TC4-DT鈦合金疲勞長裂紋擴展速率的數(shù)學描述方程

李 靜，祝力偉，朱知壽，王新南

(北京航空材料研究院，北京 100095)

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TC4-DT鈦合金疲勞長裂紋擴展速率的數(shù)學描述方程

李 靜，祝力偉，朱知壽，王新南

(北京航空材料研究院，北京 100095)

針對經(jīng)準β熱處理獲得的片層組織TC4-DT鈦合金的疲勞長裂紋擴展速率實驗結果，通過數(shù)值分析和線性回歸擬合，推導了Paris方程、Forman方程和Elber方程的數(shù)學表達式，并對擬合結果的相關系數(shù)和誤差進行了分析，對比了3種數(shù)學方程對片層組織TC4-DT鈦合金疲勞長裂紋擴展速率的擬合精度。在此基礎上，對已有模型進行優(yōu)化和修正，提出了F-E分段方程。該方程以片層組織TC4-DT鈦合金裂紋擴展速率曲線上轉(zhuǎn)折點對應的應力強度因子幅ΔKt為分界點，分別對實驗數(shù)據(jù)進行數(shù)值分析和線性回歸擬合，具有較高的擬合精度。

TC4-DT鈦合金；片層組織；疲勞裂紋擴展速率；數(shù)學方程

0 引 言

疲勞裂紋擴展速率是損傷容限性能的重要指標之一，裂紋擴展特征和規(guī)律直接反應了材料或構件的抗疲勞性能，是研究損傷累積和斷裂失效機理的最直觀手段。研究疲勞裂紋擴展規(guī)律具有重要的工程實用意義：①解決材料的定壽問題；②解決材料的延壽問題；③利用簡單有效的力學性能參數(shù)估算材料的疲勞性能，達到簡化或取代疲勞試驗的目的。

對于材料疲勞裂紋的研究，早期的設計思想在預測含缺陷構件疲勞壽命時，一般只考慮和計算疲勞裂紋擴展的第二階段已能夠滿足要求[1]，在研究方法上，人們通常使用線彈性斷裂力學方法來研究裂紋的擴展問題。實踐證明，使用這種方法來處理疲勞裂紋擴展速率的實驗結果，較好地適應了早期工程中對含缺陷構件裂紋擴展壽命的預測[2-3]。

然而，一個成熟的裂紋擴展理論需要滿足兩個重要條件，即能夠確切描述裂紋擴展真實過程的物理模型和精確表達該物理模型的定量數(shù)學方程[4]?，F(xiàn)有的裂紋擴展速率的數(shù)學表達式都是在連續(xù)介質(zhì)力學的基礎上發(fā)展起來的，在彈塑性范圍內(nèi)，利用應力強度因子來描述應力應變場的全部過程，已經(jīng)形成了許多成熟的理論和模型[5-9]，其中，Paris模型、Walker模型適用于描述疲勞裂紋的穩(wěn)態(tài)擴展區(qū)，而Elber模型則拓展到了門檻值ΔKth附近，F(xiàn)orman模型拓展到了高應力強度因子幅區(qū)，除此之外，Nicholson[10]、Irving[11]等研究了能夠描述疲勞裂紋擴展全過程的數(shù)學模型并提出了相應的數(shù)學表達式，但作為半經(jīng)驗方程仍然很難準確描述裂紋擴展規(guī)律。由此可見，要真正解決工程中疲勞裂紋擴展速率的分析問題，需要進一步發(fā)展能夠全面表征疲勞裂紋擴展全過程的數(shù)學模型及其表達式。

本研究針對片層組織TC4-DT鈦合金的疲勞長裂紋擴展速率，通過對實驗數(shù)據(jù)進行數(shù)值分析，推導了Paris模型、Elber模型和Forman模型的數(shù)學表達式，并對三種模型的擬合精度進行了對比分析。在此基礎上，提出了一個可描述疲勞長裂紋擴展的新模型，該模型綜合考慮了門檻值ΔKth、斷裂韌度KIC和應力比R，可有效描述門檻值附近和高應力強度因子幅范圍內(nèi)的裂紋擴展行為，并結合片層組織TC4-DT鈦合金疲勞長裂紋擴展速率曲線特征，建立了該模型的分段數(shù)學表達式，為探索可描述疲勞長裂紋擴展全過程的數(shù)學模型提供理論參考。

