廣義高階Bernoulli多項(xiàng)式的一些恒等式及其應(yīng)用

王念良

（商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院/應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，陜西商洛726000）

廣義高階Bernoulli多項(xiàng)式的一些恒等式及其應(yīng)用

王念良

（商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院/應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，陜西商洛726000）

Bernoulli多項(xiàng)式及其多種推廣形式在組合數(shù)學(xué)、解析數(shù)論等領(lǐng)域中起著十分重要的作用。廣義Bernoulli多項(xiàng)式Bn,χ(x)與Euler多項(xiàng)式、Dirichlet級(jí)數(shù)有密切的聯(lián)系。應(yīng)用絕對(duì)收斂Laurent級(jí)數(shù)的卷積公式，給出了廣義高階Bernoulli多項(xiàng)式的一些表達(dá)式和一個(gè)推論。

Bernoulli數(shù)；廣義高階Bernoulli多項(xiàng)式；Laurent級(jí)數(shù)

1 引言與結(jié)論

設(shè)q是大于1的正整數(shù)，χ是模q的Dirichlet特征。廣義高階Bernoulli數(shù)、廣義高階Bernoulli多項(xiàng)式分別定義[1]為：

廣義Bernoulli數(shù)能給出Dirichlet L函數(shù)在0和負(fù)整數(shù)處的值[2]Bernoulli數(shù)、Bernoulli多項(xiàng)式及其推廣形式，在解析數(shù)論、組合數(shù)學(xué)中有著十分重要的地位，吸引了許多國(guó)際、國(guó)內(nèi)學(xué)者、專家的研究興趣，得到了很多有趣的結(jié)論，部分內(nèi)容讀者可參閱文獻(xiàn)[1-17]。本文應(yīng)用第一類stirling數(shù)s(m,k)，Dirichlet級(jí)數(shù)在s=-n,(n∈Z,n≥0)處的值，給出了廣義高階Bernoulli多項(xiàng)式的一些卷積和公式，并由此得到了廣義高階Bernoulli數(shù)的一個(gè)恒等式，即

2 定理的證明

這就證明了定理1。

推論1的證明由定理1和(1)式、(2)式，顯然結(jié)論成立。

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（責(zé)任編輯：李堆淑）

Some Identities Involving Generalized Higher-order Bernoulli Polynom ials and Its Applications

WANG Nian-liang
(College of Mathematics and Computer Application，Shangluo University/Institute of Applied Mathematics，Shangluo 726000，Shaanxi)

Bernoulli polynomials and its variety generalizations play a central role in the theory of Combination and Analytic Number Theory.It is well-known that the generalized Bernoulli polynomial Bn,χ(x)closely related to Euler polynomials and Dirichlet series.By the product formulas of the absolute convergence Laurent expansion,a representation of generalized Higher-order Bernoulli polynomial and a corollary are obtained.

Bernoulli number；generalized higher-order Bernoulli polynomial；Laurent series

O156.4

：A

：1674-0033（2014）06-0003-03

10.13440/j.slxy.1674-0033.2014.06.001

2014-09-28

陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目(2013JK0570)

王念良，男，陜西商州人，博士，教授