用過(guò)程中就要注意分類討論,分類討論的依據(jù)是定理、公式和性質(zhì)中的條件。

    例如:等比數(shù)列前幾項(xiàng)和公式是分段給出的:

    na1(q=1)

    Sn=?—(q≠1),所以在解這類問(wèn)題時(shí),如果q是可以變化的量,就要以q為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論。又如,對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的單調(diào)性是以0<a<1和a>1兩種情況分別定義的,所以在解底數(shù)中含有字母的對(duì)數(shù)不

    等式時(shí)就要注意分類討論。比如logx—>

    -1就應(yīng)以底數(shù)0<x<1和x>1進(jìn)行分類討論,即:當(dāng)0<x<1時(shí),—<

    —,當(dāng)x>1時(shí),—>—。

    3.根據(jù)解題中的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)

    例如:解不等式組

    3<x<4

    1<x<a,顯然,應(yīng)以3,4為標(biāo)準(zhǔn)將a分為1<a≤3,3<a≤4以及a>4三種情況進(jìn)行討論。

    例2?已知圓(x-2)2+(y-3)2=1,

    求該圓與x軸和y軸的截距相等的切線l 的方程。

    解:由題意設(shè)切線l與x軸和y軸的截距分別為a,b,則a=b,根據(jù)直線方程的適用范圍可知必須對(duì)截距a和b是否為零進(jìn)行討論:

    ⅰ)若a=b≠0時(shí),設(shè)l的方程為 —+—=1,即x+y-a=0,因?yàn)橹本€和圓相切,所以圓心(2,3)到直線l的距離等于圓的半徑,故—=1解

    得a=5+√2或a=5-√2,所以l的方程為x+y-(5+√2)=0或x+y-(5-√2)=0

    ⅱ)若a=b=0時(shí),設(shè)l的方程為y=kx,即kx-y=0,所以—=1,

    解得k=—或k=—,所以l的方程為(6+2√3)x-3y=0或(6-2√3)x-3y=0

    綜上所述:l的方程為x+y-(5+√2)=0或x+y-(5-√2)=0或(6+2√3)x-3y=0或(6-2√3)x-3y=0。

    三、分類討論的方法和步驟

    通常情況下運(yùn)用分類討論解題時(shí)的常規(guī)步驟應(yīng)分為:①確定是否需要分類討論以及需要討論時(shí)的對(duì)象和它的取值范圍;②確定分類標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)合理;③逐類進(jìn)行討論得出各類結(jié)果;④歸納各類結(jié)論。

    例3? 已知函數(shù)f(x)=sin2x-asin2—(x∈R,a∈R),試用a表示f(x)的最大值。

    解:原函數(shù)化為f(x)=-(cosx-

    —)2+—,令t=cosx,則-1≤t≤1,

    記f(t)=-(t-—)2+—,t∈[-1,

    1],因?yàn)槎魏瘮?shù)y=f(t)的最大值的取得與圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相對(duì)于定義域[-1,1]的位置密切相關(guān),所以對(duì)—相對(duì)于區(qū)間[-1,1]的位置分三種情況討論:

    ?。┊?dāng)—>1,即a>4時(shí), f(t)max=

    0,此時(shí)t=1

    ⅱ)當(dāng)-1≤—≤1,即-4≤a≤

    4時(shí), f(t)max=—,此時(shí)t=—

    ⅲ)當(dāng) —<-1,即a<-4時(shí),

    f(t)max=-a ,此時(shí)t=1

    綜上所述:

    0(a>4)

    f(t)max=?—(-4≤a≤4)

    -a(a<-4)。

    四、結(jié)束語(yǔ)

    中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中,分類討論是一種非常重要的解題思想,它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)題目條件分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力很有幫助,同時(shí)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、縝密性和靈活性的提高也有較大的幫助。以上只是筆者對(duì)教學(xué)過(guò)程中一些常見(jiàn)分類討論情況做的簡(jiǎn)單分析,實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中還有很多分類討論的標(biāo)準(zhǔn)和題型,要注意積累,類比分析,找出其規(guī)律和共性所在,總結(jié)出自己的心得才能對(duì)這類問(wèn)題迎刃而解。另外,值得注意的是,并不是所有含參數(shù)的問(wèn)題都得要分類討論,若能綜合利用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸以及數(shù)形結(jié)合等解題思想方法可簡(jiǎn)化或者避免分類討論,同樣可達(dá)到解題迅速、準(zhǔn)確的效果。

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