基于形態(tài)分形維數(shù)與改進ELM的軸承故障預(yù)測

陳強華，李洪儒，許葆華

(軍械工程學(xué)院，石家莊 050003)

軸承作為旋轉(zhuǎn)機械的關(guān)鍵部件，對系統(tǒng)的正常運行起著非常重要的作用。據(jù)統(tǒng)計，齒輪箱故障中19%由軸承故障引起[1]，在泵與電動機中，這一比例更是高達51%[2]，如何對軸承將出現(xiàn)的故障進行準確預(yù)測，防止重大損失，是目前研究的重點和熱點。

故障預(yù)測一般分為2個步驟，即故障特征提取和故障預(yù)測。其中，故障特征提取是故障預(yù)測的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。有效的特征量可以較好反映軸承性能退化的整個過程，為故障預(yù)測提供可靠依據(jù)。目前，主要有循環(huán)平穩(wěn)分析[3-4]、小波包分解的節(jié)點能量分析[5]以及小波相關(guān)特征尺度熵分析[6]等故障特征提取方法。

分形理論為復(fù)雜信號的分析提供了十分簡單的方法，被廣泛應(yīng)用于地理、生物、材料及計算機等領(lǐng)域[7-8]。近年來，許多學(xué)者將該理論應(yīng)用于故障特征提取與故障診斷領(lǐng)域，并取得了較好的效果[9-11]。分形維數(shù)(Fractal Dimension，F(xiàn)D)作為分形體的重要特征量，用以描述分形體的不規(guī)則性和自相似性，可以定量反映設(shè)備在不同狀態(tài)下的分形特征。文獻[12]將數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)應(yīng)用到分形維數(shù)的計算中，大大簡化了分形維數(shù)的計算，并提高了精度和穩(wěn)定性。

極限學(xué)習(xí)機(Extreme Learning Machine，ELM)是一種單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[13]，其將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)訓(xùn)練問題轉(zhuǎn)化為線性方程組的求解，經(jīng)過一次計算求得方程的最小范數(shù)二乘解，并將其作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值。因此，ELM較傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更快的訓(xùn)練速度和更好的泛化能力[14]，并在時間序列預(yù)測、模式識別和在線監(jiān)測中獲得了成功應(yīng)用[15-17]。然而，由于ELM在應(yīng)用過程中隨機給定左側(cè)權(quán)值，其在模型精度和穩(wěn)定性方面不甚理想。

在此，較詳細闡述了利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)計算信號單重分形維數(shù)的方法，并將其應(yīng)用到故障特征提取中，將形態(tài)分形維數(shù)作為軸承故障預(yù)測的特征量，以反映軸承性能退化的過程。在故障預(yù)測方面，針對ELM存在的不足，給出一個序列關(guān)聯(lián)度系數(shù)綜合衡量模型的精度與穩(wěn)定性，并利用該參數(shù)對ELM模型進行優(yōu)化。通過提取的故障預(yù)測特征對優(yōu)化的ELM預(yù)測模型進行訓(xùn)練，驗證了形態(tài)分形維數(shù)作為故障預(yù)測特征的有效性，以及改進ELM預(yù)測模型在軸承故障預(yù)測穩(wěn)定性和精度方面的改善。

1 基于形態(tài)分形維數(shù)的軸承故障預(yù)測特征提取

1.1 分形維數(shù)

傳統(tǒng)的歐氏幾何認為，幾何形體的維數(shù)均為整數(shù)。而實際應(yīng)用中，自然界大部分幾何形體的維數(shù)都呈分數(shù)形式，使得這種觀念存在很大的局限。因此，提出了分形維數(shù)，將歐氏幾何無法解決的復(fù)雜幾何形體的分形特征進行了量化。目前，已有多種不同的分形維數(shù)用以度量物體的分形特征，如Hausdorff維數(shù)、Lyapunov維數(shù)、自相似維數(shù)、盒維數(shù)、信息維數(shù)及關(guān)聯(lián)維數(shù)等。

