有關(guān)次冪原數(shù)函數(shù)的若干性質(zhì)

王麗麗，朱偉義

（浙江師范大學(xué) 數(shù)理信息工程學(xué)院，浙江金華321000）

有關(guān)次冪原數(shù)函數(shù)的若干性質(zhì)

王麗麗，朱偉義

（浙江師范大學(xué) 數(shù)理信息工程學(xué)院，浙江金華321000）

對于任意給定的正整數(shù)n,p次冪原數(shù)函數(shù)Sp（n）表示使pn|m！的最小正整數(shù)m,即Sp（n）=m in{m:pn|m！}，其中p為素?cái)?shù)。對給定的正整數(shù)k，用初等方法研究了函數(shù)Sp（nk）與Sp（n）之間的關(guān)系，以及Sp（n）的值與項(xiàng)數(shù)n的對應(yīng)關(guān)系，得到了。

p次冪原數(shù)函數(shù)；初等方法；漸近公式

1 引言及定理

任意給定一個(gè)素?cái)?shù)p,對于任意的正整數(shù)n,定義p次冪原數(shù)函數(shù)Sp(n)為使pn|m！的最小的正整數(shù)m,即Sp(n)=m in{m:pn|m！}，例如，S2(1)=2, S3(1)=3,S2(2)=S2(3)=4,S3(2)=6,S3(3)=S3(4)=9,……。數(shù)論專家F.Smarandache教授在文獻(xiàn)[1]中建議研究序列{Sp(n)}的相關(guān)性質(zhì)。不少作者已經(jīng)對該問題進(jìn)行了研究,并得到了一些有意義的結(jié)論[1-5]。例如,文獻(xiàn)[2]給出了一個(gè)有關(guān)序列{Sp(n)}的漸近公式,即對任意給定的素?cái)?shù)p和任意正整數(shù)n,有:

文獻(xiàn)[3]得出結(jié)論:對于任意實(shí)數(shù)x≥2,設(shè)p為一個(gè)素?cái)?shù),那么有

文獻(xiàn)[4]研究了序列{Sp（n）}與Riemann zeta-函數(shù)之間的關(guān)系,給出了有關(guān)函數(shù)Sp(n)的一個(gè)恒等式,即對于任意Res＞1的復(fù)數(shù)s和素?cái)?shù)p,有

這里ζ（s）為Riemann zeta-函數(shù)。

文獻(xiàn)[5]研究了函數(shù)Sp(n2)與Sp(n)的關(guān)系,給出了對任意給定一個(gè)素?cái)?shù)p及正整數(shù)n，當(dāng),有

其中[x]表示x的整數(shù)部分。

本文首先對文獻(xiàn)[5]做了進(jìn)一步推廣，研究了函數(shù)Sp(nk)與Sp(n)之間的關(guān)系，再進(jìn)一步研究了序列{Sp(n)}中Sp(n)的值與項(xiàng)數(shù)n的對應(yīng)關(guān)系,并且給出以下兩個(gè)的結(jié)論：

定理1任意給定一個(gè)素?cái)?shù)p，對于任意正整數(shù)n和k,k≥2，如果,則有，其中[x]表示x的整數(shù)部分。

定理2任意給定一個(gè)素?cái)?shù)p,對任意正整數(shù)k,q,若不整除q,則有唯一的正整數(shù)n使得Sp(n)+ Sp(n+1)=…=Sp（n+k-1）=pkq成立,且有。

2 引理及其證明

為了證明結(jié)論，先證明兩個(gè)引理:

引理1對于任意素?cái)?shù)p和正整數(shù)2≤l≤p-1，有

a)Sp(n)=np,1≤n≤p；

b)Sp(n)=(n-l+1)p,(l-1)p+l-2＜n≤lp+l-1。

證明證明參見文獻(xiàn)[5]。

引理2對于任意素?cái)?shù)p和正整數(shù)k, k≥2,如果pk-2＜n≤pk，有Sp(n)=（n-pk-1+ 1）p。

證明要證明引理2,只須證明pn||（（n-pk-1+ 1)p)!。由條件pk-2＜n≤pk,則有

于是就有

從而當(dāng)pk-2＜n≤pk時(shí),有pn||((n=pk-1+1)p)!,這就證明了

Sp(n)=（n-pk-1+1）p。

引理3設(shè)n是正整數(shù)，p是素?cái)?shù)，再設(shè)α滿足pn||n！，那么。

證明證明參見文獻(xiàn)[6]。

3 定理的證明

定理1的證明假設(shè)Sp(nk)=up,根據(jù)引理3以及Sp(n)的定義,有

分兩種情況進(jìn)行討論。

第一種情況，如果(l-1)p+l-2＜nk≤lp+l-1(l= 2,3,…，p-1),則由引理1可知

又由假設(shè)Sp(nk)=up，從而有u=nk-l+1。注意到。則(1)式就成為。

第二種情況，如果p2-2＜nk≤p2,根據(jù)引理2就有

結(jié)合假設(shè)Sp(nk)=up和(3)式，則有u=nk-p+1，與引理2的證明類似，并注意到。所以(1)式就成為。

由此，可以得出當(dāng)p＜nk≤p2時(shí)，有

定理2的證明設(shè)m=pkq,易知在數(shù)列{Sp(n)}中m重復(fù)出現(xiàn)了k次。故當(dāng)p和m給定時(shí)，上述方程有唯一的解。

由Sp(n)的定義可知，

所以，任意給定一個(gè)素?cái)?shù)p和一個(gè)正整數(shù)m(m= kp)，可以確定m在序列{sp(n)}中所對應(yīng)的項(xiàng)數(shù)n。

[1]Smarandache F.Only Problems,Not Solutions[M]. Chicago:Xiquan Publishing House,1993:41-42.

[2]Zhang W P,Liu D S.On the primitive numbers of power p and its asymptotic property[J].Smarandache Notions Journa l,2002,13:171-175.

[3]Yi Y.On the primitive numbers of power p and its asymptotic property[J].Scientia Magna,2005,1:175-177.

[4]Xu Z F.Some arithmetical properties of primitive numbers of power p[J].Scientia Magna,2006,2:9-12.

[5]Yang CD,Chen Guohui.The relationship between and[J].Pure and Applied Mathematics,2007,3:31-34.

[6]Pan CD,Pan Chengbiao.The Elementary Number Theory[M].Beijing:Beijing University Press,2003:64.

(責(zé)任編輯：李堆淑）

Some Properties of Prim itive Function of Power

WANG Li-li，ZHU Wei-yi
(School of Mathematical lnformational Engineering,Zhejiang Normal University,Jinhua 321000,Zhejiang)

Let p be a fixed prime,for any positive integer n,the primitive function of power p is defined as the smallest positive integer m such that pn|m！.That is,Sp（n）=m in{m:pn|m！}，where p is a prime.Some properties of Sp（n）is studied by using elementary methods,and two conclusions ofare obtained.

primitive function of power p;elementary method;asymptotic formula

O156.2

：A

：1674-0033（2014）04-0025-02

10.13440/j.slxy.1674-0033.2014.04.06

2014-04-11

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11271331)

王麗麗，女，浙江金華人，碩士研究生