基于ADAMS和分形理論的軸承保持架動力學(xué)仿真分析

胡林林，徐權(quán)，易奔，郭長建，張鋼

(1.人本集團(tuán) 技術(shù)中心，上海 201411；2.上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 軸承研究所，上海 200072)

高速主軸軸承的動態(tài)性能直接影響電主軸單元的工作質(zhì)量。實(shí)際使用表明，絕大多數(shù)高速電主軸軸承的損壞形式為保持架損壞[1]，因此，對保持架運(yùn)行穩(wěn)定性進(jìn)行分析至關(guān)重要。

文獻(xiàn)[2]用ADAMS對存在缺陷的深溝球軸承進(jìn)行動力學(xué)分析，主要分析徑向游隙對軸承自然頻率的影響。文獻(xiàn)[3]利用ADAMS對角接觸球軸承進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[4]利用ADAMS參數(shù)化功能以及二次開發(fā)，建立了滾動軸承動力學(xué)分析模塊，與傳統(tǒng)動力學(xué)分析軟件相比，分析效率顯著提高。

分形理論從非線性復(fù)雜系統(tǒng)自身入手，以自然界和非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的不光滑和不規(guī)則的幾何形體以及社會活動中廣泛存在的無序而具有自相似性的系統(tǒng)為研究對象[5]，并以一種定量的方法將其展現(xiàn)出來，在諸多領(lǐng)域中均得到了廣泛應(yīng)用[6-8]。在實(shí)際應(yīng)用中，通常所說的分形維數(shù)是指盒維數(shù)。下文借助盒維數(shù)法來定量描述在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)及軸向載荷下的保持架質(zhì)心軌跡圖像，并通過計(jì)算盒維數(shù)值來反映軌跡的不規(guī)則程度，比較保持架的運(yùn)行穩(wěn)定性，以確定最佳的保持架結(jié)構(gòu)參數(shù)。

1 ADAMS碰撞力的定義

ADAMS根據(jù)Hertz接觸理論，采用impact函數(shù)提供的非線性等效彈簧阻尼模型作為接觸力的計(jì)算模型。在ADAMS中，碰撞力定義為[9]

(1)

式中：q0為2個碰撞物體的初始距離；q為2物體碰撞過程中的實(shí)際距離；dq/dt為2個物體間距離隨時間的變化率，即速度；K為接觸剛度；e為碰撞指數(shù)；cmax為最大阻尼系數(shù)；d為刺入深度，其決定了何時阻尼達(dá)到最大。

當(dāng)利用ADAMS對軸承進(jìn)行分析時，需要確定的輸入?yún)?shù)有K，e，cmax和d。

1.1 接觸剛度

已知軸承工況及轉(zhuǎn)速，通過Newton迭代法求解由鋼球平衡方程、變形相容方程以及軸承平衡方程組成的非線性方程組[10]，即可求出鋼球與內(nèi)、外圈溝道的接觸載荷與接觸角。

已知接觸載荷與接觸角，根據(jù)Hertz接觸理論可得鋼球與軸承內(nèi)、外溝道的接觸剛度為[11]

(2)

(3)

式中：k為橢圓率參數(shù)；Γ為第一類橢圓積分；ε為第二類橢圓積分；E′為等效彈性模量；Q為兩接觸物體的接觸載荷；Σρ為兩接觸物體主曲率和。

通過Hertz接觸簡化解[12]的方法，即可求得k，Γ和ε。

1.2 碰撞指數(shù)

由(1)式可知，碰撞指數(shù)e反映了材料的非線性程度，推薦金屬與金屬材料為1.5；橡膠材料為2，文中取1.5。

1.3 最大阻尼系數(shù)

