從“峰回路轉(zhuǎn)”到“殊途同歸”

徐軍

歸納與猜想類考題是極具特色的一類題型，它主要考查學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、認(rèn)知、歸納和應(yīng)用能力，對學(xué)生的觀察能力和概括能力要求也很高，因此備受中考青睞。近年來，各省數(shù)學(xué)中考試題中頻頻出現(xiàn)此類探索規(guī)律型問題，而且形式多樣。那么如何來解這類問題呢？一般來說，可以從以下幾個(gè)角度思考:

一、數(shù)字中找規(guī)律

（2013年湖北省孝感）2008年北京成功舉辦了一屆舉世矚目的奧運(yùn)會(huì)，今年的奧運(yùn)會(huì)將在英國倫敦舉行，奧運(yùn)會(huì)的年份與屆數(shù)如下表所示：

■

表中n等于．

解析：由表格可知，每四年舉辦一次奧運(yùn)會(huì)，由此可得(2012-1896)÷4+1=30

答案:30

點(diǎn)評:此題考查了規(guī)律型數(shù)字的變化，解答此題的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生觀察題目中的數(shù)字，也就是題目中的已知條件，從而得出規(guī)律，再按照規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可水到渠成。

二、圖形中找規(guī)律

（2013年貴州省畢節(jié)市）在下圖中，每個(gè)圖案均由邊長為1的小正方形按一定的規(guī)律堆疊而成，照此規(guī)律，第10個(gè)圖案中共有個(gè)小正方形。

■

解析：觀察圖案不難發(fā)現(xiàn)，圖案中的正方形按照從上到下成奇數(shù)列排布，寫出第n個(gè)圖案的正方形的個(gè)數(shù)，然后利用求和公式寫出表達(dá)式，再把n=10代入進(jìn)行計(jì)算即可得解。

答案：第1個(gè)圖案中共有1個(gè)小正方形，第2個(gè)圖案中共有1+3=4個(gè)小正方形，第3個(gè)圖案中共有1+3+5=9個(gè)小正方形，…，第n個(gè)圖案中共有1+3+5+…+（2n-1）=■=n2個(gè)小正方形，所以，第10個(gè)圖案中共有102=100個(gè)小正方形。

答案：100

點(diǎn)評：本題是對圖形變化規(guī)律的考查。學(xué)生很容易看出正方形的個(gè)數(shù)，但教師要提醒學(xué)生注意圖案從上到下的排布——正方形的個(gè)數(shù)成奇數(shù)列排布，這樣得到第n個(gè)圖案的正方形的個(gè)數(shù)的表達(dá)式才是解題的關(guān)鍵。

三、等式（方程）中找規(guī)律

（2013年廣東汕頭）觀察下列等式：

第1個(gè)等式：a1=■=■×（1-■）；

第2個(gè)等式：a2=■=■×（■-■）；

第3個(gè)等式：a3=■=■×（■-■）；

第4個(gè)等式：a4=■=■×（■-■）；

…

請解答下列問題：

（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：a5=；

（2）用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：an==

（n為正整數(shù)）；

（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值。

解析：（1）（2）可由觀察知，找第一個(gè)等號后面的式子規(guī)律是關(guān)鍵：分子不變，為1；分母是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積，它們與式子序號之間的關(guān)系為序號的2倍減1和序號的2倍加1。

（3）運(yùn)用變化規(guī)律計(jì)算。

答案：（1）■＝■×（■-■）

（2）■；■×（■-■）

（3）■

四、動(dòng)態(tài)中找不變的規(guī)律

（2013年浙江省紹興）如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4D為斜邊BC中點(diǎn)，第1次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AD交于點(diǎn)P1；設(shè)P1D的中點(diǎn)為D1，第2次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D1重合，折痕與AD交于P2；設(shè)P2D1的中點(diǎn)為D2，第3次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D2重合，折痕與AD交于點(diǎn)P3；…；設(shè)Pn-1Dn-2的中點(diǎn)為Dn-1，第n次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)Dn-1重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pn（n＞2），則AP6的長為（）

■

第10題圖

A.■B.■C.■D.■

解析：在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，所以BC=5，

又D是BC的中點(diǎn)，所以AD=■，

因?yàn)辄c(diǎn)A、D是一組對稱點(diǎn)，所以AP1=■×■，

因?yàn)槭荄1是DP1的中點(diǎn)，所以AD1=■×■×■，即AP2=■×■×■×■，

同理AP3=■×■×（■×■）2，…APn=■×■×（■×■）n-1，所以AP6=■×■×（■×■）5=■，故應(yīng)選A。

答案：A

點(diǎn)評：針對這類題目，首先要從最基本的幾個(gè)圖形中先求出數(shù)值，再進(jìn)一步觀察具體的變化情況，從中找出一般規(guī)律。

總之，解答探索規(guī)律型問題，必須在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上，通過歸納、計(jì)算、想象和猜想探索規(guī)律。在探索和遞推時(shí)，往往是從少到多，從簡單到復(fù)雜，或從特殊、簡單的情況入手，通過比較和分析，找出每次變化過程中具有的規(guī)律性的東西，找到解題方法。因此，雖然此類問題“峰回路轉(zhuǎn)”，形式變化莫測，但只要教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度觀察，尋求規(guī)律，最終結(jié)果“殊途同歸”。