1 實 驗

實驗用原材料為經(jīng)三次真空自耗熔煉和開坯鍛造后制得的φ210 mm TC4-DT鈦合金棒材(經(jīng)α+β兩相區(qū)熱加工后空冷至室溫得到鍛件)。然后采用準β熱處理工藝對鍛件進行熱處理，具體工藝為950 ℃×1 h后隨爐升溫，再經(jīng)998 ℃×30 min/AC + 730 ℃×2 h/AC處理。熱處理后TC4-DT鈦合金的顯微組織為典型的片層組織，如圖1所示。合金的斷裂韌度KIC= 103 MPa ·m1/2，外延法測得的門檻值ΔKth= 7.83 MPa ·m1/2。

疲勞裂紋擴展速率實驗采用標準緊湊拉伸(CT)試樣，取樣方向為T-L方向。測試按照GB/T 6398—2000標準要求，實驗條件為室溫(23 ℃)、大氣環(huán)境、恒幅(應力比R=0.1，加載頻率f=15 Hz)，裂紋測量采用分辨率為0.01的讀數(shù)顯微鏡，每隔一定的加載循環(huán)(循環(huán)次數(shù)為N)后測量裂紋擴展量(a)，繪出a-N曲線，計算機根據(jù)自編程序可以得到每循環(huán)一次的裂紋擴展量，即疲勞裂紋擴展速率da/dNi(單位：mm/cycle)，同時還可以得到應力強度因子幅ΔK，然后利用數(shù)值分析軟件繪制出da/dNi-ΔK的關系曲線，即為疲勞裂紋擴展速率曲線。

圖1 TC4-DT鈦合金經(jīng)準β熱處理后的顯微組織Fig.1 Microstructure obtained by quasi-β heat-treatment of TC4-DT titanium alloy

2 結果與分析

2.1 典型數(shù)學模型擬合精度分析

Paris模型、Forman模型和Elber模型關于片層組織TC4-DT鈦合金疲勞長裂紋擴展速率的數(shù)學表達式以及擬合精度如表1所示，對實驗數(shù)據(jù)的擬合效果如圖2所示。

圖2 Paris、Forman、Elber模型對實驗數(shù)據(jù)的擬合結果Fig.2 The fitting results of Paris, Forman and Elber mathematical equations

由圖2a可知，Paris方程為一條直線，適合描述裂紋擴展的中速擴展區(qū)，擬合精度為0.617 3。近門檻區(qū)的預測值比實驗值高，壽命估算結果偏安全，且裂紋擴展速率越小，偏差越大；在高應力強度因子幅的快速擴展區(qū)預測值比實驗值低，壽命估算結果偏危險。由圖2b可知，F(xiàn)orman方程能夠較好地描述裂紋擴展的中速擴展區(qū)和快速擴展區(qū)，擬合精度為0.675 5。在近門檻區(qū)的預測值高于實驗值，預測結果偏安全，且越靠近低應力區(qū)，擬合結果偏差越大。由圖2c可知，Elber方程能夠較準確地描述近門檻區(qū)和中速擴展區(qū)的裂紋擴展行為，擬合精度為0.951 3。在高應力強度因子幅的快速擴展區(qū)，隨著應力比的增加擬合結果偏差越嚴重，預測結果越偏危險。

根據(jù)表1和圖2可以得到以下結果：

(1)在雙對數(shù)da/dN-ΔK坐標中，Paris方程為一條直線，適合于描述中速擴展區(qū)的裂紋擴展行為，但在低應力的近門檻區(qū)預測結果過安全，在高應力區(qū)的預測結果偏危險，擬合精度δ值最小；

(2)Forman方程較好地描述了中速擴展區(qū)和快速擴展區(qū)的裂紋擴展行為，但Forman方程對低應力區(qū)的實驗數(shù)據(jù)擬合的效果與Paris方程近似，即越靠低應力區(qū)附近，擬合偏差越嚴重，擬合精度δ值略高于Paris方程；