最大阻尼系數(shù)cmax表征碰撞能量的損失。其實(shí)際值需通過試驗(yàn)獲得，通常取值為接觸剛度的0.1%～1%。

1.4 刺入深度

刺入深度d表征在最大阻尼時，鋼球侵入內(nèi)、外圈溝道的深度。剛碰撞時，沒有阻尼力，隨著侵入深度增大，阻尼力加大，直到出現(xiàn)最大阻尼力。

由碰撞動力學(xué)模型可知，當(dāng)2個物體發(fā)生接觸時就會產(chǎn)生阻尼,并且阻尼系數(shù)在一次完整的碰撞過程中是不變的,故d的取值應(yīng)該越小越好。同時考慮到ADAMS中的數(shù)值收斂性,一般可采用ADAMS中的推薦值，d=0.01 mm。

2 分形維數(shù)的計(jì)算

隨著信息處理技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，大量的圖形圖像是以數(shù)字圖像的形式獲得的，并且可以轉(zhuǎn)化為數(shù)字圖像，最終得到由一系列二進(jìn)制數(shù)字(0或1)表示的二維矩陣(二值圖)，可以對二值圖進(jìn)行分析求數(shù)字圖像的盒維數(shù)。

求解盒維數(shù)的具體步驟[13]是：(1) 將圖像二值化處理，使圖像上的每個像素點(diǎn)轉(zhuǎn)換為白或黑色，得到1個數(shù)據(jù)文件，其行列數(shù)分別對應(yīng)于二值圖的行列數(shù)；(2) 將得到的數(shù)據(jù)文件劃分為若干塊，并使每塊的行數(shù)和列數(shù)均為k，把所有包含(0或1)的塊的個數(shù)記作Nk。通常取k=1，2，4，…，2i，即以1，2，4，…，2i個像素點(diǎn)的尺寸為邊長做塊劃分，從而得到盒子數(shù)N1，N2，N4，…，N2i。

由于像素點(diǎn)的尺寸δ= 圖像長度L/圖像一行中像素點(diǎn)的個數(shù)，所以行和列都由k個像素點(diǎn)組成的塊的邊長為δk=kδ(k=1，2，4，…，2i)。對于一個具體的圖像，δ為常數(shù)，因此在具體計(jì)算時可以直接用k值代替δk。在雙對數(shù)坐標(biāo)平面內(nèi)，以最小二乘法用直線擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)(logδk，logNk)，所得到的直線斜率的負(fù)值就是該圖像的盒維數(shù)。

3 實(shí)例分析

以高速內(nèi)圓磨床電主軸支承軸承為例，利用ADAMS建立的參數(shù)化模型，對不同的保持架結(jié)構(gòu)參數(shù)及工況進(jìn)行分析。圖1為支承軸承的參數(shù)化模型，該三維模型已添加了各種驅(qū)動、約束和作用力。表1為支承軸承的參數(shù)。表2為通過第1小節(jié)計(jì)算得出的ADAMS中所施加的鋼球與內(nèi)、外圈的接觸參數(shù)。將接觸參數(shù)賦予ADAMS中的碰撞力公式，進(jìn)行動力學(xué)仿真。

表1 支承軸承參數(shù)

表2 鋼球與內(nèi)、外圈接觸參數(shù)

3.1 保持架結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響

保持架質(zhì)心的運(yùn)動軌跡可以反映出保持架在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中的穩(wěn)定性，穩(wěn)定性較好的保持架質(zhì)心軌跡應(yīng)為清晰規(guī)則的圓形。

軸承徑向載荷20 N，軸向載荷70 N，轉(zhuǎn)速為48 000 r/min條件下，不同引導(dǎo)間隙值時保持架質(zhì)心軌跡如圖2所示，其中Cg=0.13 mm為原始設(shè)計(jì)值。

圖2 不同引導(dǎo)間隙時保持架質(zhì)心軌跡圖

軸承徑向載荷20 N，軸向載荷70 N，轉(zhuǎn)速為48 000 r/min條件下，不同兜孔間隙值時保持架質(zhì)心軌跡如圖3所示，其中Cs=0.274 mm為原始設(shè)計(jì)值。

從圖2和圖3中可以看出，在軸承初始啟動時，鋼球與保持架之間由靜止到碰撞，從圖像中的(0,0)點(diǎn)開始，會導(dǎo)致保持架質(zhì)心有一段不規(guī)則的曲線。而在正常運(yùn)行狀態(tài)下，保持架質(zhì)心軌跡的理想圖像應(yīng)為：軌跡曲線重合度高，疊加而成的圓形圖案規(guī)則。

