基于譜圖和約束NMF的滾動軸承特征頻譜提取算法

崔得龍,張清華,肖明,王磊

(1．廣東石油化工學院 計算機與電子信息學院，廣東 茂名 525000；2．廣東省石化裝備故障診斷重點實驗室，廣東 茂名 525000；3．太原理工大學 信息工程學院， 太原 030024)

信號的時頻分析是信號處理的一個重要領域，其研究對象主要是非平穩(wěn)信號。時頻分析的任務是描述信號的頻譜如何在時間上變化，研究并了解時變頻譜在數(shù)學和物理之間的對應關系，構造合適的時頻分布并進行恰當?shù)奶幚?，達到不同的信號處理目的。因此，尋找合適的、性能優(yōu)良的時頻分布是非平穩(wěn)信號分析與處理的重要研究內容。目前，研究非平穩(wěn)信號常用的方法有短時Fourier變換、Wigner-Will分布、科恩類等，不同分析方法具有不同的特點和應用范圍。

短時Fourier變換[1]通過選取適當?shù)拇昂瘮?shù)，可實現(xiàn)一定程度上的時頻分析，而且通過短時Fourier變換建立起來的頻譜圖是最簡單、最直觀的一種時頻分布，但在分析非平穩(wěn)信號時，時間分辨率和頻率分辨率要受到窗函數(shù)寬度的限制，不能同時達到最優(yōu)；Wigner-Will分布[2]和科恩類時頻分布雖然具有良好的時頻特性，可以準確估計信號瞬時頻率、瞬時帶寬等時頻參數(shù)，但存在交叉干擾項，影響了實際應用范圍；除此之外，非平穩(wěn)信號分析與處理還包括時變譜估計技術和最優(yōu)過濾技術在非平穩(wěn)信號處理中的延伸和發(fā)展，以及特殊平穩(wěn)信號的平穩(wěn)化處理、循環(huán)平穩(wěn)信號分析與處理等重要專題。

非負矩陣分解(Non-Negative Matrix Factorizations, NMF)[3]是在矩陣中所有元素均為非負數(shù)約束條件之下的矩陣分解方法，這種非負性條件符合許多實際問題的要求。NMF區(qū)別于主分量分析、線性鑒別分析、投影尋蹤、因子分析、冗余歸納、獨立分量分析等常用的信號變換方法，其使分解后的所有分量均為非負值(純加性)，并同時實現(xiàn)了非線性的維數(shù)約減。這種非負性的限制導致了相應描述在一定程度上的稀疏性，更能體現(xiàn)智能數(shù)據(jù)處理的本質。純加性和稀疏性使得對數(shù)據(jù)的描述變得方便與合理，同時還在一定程度上抑制了外界變化對特征提取造成的影響，所以NMF已逐漸成為信號處理、生物醫(yī)學工程、模式識別、計算機視覺和圖像工程等研究領域中應用廣泛的多維數(shù)據(jù)處理工具[3-7]。

為了克服傳統(tǒng)時頻分析中信號特征頻譜提取技術的參數(shù)敏感問題，設計了一種基于譜圖和約束NMF(CNMF)的特征頻譜提取算法。該算法首先對振動信號進行歸一化預處理和短時Fourier變換，獲得代表非平穩(wěn)信號特性的瞬時參數(shù)即譜圖；然后對譜圖進行CNMF分解；最后由分解得到的基矩陣獲得原始振動信號的特征頻譜；并對其可行性和有效性進行了試驗驗證。

1 非負矩陣分解

1.1 NMF

定義：對一個M維的隨機向量v進行N次觀測，記為vj,j=1,2,…,N，取V=[V·1,V·2,…,V·N]，其中V·j=vj[6]，則要求存在非負的M×L的基矩陣W=[W·1,W·2,…,W·N]和L×N的系數(shù)矩陣H=[H·1,H·2,…,H·N]使V≈W·H[8]。

顯然，NMF是用非負約束來獲取數(shù)據(jù)表示的一種方法。由于它只允許數(shù)據(jù)是原始數(shù)據(jù)的加性組合，因此被稱為基于部分的特征提取方法。通常要求L≤min(M,N)，即當W包含隨機變量的本質特征時，才能使用較少的基數(shù)據(jù)去描述大量的樣本數(shù)據(jù)，使V≈W·H成立。

NMF的實現(xiàn)是一個優(yōu)化求解的過程，文獻[9]證明了NMF存在唯一解的條件?；舅枷胧呛侠淼貥嬙炷繕撕瘮?shù)，交替地優(yōu)化W和H，從而得到NMF的一個局部最優(yōu)解。算法的關鍵是目標函數(shù)的設定和迭代規(guī)則的選擇。目標函數(shù)為最小化‖V-W·H‖2，對于任意W，H，當W,H≥0時迭代規(guī)則為

1.2 CNMF

對于特征頻譜提取問題，如果除V≈W·H這一非負分解式之外，沒有其他有關源信號的先驗知識，則存在特征頻譜提取結果不唯一的問題。在實際應用中，特征頻譜提取通常要求提取的信號頻譜數(shù)量最少且獨立性最大。因此，引入約束條件[10]

(1)

式中：ε為預先設定的允許誤差最小值；L的最小值即為提取的特征頻譜數(shù)。(1) 式為典型的線性優(yōu)化問題，其迭代計算公式為

(2)

(3)

(4)