由于不同的信號具有各異的分形特征，可以根據(jù)信號在分形特征上存在的差異性對其進行區(qū)分。在故障診斷中，不同故障模式信號的分形維數(shù)表現(xiàn)出一定的差異性，可用于度量不同故障模式下信號的分形特征，從而區(qū)分不同的故障特征，實現(xiàn)故障診斷。軸承劣化過程中，不同階段信號的分形維數(shù)亦存在差異性[6]，因此，將分形維數(shù)引入軸承劣化過程的特征提取可以實現(xiàn)軸承故障的預(yù)測。

在機械故障研究領(lǐng)域，盒維數(shù)及關(guān)聯(lián)維數(shù)被普遍應(yīng)用。其中，關(guān)聯(lián)維數(shù)計算復(fù)雜，特性較難準確把握，因此，盒維數(shù)的應(yīng)用更為廣泛。一般，計算分形維數(shù)的基本思想是利用不同尺度幾何形狀的集合對分析對象進行度量。盒維數(shù)是通過計算覆蓋一個信號所需的最小盒子數(shù)得到。若以利用邊長為ε的方格完全覆蓋信號所占的區(qū)域需要N(ε)個方格，則信號的盒維數(shù)為

(1)

盒維數(shù)的計算是以規(guī)則的方格對不規(guī)則的信號進行覆蓋，這種方法在計算過程中將產(chǎn)生不小的誤差，影響對分形維數(shù)的計算[18]，故將形態(tài)學(xué)方法引入分形維數(shù)的計算中[12]。

1.2 故障特征提取

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本運算主要有腐蝕和膨脹。設(shè)f(n)和g(m)分別是定義在集合F={0,1,…，N-1}和G={0,1,…,M-1}上的離散函數(shù)，且N≥M，其中，f(n)為原始信號，g(m)為結(jié)構(gòu)元素，f(n)關(guān)于g(m)的形態(tài)腐蝕和形態(tài)膨脹算子分別定義為

(fΘg)(n)=min{f(n+m)-g(m)}，

(2)

(f⊕g)(n)=max{f(n-m)+g(m)}。

(3)

采用扁平結(jié)構(gòu)元素g={0，0，0}對信號分別進行腐蝕、膨脹運算后得到的波形如圖1所示，由圖可以看出，腐蝕運算平滑了負脈沖，削尖了正脈沖；膨脹運算則削尖了負脈沖，平滑了正脈沖。

圖1 不同形態(tài)學(xué)運算對信號的處理結(jié)果

對于單位結(jié)構(gòu)元素g(m)，尺度s下的結(jié)構(gòu)元素sg定義為

(4)

可以看出，sg為g經(jīng)過s-1次自身膨脹所得，形態(tài)學(xué)運算中的多尺度運算與分形維數(shù)計算的基本思想一致。取不同尺度ε對信號進行覆蓋，由腐蝕與膨脹對信號處理后的基本特點可知，形態(tài)膨脹與形態(tài)腐蝕對信號進行處理后的差值可以將信號進行覆蓋，定義覆蓋面積為

(5)

則不同尺度ε下覆蓋面積與尺度間的關(guān)系為[12]

lg(Ag(ε)/ε2)=DMlg(1/ε)+c，

(6)

式中：DM為信號的Minkowski-Bouligand維數(shù)，只要對不同尺度下計算得到的lg(Ag(ε)/ε2)與lg(1/ε)值進行最小二乘線性擬合，即可得到Minkowski-Bouligand維數(shù)的估計。為兼顧估計精度和計算效率，選擇長度為3的扁平結(jié)構(gòu)元素為基本結(jié)構(gòu)元素，并取尺度范圍為1～64。

根據(jù)形態(tài)分形維數(shù)的定義和計算方法可知，形態(tài)分形維數(shù)反映了振動信號的峰值在整個信號中概率分布的不均勻程度，定量表征了軸承故障振動信號的形態(tài)特征和振動的劇烈程度。因此，可利用形態(tài)分形維數(shù)的這些性質(zhì)，結(jié)合軸承性能退化的特點，將其作為軸承故障預(yù)測的特征量，定量反映軸承性能退化過程中振動信號的變化。

