實(shí)現(xiàn)空間約束軌跡離散點(diǎn)的平面連桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

袁偉亮，張雷雨，楊 洋

（北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動化學(xué)院，北京 100191）

0 引言

傳統(tǒng)的連桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)可分為3類問題：剛體導(dǎo)引、軌跡發(fā)生和函數(shù)發(fā)生。按照預(yù)定的軌跡離散點(diǎn)設(shè)計(jì)平面連桿機(jī)構(gòu)，確定機(jī)構(gòu)的各尺寸參數(shù)和連桿上的描點(diǎn)位置，使該點(diǎn)所描的連桿曲線與預(yù)定的離散點(diǎn)相符，即為剛體導(dǎo)引［1］。連桿的設(shè)計(jì)方法可采用解析法、作圖法［2］、實(shí)驗(yàn)法或圖譜法，但隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，解析法得到了廣泛的應(yīng)用。解析法通常采用位移矩陣法和矢量環(huán)封閉法，建立預(yù)定軌跡與平面連桿機(jī)構(gòu)參數(shù)之間的非線性方程組［3，4］。

普通的連桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方法需要明確的約束條件，如給定軌跡離散點(diǎn)、軌跡曲線或軌跡函數(shù)等，但在工程問題中往往只能給出空間約束條件和剛體位置變化，通過普通的設(shè)計(jì)方法很難找到合適的軌跡點(diǎn)，使設(shè)計(jì)出的機(jī)構(gòu)在規(guī)定的空間內(nèi)運(yùn)動。針對上述工程問題，本文提出了一種自尋優(yōu)軌跡離散點(diǎn)的方法，結(jié)合四位置導(dǎo)引鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)計(jì)算理論［5，6］，把連桿機(jī)構(gòu)剛體導(dǎo)引問題轉(zhuǎn)化為二桿組的求解問題，并通過實(shí)例計(jì)算和分析，證明了所提出方法的可行性。

1 連桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的自尋離散點(diǎn)

在實(shí)際機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中，通常已知剛體導(dǎo)引的空間約束、剛體初始和終止位置及連桿機(jī)構(gòu)安裝空間限制，需要以四連桿機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)為基礎(chǔ)，根據(jù)要求自尋軌跡曲線或軌跡離散點(diǎn)。其中，如何確定中間一系列軌跡離散點(diǎn)是一個很重要的問題。

平面運(yùn)動剛體上的兩點(diǎn)B，P可以確定剛體的位姿，設(shè)定其中一點(diǎn)B作圓周運(yùn)動，通過尋求剛體上另一點(diǎn)P的運(yùn)動，實(shí)現(xiàn)給定剛體在運(yùn)動平面上的位姿調(diào)整，從而避開約束邊界。圖1 為剛體運(yùn)動軌跡簡圖，以oB為搖桿，鉸鏈點(diǎn)B做圓弧運(yùn)動，搖桿oB及剛體兩點(diǎn)連線BP組成一個二桿組，通過另一鉸鏈點(diǎn)P的軌跡來計(jì)算出另一組二桿組，從而構(gòu)成四桿機(jī)構(gòu)。

圖1 剛體運(yùn)動軌跡簡圖

鉸鏈點(diǎn)P的軌跡尋求應(yīng)遵循下列原則：①能避開所有的邊界約束且在關(guān)鍵點(diǎn)取值；②軌跡點(diǎn)取值間距均勻；③兩相鄰軌跡點(diǎn)的曲率過渡不能過大。

約束邊界函數(shù)為：

剛體邊界函數(shù)為：

其中：m，n分別為各邊界個數(shù)；θ為搖桿擺角。剛體邊界在搖桿活動范圍內(nèi)與邊界約束無交點(diǎn)，說明剛體與邊界無干涉。

2 二桿組的運(yùn)動設(shè)計(jì)

平面連桿機(jī)構(gòu)一般可以分解為一系列的二桿組，圖2 為二桿組矢量圖。由圖2 可以寫出二桿組r2，r5在第Pi個位置的矢量環(huán)封閉方程式：

式（5）中，i（i＝1，2，3，…，k）是被導(dǎo)引剛體的精確位置個數(shù)。當(dāng)給定的位置數(shù)為k時，則式（3）含有k個方程式。在四位置剛體導(dǎo)引機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，剛體的4個精確位置是給定的（即k＝4），故式（5）中Pix，Piy和Δδi（4組）是已知值，而待求的參數(shù)是r2，r5，A0x，A0y和δ0。