式中：λ為搜索步長；dij為可行下降方向dj的元素，類似可得d′i的計算公式。

2 算法設計

基于譜圖和CNMF的特征頻譜提取算法的具體步驟如下。

(1)預處理，將采集到的振動信號進行歸一化預處理，得到歸一化振動信號

(5)

(2)歸一化振動信號時頻分析獲得代表歸一化振動信號特性的瞬時參數(shù)，即譜圖。首先對歸一化振動信號進行短時Fourier變換

(6)

式中：h(t)為窗函數(shù)。然后計算譜圖

(7)

譜圖為信號實值、非負的二次型分布，且具有時移和頻移不變性。

(3)對譜圖進行CNMF分解

SS≈W·H。

(8)

由于信號譜圖數(shù)值非負，因此可直接應用非負矩陣分解進行變換，無需進行任何額外處理。在進行信號譜圖CNMF分解時，設定允許的收斂誤差ε和初始步長λ，將分解所得的基矩陣W進行表達，即獲得原始機械振動信號的特征頻譜。由于信號譜圖具有時移和頻移不變性，分解結果的表達也包含有原始信號時間和頻率的信息。

組合式旋轉機械復合故障診斷試驗裝置如圖1所示，使用EMT490測振設備測量試驗對象的振動加速度信號。利用上述算法進行特征頻譜提取，結果如圖2所示。

圖1 組合式旋轉機械復合故障診斷試驗裝置

對比圖2b和圖2d，圖2b的提取結果包含了原始振動加速度信號的所有頻譜分量，由于原始振動加速度信號成因復雜，頻譜分量數(shù)目眾多，不易進一步頻譜分析；圖2d提取的特征頻譜包含了原始頻譜圖中的絕大部分信息，同時有效的抑制了外界噪聲的干擾。

圖2 特征頻譜提取效果圖

3 試驗結果

3.1 仿真試驗

按照表1選取不同組合的統(tǒng)計相關或統(tǒng)計無關混合源信號，利用所設計的算法進行仿真試驗，其中f1=10 Hz，f2=20 Hz，f3=30 Hz，f4=40 Hz，f5=50 Hz，f6=60 Hz，f7=70 Hz，f8=80 Hz，混合信號時長t=10 s，采樣頻率fs=200 Hz。仿真試驗計算機硬件配置為Intel(R) Core(TM)2 Duo CPU(2.93GHz)，3.25GB內存，500G硬盤，操作系統(tǒng)為Windows XP，試驗環(huán)境為MATLAB 2010b，試驗結果如圖3所示。

表1 仿真信號

由圖3的試驗結果可見，無論源信號之間是否相關，提取的特征頻譜均包含了原始采樣信號頻譜中的絕大部分信息，同時有效地降低了外界噪聲的干擾。

圖3 仿真試驗特征頻譜提取結果

3.2 工程應用

為了進一步驗證算法的可行性和有效性，選用文獻[11]的數(shù)據(jù)進行驗證。如圖4所示，試驗平臺由感應電動機、扭矩傳感器記錄儀、測力計等組成。加速度傳感器安放于軸承端部進行數(shù)據(jù)采集，采集的軸承數(shù)據(jù)來自于電動機驅動端，外圈固定，所用軸承為SKF 6205-2RS JEM深溝球軸承，球組節(jié)圓直徑Dpw=39 mm，鋼球直徑Dw=8 mm，接觸角α=0，內徑d=25 mm，鋼球數(shù)Z=9，電動機額定轉速1 796 r/min，軸頸旋轉頻率fr=29.93 Hz。采用電火花技術在軸承上預設置單點故障，分別模擬正常、內圈故障、外圈故障和鋼球故障。試驗時，采樣頻率為12 kHz，選取的數(shù)據(jù)長度為4 096。

圖4 試驗平臺

理論計算可知,鋼球故障特征頻率為

內圈故障特征頻率為

外圈故障特征頻率為

實例分析特征頻譜提取結果如圖5所示，圖5中傳統(tǒng)頻譜分析提取的特征頻率分別為164.1，164.1，117.2 Hz，文中算法提取的特征頻率分別為179，63，118 Hz，其中63 Hz可看做內圈故障特征頻率的二分頻。由于軸承經常運行在復雜的工況下，傳感器采集到的振動信號除了包含軸承的故障信息以外，通常還包含其他旋轉軸的轉頻及其倍頻等諧波成分和噪聲，這些諧波成分和噪聲通常會干擾對軸承的診斷。由圖5可知，使用傳統(tǒng)的頻譜分析方法，故障信號特有頻率分量淹沒在背景信號之中，難以有效提取和分析。而文中設計算法提取的特征頻譜不僅有效抑制了外界噪聲的干擾，而且包含了故障信號的特有頻譜信息，為準確診斷故障類型提供了可靠依據(jù)。

圖5 實例分析特征頻譜提取結果

4 結束語

為了克服傳統(tǒng)時頻分析中信號特征頻譜提取中參數(shù)敏感問題，將譜圖理論和CNMF相結合，設計了一種基于譜圖和CNMF的特征頻譜提取算法。理論和試驗結果表明，本算法提取的特征頻譜不僅包含了原始頻譜圖中的絕大部分信息，而且有效抑制了外界噪聲的干擾，為準確診斷故障類型提供了有效依據(jù)。同時由于譜圖概念簡單，運算速度快，可實現(xiàn)故障的在線檢測。今后的工作將集中于降低收斂誤差、優(yōu)化搜索步長和進一步提高參數(shù)的準確選取等方面。