離散正奇異切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性

黃麗瓊

（商洛學院 數(shù)學與計算機應用學院，陜西商洛726000)

離散正奇異切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性

黃麗瓊

（商洛學院 數(shù)學與計算機應用學院，陜西商洛726000)

通過分析離散正奇異切換系統(tǒng)解的結構和解的正性要求，運用一個輔助的正標準切換系統(tǒng)，給出離散正奇異切換系統(tǒng)在任意切換信號下是穩(wěn)定的兩個充分條件。并給出數(shù)值算例驗證結論的可行性。

正系統(tǒng)；奇異系統(tǒng)；切換系統(tǒng)；穩(wěn)定性

切換系統(tǒng)是混合系統(tǒng)的一種，切換系統(tǒng)是由一系列的動態(tài)子系統(tǒng)和一種切換策略構成，該策略協(xié)調子系統(tǒng)之間的運行。離散正奇異切換系統(tǒng)是指切換系統(tǒng)中的每一個子系統(tǒng)都是正系統(tǒng)?，F(xiàn)實生活中有很多動態(tài)子系統(tǒng)都是這類奇異切換系統(tǒng)，例如，通信系統(tǒng)，化學反應系統(tǒng)，電路網(wǎng)絡系統(tǒng)。1999—2006年，Liberzon和Morsc等眾多學者對一般奇異切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可穩(wěn)定性進行了大量的研究[1-8]。2006—2010年，Robert Cimochowski對離散正標準切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了研究[9-11]，2011年，Ettore Fornasini對離散正標準切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可穩(wěn)定性進行了系統(tǒng)的分析和整理。Cimochowski對離散正標準時滯切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了研究[12]。本文主要討論了離散正奇異切換系統(tǒng)在任意切換下的穩(wěn)定性問題。

本文用到的記號基本都是標準的。具體地，Rn為n維實向量空間，為n維非負實向量空間，C為復數(shù)集，N為正整數(shù)集，N0為非負整數(shù)，AT為矩陣的轉置，rank(A)為矩陣A的秩，A-1為矩陣A的逆矩陣，AD為矩陣A的Drazin逆,即滿足下列3個式子：1)ADAAD=AD，2)ADA=AAD，3)Ak+1AD=Ak，k≥ind(A)，A＞0表示矩陣A是正定的，A＜0表示矩陣A是負定的，表示矩陣A是正的，即A的每一個元素都是正的。

1 定義

考慮離散正奇異切換系統(tǒng)

其中x(k)∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)，映射δ：N0→M是任意切換信號，M={1，2，…，m}是一個指標集，設系統(tǒng)(Ei，Ai)為系統(tǒng)(1)的第i個子系統(tǒng)，δ(k)∈i，i∈M表示第i個子系統(tǒng)激活，rank(Ei)=r＜n，i∈M。

定義1[10]如果存在一系列λi∈C，i∈1，2，…，m，使得det(λiEi-Ai)≠0，則稱系統(tǒng)(1)是正則的。

考慮離散正奇異系統(tǒng)

根據(jù)文獻[13]知，如果系統(tǒng)(2)是正則的，則存在兩個非奇異矩陣M，N，使得

其中撰為冪零的,J為Jordan標準型。

如果系統(tǒng)(2)是正則的,則系統(tǒng)(2)的解能夠唯一表示為

定義2[13]如果對每一個可容許初始狀態(tài)，系統(tǒng)(2)的狀態(tài)軌跡都是非負的,即，則稱系統(tǒng)(2)是正系統(tǒng)。

定義3[12]奇異切換系統(tǒng)(1)是正系統(tǒng),當且僅當系統(tǒng)(1)的所有子系統(tǒng)都是正系統(tǒng)。

定義4[9]奇異系統(tǒng)(2)是漸近穩(wěn)定的,當且僅當(3)式滿足條件。

定義5[13]如果系統(tǒng)(2)是正則的且，則系統(tǒng)(2)是正系統(tǒng)當且僅當。

2 引理與定理及其證明

假設1離散正奇異切換線性系統(tǒng)(1)滿足。

引理1假設1成立，則離散正奇異切換系統(tǒng)(1)的解可由一個可容許的初始狀態(tài)x(0)唯一給出

證明在考慮切換系統(tǒng)(1)的唯一解時，由于一個狀態(tài)跳躍會出現(xiàn)在切換瞬間，導致在上一個切換下系統(tǒng)最后所到達的狀態(tài)或許不是下一個子系統(tǒng)激活狀態(tài)下的可容許初始條件，因此，首先考慮一個在k步內沒有切換的系統(tǒng)，給出一個可容許初始狀態(tài)x(0)，則這個系統(tǒng)在k步的解為，則x(k)必須是第k+1步處子系統(tǒng)的可容許初始狀態(tài)，即