2 基于改進ELM的軸承故障預(yù)測方法

2.1 ELM基本原理

給定一個含N個樣本的訓(xùn)練集T={(xi,yi)|xi∈Rm;yi∈Rn;i=1,2,…,N}，則具有L個隱層神經(jīng)元的ELM輸出可以表示為

(7)

式中：βt為連接第t個隱層結(jié)點的輸出權(quán)值向量；at為連接第t個隱層結(jié)點的輸入權(quán)值向量；bt為第t個隱層神經(jīng)元的閾值；f(x)為隱層神經(jīng)元的激活函數(shù)。

將(7)式寫成線性方程組的形式為

Hβ=Y，

(8)

β=[β1,β2,…,βL]T；Y=[y1,y2,…,yN]T。

若隱層輸出矩陣H滿足L≤N，那么(8)式中β具有最小二乘解，即

β=H+Y，

(9)

式中：H+為H的Moor-Penrose廣義逆矩陣。

綜上可知，ELM在訓(xùn)練過程中無需像傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)那樣反復(fù)迭代、調(diào)整隱層神經(jīng)元權(quán)值和閾值，在隱層結(jié)點確定的情況下，只需一次計算即可獲得方程最優(yōu)解，這使得ELM的訓(xùn)練速度大大提高，且不易陷入局部最優(yōu)[15]。但是，由于ELM在訓(xùn)練過程中隨機確定隱層權(quán)值和閾值，使其在模型精度和穩(wěn)定性方面不甚理想，且與其他神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一樣存在過擬合現(xiàn)象。

2.2 基于改進ELM的軸承故障預(yù)測方法

傳統(tǒng)的優(yōu)化方法一般僅采用模型的誤差作為目標函數(shù)，對模型進行優(yōu)化。但在預(yù)測過程中，模型預(yù)測序列與訓(xùn)練樣本變化趨勢的一致性以及模型的穩(wěn)定性往往受到忽視。因此，提出了一種序列關(guān)聯(lián)度指標，綜合考慮ELM的性能，對ELM進行優(yōu)化。

設(shè)原數(shù)據(jù)序列為X={xj|j=1,2,…,n}，預(yù)測值序列為X1={xj′|j=1,2,…,n}，定義趨勢變化相關(guān)系數(shù)為

(10)

該系數(shù)反映了2個序列之間各個對應(yīng)點變化趨勢的一致性，該系數(shù)越大，則2個序列變化趨勢一致性越好。

(11)

其中，pj為第j個點的預(yù)測值與原始值之間相對誤差的比重，即

(12)

誤差序列的熵值反映了模型的穩(wěn)定程度，該值越大，表示誤差序列的變異度越小，模型的預(yù)測越穩(wěn)定。反之，模型的預(yù)測越不穩(wěn)定[19]。綜上，定義預(yù)測值與原始值2個序列的序列關(guān)聯(lián)度系數(shù)為

(13)

式中：σ為誤差的方差。該系數(shù)綜合考慮了模型的精度、穩(wěn)定性以及預(yù)測序列與原始序列變化趨勢的一致性。

為求得ELM隱層輸入權(quán)值和閾值的最佳值，采用粒子群優(yōu)化算法對權(quán)值和閾值進行尋優(yōu)。利用輸入權(quán)值和閾值組成種群中的個體，即

Xj={aj1,aj2,…,ajL,bj1,bj2,…,bjL}T。

(14)

其中，所有輸入權(quán)值和閾值均在[-1,1]范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生。模型的輸出權(quán)值可以由(9)式計算得到。粒子群的適應(yīng)度函數(shù)采用上述的序列關(guān)聯(lián)度系數(shù)ξ。