圖3 不同兜孔間隙時保持架質(zhì)心軌跡圖

從圖2和圖3可見，Cg和Cs值不同時保持架的質(zhì)心軌跡比較相似，很難用肉眼分辨出優(yōu)劣。故通過分形理論的盒維數(shù)來定量描述其不規(guī)則程度，計(jì)算出的盒維數(shù)值越小，表明保持架質(zhì)心軌跡越規(guī)則，保持架運(yùn)行穩(wěn)定性越好；反之，保持架運(yùn)行穩(wěn)定性越差。根據(jù)盒維數(shù)的原理，采用MATLAB編制程序，對圖2和圖3中的保持架質(zhì)心軌跡進(jìn)行圖像處理和計(jì)算，得到表3中的盒維數(shù)值。

表3 不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下保持架質(zhì)心軌跡盒維數(shù)值

從表3可以看出，隨著Cg的逐漸增大，其盒維數(shù)值先減小后增大再減小，呈波動趨勢，說明引導(dǎo)間隙過大或過小都會導(dǎo)致保持架的不穩(wěn)定性。隨著Cs的逐漸增大，其盒維數(shù)值同樣呈現(xiàn)波動狀態(tài)。

從仿真結(jié)果看，當(dāng)保持架與外圈引導(dǎo)間隙取0.13 mm、保持架與鋼球的兜孔間隙取0.20 mm時，其盒維數(shù)值最小，即保持架運(yùn)行最穩(wěn)定，這與文獻(xiàn)[1]中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)較吻合，從而證明ADAMS仿真方法是相對可靠的。

3.2 工況參數(shù)的影響

徑向載荷為0，轉(zhuǎn)速為48 000 r/min時，不同軸向載荷條件下軸承保持架的質(zhì)心軌跡如圖4所示。

圖4 不同軸向載荷下保持架質(zhì)心軌跡圖

由圖4可以看出，當(dāng)軸承只受軸向力時，保持架的質(zhì)心運(yùn)行軌跡均比較規(guī)則。通過計(jì)算各個軸向力下的盒維數(shù)值(表4)可知，適當(dāng)增大軸承的軸向力，保持架不穩(wěn)定程度會減小，這是由于大的軸向力可以保證鋼球始終都能與套圈保持接觸，限制了球的滑動，進(jìn)而減少了鋼球與保持架間的碰撞，使保持架運(yùn)行趨于穩(wěn)定。但是軸向力不能過大，如仿真中200 N時，其軌跡圖盒維數(shù)值較大，保持架質(zhì)心軌跡相對不規(guī)則。由表4中的盒維數(shù)值可知，軸向力150 N時保持架的穩(wěn)定性優(yōu)于200 N時。

表4 不同軸向力下保持架質(zhì)心軌跡盒維數(shù)值

4 結(jié)論

(1) 利用ADAMS動力學(xué)仿真軟件可以較為準(zhǔn)確地研究軸承的動力學(xué)特性，通過后處理模塊更便于觀察保持架的運(yùn)行軌跡及軸承受力情況，大大提高了分析效率。

(2) 利用ADAMS進(jìn)行軸承仿真的難點(diǎn)在于對接觸的設(shè)置和接觸參數(shù)的確定，準(zhǔn)確的工況參數(shù)及接觸參數(shù)能夠使仿真更加接近實(shí)際。

(3) 保持架兜孔間隙和引導(dǎo)間隙對其運(yùn)行穩(wěn)定性有很大影響，過大或過小都會使保持架穩(wěn)定性變差。通過仿真確定引導(dǎo)間隙取0.13 mm，兜孔間隙取0.20 mm較佳。

(4) 分形理論能夠定量描述保持架質(zhì)心運(yùn)行軌跡的不規(guī)則性，可為判定保持架運(yùn)行穩(wěn)定性提供參考。