而(5)中所給出的條件和假設1是等價的，所以假設1成立，系統(tǒng)(1)的解可由(4)式唯一給出。

定理1設假設1對系統(tǒng)(1)成立，如果存在m個向量滿足條件，則稱系統(tǒng)(1)在任意切換下是穩(wěn)定的。

證明假設1對系統(tǒng)(1)成立，x(0)是的一個可容許初始條件，則由(4)式得到φ(k，0)滿足遞歸方程，則系統(tǒng)(1)在假設1下能轉變?yōu)?/p>

切換系統(tǒng)(6)是穩(wěn)定的，則切換系統(tǒng)(1)就是穩(wěn)定的，定義，則系統(tǒng)(6)可寫為，選擇李亞普諾夫函數(shù)

由于V(x，x(k))滿足任意的切換率，

所以對(7)式的特殊配置也是成立的。

則得到V(x，x(k))≥0且為遞減的，因此切換線性系統(tǒng)(6)是穩(wěn)定的，即原奇異切換線性系統(tǒng)(1)是穩(wěn)定的。

引理2[14]若系統(tǒng)(1)是正系統(tǒng)，任意固定一個切換信號σ，xa(·)，xb(·)是系統(tǒng)(1)的解，xa(0)，xb(0)是系統(tǒng)(1)的初始狀態(tài)，如果，則xb(·)。

引理3[14]設假設1成立，如果存在m個向量滿足

證明假設條件(8)成立，對任意的i，j∈M，存在一個足夠小的mij＞0，則

則(10)式是成立的。

定理2設假設1對系統(tǒng)(1)成立，如果存在m個向量滿足條件(8)，則稱系統(tǒng)(1)在任意切換下是穩(wěn)定的。

證明由于假設1對系統(tǒng)(1)成立，如果存在m個正向量滿足條件(8)，任意給定一個切換σ：N0→M，則對任意給定的一個常數(shù)ε＞0，總存在一個常數(shù)v＞0使得||vλi||＜ε，(i∈M)，選擇， i∈M根據(jù)引理3則存在一個0＜u＜1，使得

其中xvλ是系統(tǒng)(1)在初始狀態(tài)vλ下的解。

設初始條件x(0)滿足||x(0)||＜σ=v min{τ1，τ2，…，τn}，τi是λ的第i個元素，則

其中xx(0)是系統(tǒng)(1)在初始狀態(tài)x(0)下的一個解，因此得到

注定理1與定理2中的條件為相互補充的條件，不能被相互替換，可參看例題。

例1考慮具有如式(11)參數(shù)的正奇異切換系統(tǒng)

存在兩個向量λ1=[98.3405,81.9584,76.3041]，λ2=[100.8940,78.7394,83.2246]使得定理2中的條件，?i，j∈M成立，通過定理2可知正奇異切換系統(tǒng)是穩(wěn)定的。然而不存在向量λ1，λ2使得定理1中的條件， j∈M，成立。

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（責任編輯：李堆淑）

The Stability of the Discrete Positive Singular Switched System

HUANG Li-qiong
(College of Mathematics and Computer Application,Shangluo University,Shangluo 726000,Shaanxi)

Through analysis of the solution structure and the positivity of the positive singular switched system,an auxiliary positive standard switched system is adopted to explore two sufficient conditions for stability under arbitrary switching.And a numerical example is given to illustrate the validity of the proposed conditions.

positive system;positive singular system;switched system;stability

O231

：A

：1674-0033（2014）06-0016-03

10.13440/j.slxy.1674-0033.2014.06.006

2014-05-10

商洛學院科研基金項目(14SKY008)

黃麗瓊，女，陜西洛南人，碩士，助教