將式（5）中的已知量和未知量分開，可得一組非線性方程組。對于非線性方程組，采用變量置換、逐步消元法來求解，式（5）可寫成：

其中：fji，F(xiàn)i為置換后新已知量；Sj為新未知量。

給定鉸鏈A0的一個坐標(biāo)A0x，可計(jì)算出待求的4個機(jī)構(gòu)參數(shù)（也有m組解）：

圖2 二桿組矢量圖

3 約束空間連桿設(shè)計(jì)與分析

在邊界約束的空間內(nèi)，實(shí)現(xiàn)細(xì)長鋼材從豎直位置舉升到水平位置。在舉升過程中鋼材從打剖面線的直孔W處抽出而且不能越過外邊界中的左邊邊界，舉升連桿機(jī)構(gòu)的動作要在內(nèi)邊界空間內(nèi)完成?？紤]鋼材的抓持方便和重心位置，在鋼材中引出兩點(diǎn)P和B，取上端支點(diǎn)B作為主要支撐點(diǎn)，如圖3 所示。

由已知的起始點(diǎn)B1和終止點(diǎn)B4，通過作圖法確定搖桿oB的固定鉸鏈點(diǎn)o，該搖桿為連桿機(jī)構(gòu)的主要支撐桿。根據(jù)實(shí)際情況優(yōu)化連桿長度，取整為l＝800 mm。在o點(diǎn)建立笛卡爾坐標(biāo)系xoy，B點(diǎn)繞o點(diǎn)做圓弧軌跡運(yùn)動，桿oB和桿BP構(gòu)成一個二桿組。

在圓弧軌跡B1B4上均勻取兩點(diǎn)B2和B3，如圖4 所示，調(diào)節(jié)剛體的相對初始位置的轉(zhuǎn)角。離散點(diǎn)坐標(biāo)的選取直接影響計(jì)算出的連桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)劣，因此需要重復(fù)修整相對初始位置的轉(zhuǎn)角，計(jì)算出多組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，然后選取最優(yōu)離散點(diǎn)坐標(biāo)。經(jīng)多次調(diào)整取得P點(diǎn)較合理的4個精確位置坐標(biāo)及轉(zhuǎn)角，見表1。

圖3 邊界條件示意圖

圖4 P點(diǎn)位置坐標(biāo)

表1 P點(diǎn)坐標(biāo)及轉(zhuǎn)角

利用數(shù)值分析軟件MATLAB編寫計(jì)算程序，得出A0點(diǎn)坐標(biāo)和r5，r2的相應(yīng)關(guān)系圖，如圖5 所示。取不同A0點(diǎn)x坐標(biāo)值計(jì)算相應(yīng)的y坐標(biāo)值、桿r5長度和桿r2長度。從圖5 可知：A0點(diǎn)y坐標(biāo)變化不大；r5長度隨著A0點(diǎn)與o點(diǎn)的距離減小而增大；r2長度隨著A0點(diǎn)與o點(diǎn)的距離減小而減小。根據(jù)連桿受力情況和運(yùn)動空間，鉸鏈A0點(diǎn)坐標(biāo)要離鉸鏈o點(diǎn)有一定距離，桿r5和桿r2長度比要較小。選擇A0點(diǎn)x坐標(biāo)值為470mm，得相應(yīng)y坐標(biāo)為265.2mm，r5為326.3 mm，r2為245.7mm，所有值歸整為：A0y＝265mm，r5＝326mm，r2＝246mm。

由歸整后的參數(shù)繪制機(jī)構(gòu)圖，在動力學(xué)分析軟件ADAMS中對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行虛擬樣機(jī)的建模與仿真分析，得到連桿P點(diǎn)和關(guān)鍵頂點(diǎn)M的軌跡曲線，如圖6 所示。由圖6 中可知，連桿P點(diǎn)始終在內(nèi)邊界范圍內(nèi)，關(guān)鍵頂點(diǎn)M未與邊界約束發(fā)生干涉，從而驗(yàn)證構(gòu)造的連桿機(jī)構(gòu)滿足邊界約束的要求。

4 結(jié)論

圖5 A0點(diǎn)坐標(biāo)及r5，r2長度

圖6 P點(diǎn)和M點(diǎn)軌跡圖

本文通過對四位置導(dǎo)引鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)的綜合分析，用實(shí)例介紹了約束空間內(nèi)平面連桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)。利用MATLAB通過多次調(diào)整離散點(diǎn)的坐標(biāo)及相對轉(zhuǎn)角來尋求合理的連桿尺度參數(shù)，在ADAMS中驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)連桿機(jī)構(gòu)的合理性。在計(jì)算過程中還可改變自定參數(shù)來計(jì)算出相應(yīng)的未知參數(shù)，從而擴(kuò)展該綜合方法的應(yīng)用。

［1］梁崇高.平面連桿機(jī)構(gòu)的計(jì)算設(shè)計(jì)［M］.北京：高等教育出版社，1993.

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