利用上述方法對ELM進行改進，通過前一小節(jié)提取的軸承故障預(yù)測特征序列對優(yōu)化后的ELM預(yù)測模型進行訓(xùn)練，確定改進的ELM預(yù)測模型的左側(cè)權(quán)值和閾值，根據(jù)(9)式確定模型的輸出權(quán)值向量。改進的ELM預(yù)測模型經(jīng)過訓(xùn)練后，即可用于軸承故障的預(yù)測。

3 軸承故障預(yù)測與驗證

為驗證上述軸承故障預(yù)測方法的效果，采用實測的軸承振動加速度全壽命數(shù)據(jù)進行驗證。該全壽命數(shù)據(jù)來自IMS中心軸承試驗臺。如圖2所示，該試驗在同一個軸上安裝4套ZA-2115雙列滾子軸承，并通過一個彈簧機械裝置在軸承徑向加載。通過電動機將軸驅(qū)動至2 000 r/min，每隔10 min采樣一次，采樣頻率為20 kHz，采樣長度為20 480個點。試驗運行一段時間后，因軸承1出現(xiàn)外圈故障而停止采樣，共采得984組數(shù)據(jù)。

3.1 軸承故障預(yù)測提取

軸承1振動波形的均方根值(RMS)與峰峰值(P-P)隨著軸承劣化的變換曲線如圖3所示，可以看出這2個值隨著軸承劣化逐漸增大，但波動較大。若以此為特征量對軸承故障進行預(yù)測，將增加預(yù)測的難度。因此，采用形態(tài)分形維數(shù)作為故障預(yù)測特征量對軸承故障進行預(yù)測。

圖3 RMS與P-P值隨故障的變化趨勢

任取其中一組數(shù)據(jù)，計算其形態(tài)分形維數(shù)，求取形態(tài)分形維數(shù)而擬合的曲線如圖4所示，其中尺度范圍為1～64，圖中曲線的斜率即為該組數(shù)據(jù)的形態(tài)分形維數(shù)。

圖4 lg(1/ε)與lg(Ag(ε)/ε2)的擬合曲線

在所有的數(shù)據(jù)中，取第651～980組數(shù)據(jù)分別計算每組數(shù)據(jù)的形態(tài)分形維數(shù)，并做出其隨時間變化的曲線，如圖5所示。在第8 570 min之前，MFD值一直在1.76附近小幅波動，軸承處于正常工作狀態(tài)。此后，MFD值隨著時間逐漸減小，反映了軸承隨著時間劣化的過程，說明了形態(tài)分形維數(shù)作為故障特征對軸承進行故障預(yù)測的可行性。

圖5 MFD隨故障演化趨勢

3.2 軸承故障預(yù)測方法

取第8 560 min之后的100個點作為訓(xùn)練樣本對改進ELM進行訓(xùn)練，并將其之后20個數(shù)據(jù)作為測試集，利用訓(xùn)練得到的ELM預(yù)測模型對后20個數(shù)據(jù)進行預(yù)測，ELM改進前、后的預(yù)測結(jié)果如圖6及表1所示，可以看出改進ELM的預(yù)測結(jié)果與原數(shù)據(jù)序列變化的趨勢一致性更好，改進ELM預(yù)測模型具有更高的預(yù)測精度及穩(wěn)定性。

圖6 ELM與改進ELM預(yù)測結(jié)果

表1 ELM與改進ELM的性能比較

4 結(jié)束語

能有效反映軸承性能退化的故障預(yù)測特征量提取是軸承故障預(yù)測的基礎(chǔ)，形態(tài)分形維數(shù)的變化趨勢可有效反映軸承性能退化的過程，可作為軸承故障預(yù)測的特征參量，對軸承進行故障預(yù)測。利用序列關(guān)聯(lián)度系數(shù)作為目標函數(shù)對ELM預(yù)測模型進行優(yōu)化，改善了預(yù)測模型的精度和穩(wěn)定性，同時提高了預(yù)測序列與原數(shù)據(jù)序列變化的一致性。