(3)Elber方程可以較好地描述低應力近門檻區(qū)和中速擴展區(qū)的裂紋擴展行為，擬合精度δ值也最大，但不能描述高應力區(qū)的實驗數(shù)據(jù)，對實驗數(shù)據(jù)的擬合偏差越嚴重。

2.2 新模型

上述三種方程均不能完整描述疲勞長裂紋擴展的全過程，為了更好地解決疲勞長裂紋擴展規(guī)律和疲勞壽命預測等工程問題，本研究綜合考慮影響裂紋擴展的各種因素，提出了一個可描述疲勞長裂紋擴展的新模型，該模型綜合考慮了門檻值ΔKth、斷裂韌度KIC和應力比R，見方程(1)。

(1)

由于該方程繼承了Forman方程、Elber方程分別在高速區(qū)、近門檻區(qū)的表征特性，本研究暫稱之為F-E方程。當 ΔK→Kth時，da/dN→0，當ΔK→(1-R)ΔKIC時，da/dN→∞，顯然，F(xiàn)-E方程在理論上已經(jīng)成功滿足對雙對數(shù)坐標da/dN-ΔK曲線兩端極限條件下的描述。

研究表明[12-14]，片層組織TC4-DT鈦合金的裂紋擴展速率曲線均存在轉(zhuǎn)折點現(xiàn)象。由于轉(zhuǎn)折點的存在，使得F-E方程在中速區(qū)的壽命預測結果偏危險。為了能夠更準確的預測壽命，采用分段擬合的方法，即利用F-E方程對轉(zhuǎn)折點前后的曲線分別進行擬合，得到的擬合曲線如圖3所示，可見具有較好的擬合效果。其數(shù)學表達式見方程(2)，擬合精度δ= 0.993 7。因此，F(xiàn)-E分段方程是具有較高擬合精度的疲勞長裂紋擴展速率描述模型，比Paris方程、Forman方程和Elber方程具有更好的擬合精度。

圖3 F-E分段方程對實驗數(shù)據(jù)的擬合結果Fig.3 The fitting results of F-E mathematical equation

式中，ΔKt為裂紋擴展速率曲線上轉(zhuǎn)折點對應的ΔK值。

3 結 論

(1)通過插值計算和線性回歸方法，分別推導出了Paris方程、Forman方程和Elber方程的數(shù)學表達式，其中，Pairs方程適合描述裂紋擴展的中速擴展區(qū)的擴展行為，F(xiàn)orman方程適合描述裂紋擴展的中速擴展區(qū)和快速擴展區(qū)的擴展行為，Elber方程對于描述低應力近門檻區(qū)和中速區(qū)的裂紋擴展行為的擬合精度(δ=0.951 3)最高。但三個方程均不能描述裂紋擴展的全部物理過程。

(2)F-E分段方程以轉(zhuǎn)折點對應的應力強度因子幅ΔKt為分界點，分別對實驗數(shù)據(jù)進行數(shù)值分析和線性回歸擬合，得到了具有較為理想擬合精度(δ=0.993 7)的F-E分段方程，此方程克服了已有數(shù)學模型存在的缺陷，能夠較為準確的擬合裂紋擴展的整個過程。

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Mathematical Equations on Fatigue Crack Growth Rate of TC4-DT Titanium Alloy

Li Jing，Zhu Liwei，Zhu Zhishou，Wang Xinnan

(Beijing Institute of Aeronautical Materials，Beijing 100095，China)

Fatigue crack growth rate of TC4-DT titanium alloy with the lamellar microstructure obtained by quasi-βheat-treatment was tested. Paris, Forman and Elber mathematical equations were obtained by data analysis and linear regression fitting on the experiment results. The fitting precisions of three models were made a comparative study of mathematical result by correlation of fitting results and error analysis. A F-E equation with higher fitting precision for two-line segment to describe fatigue crack growth rate was proposed on the optimization and correction of the above models. It was obtained by data analysis and linear regression fitting on the results with ΔKtvalue as a division point.

TC4-DT titanium alloy；lamellar structure；fatigue crack growth rate；mathematical equation

2014-09-26

總裝預先研究資助項目(51312010307)

祝力偉(1982—), 男，工程師。