歸納與猜想類考題是極具特色的一類題型，它主要考查學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、認(rèn)知、歸納和應(yīng)用能力，對學(xué)生的觀察能力和概括能力要求也很高，因此備受中考青睞。近年來，各省數(shù)學(xué)中考試題中頻頻出現(xiàn)此類探索規(guī)律型問題，而且形式多樣。那么如何來解這類問題呢？一般來說，可以從以下幾個(gè)角度思考:

一、數(shù)字中找規(guī)律

（2013年湖北省孝感）2008年北京成功舉辦了一屆舉世矚目的奧運(yùn)會(huì)，今年的奧運(yùn)會(huì)將在英國倫敦舉行，奧運(yùn)會(huì)的年份與屆數(shù)如下表所示：

■

表中n等于．

解析：由表格可知，每四年舉辦一次奧運(yùn)會(huì)，由此可得(2012-1896)÷4+1=30

答案:30

點(diǎn)評:此題考查了規(guī)律型數(shù)字的變化，解答此題的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生觀察題目中的數(shù)字，也就是題目中的已知條件，從而得出規(guī)律，再按照規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可水到渠成。

二、圖形中找規(guī)律

（2013年貴州省畢節(jié)市）在下圖中，每個(gè)圖案均由邊長為1的小正方形按一定的規(guī)律堆疊而成，照此規(guī)律，第10個(gè)圖案中共有個(gè)小正方形。

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解析：觀察圖案不難發(fā)現(xiàn)，圖案中的正方形按照從上到下成奇數(shù)列排布，寫出第n個(gè)圖案的正方形的個(gè)數(shù)，然后利用求和公式寫出表達(dá)式，再把n=10代入進(jìn)行計(jì)算即可得解。

答案：第1個(gè)圖案中共有1個(gè)小正方形，第2個(gè)圖案中共有1+3=4個(gè)小正方形，第3個(gè)圖案中共有1+3+5=9個(gè)小正方形，…，第n個(gè)圖案中共有1+3+5+…+（2n-1）=■=n2個(gè)小正方形，所以，第10個(gè)圖案中共有102=100個(gè)小正方形。

答案：100

點(diǎn)評：本題是對圖形變化規(guī)律的考查。學(xué)生很容易看出正方形的個(gè)數(shù)，但教師要提醒學(xué)生注意圖案從上到下的排布——正方形的個(gè)數(shù)成奇數(shù)列排布，這樣得到第n個(gè)圖案的正方形的個(gè)數(shù)的表達(dá)式才是解題的關(guān)鍵。

三、等式（方程）中找規(guī)律

（2013年廣東汕頭）觀察下列等式：

第1個(gè)等式：a1=■=■×（1-■）；

第2個(gè)等式：a2=■=■×（■-■）；

第3個(gè)等式：a3=■=■×（■-■）；

第4個(gè)等式：a4=■=■×（■-■）；

…

請解答下列問題：

（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：a5=；

（2）用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：an==

（n為正整數(shù)）；

（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值。

解析：（1）（2）可由觀察知，找第一個(gè)等號后面的式子規(guī)律是關(guān)鍵：分子不變，為1；分母是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積，它們與式子序號之間的關(guān)系為序號的2倍減1和序號的2倍加1。

（3）運(yùn)用變化規(guī)律計(jì)算。

答案：（1）■＝■×（■-■）

（2）■；■×（■-■）

（3）■

四、動(dòng)態(tài)中找不變的規(guī)律

（2013年浙江省紹興）如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4D為斜邊BC中點(diǎn)，第1次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AD交于點(diǎn)P1；設(shè)P1D的中點(diǎn)為D1，第2次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D1重合，折痕與AD交于P2；設(shè)P2D1的中點(diǎn)為D2，第3次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D2重合，折痕與AD交于點(diǎn)P3；…；設(shè)Pn-1Dn-2的中點(diǎn)為Dn-1，第n次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)Dn-1重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pn（n＞2），則AP6的長為（）

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第10題圖

A.■B.■C.■D.■

解析：在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，所以BC=5，

又D是BC的中點(diǎn)，所以AD=■，

因?yàn)辄c(diǎn)A、D是一組對稱點(diǎn)，所以AP1=■×■，

因?yàn)槭荄1是DP1的中點(diǎn)，所以AD1=■×■×■，即AP2=■×■×■×■，

同理AP3=■×■×（■×■）2，…APn=■×■×（■×■）n-1，所以AP6=■×■×（■×■）5=■，故應(yīng)選A。

答案：A

點(diǎn)評：針對這類題目，首先要從最基本的幾個(gè)圖形中先求出數(shù)值，再進(jìn)一步觀察具體的變化情況，從中找出一般規(guī)律。

總之，解答探索規(guī)律型問題，必須在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上，通過歸納、計(jì)算、想象和猜想探索規(guī)律。在探索和遞推時(shí)，往往是從少到多，從簡單到復(fù)雜，或從特殊、簡單的情況入手，通過比較和分析，找出每次變化過程中具有的規(guī)律性的東西，找到解題方法。因此，雖然此類問題“峰回路轉(zhuǎn)”，形式變化莫測，但只要教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度觀察，尋求規(guī)律，最終結(jié)果“殊途同歸”。

歸納與猜想類考題是極具特色的一類題型，它主要考查學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、認(rèn)知、歸納和應(yīng)用能力，對學(xué)生的觀察能力和概括能力要求也很高，因此備受中考青睞。近年來，各省數(shù)學(xué)中考試題中頻頻出現(xiàn)此類探索規(guī)律型問題，而且形式多樣。那么如何來解這類問題呢？一般來說，可以從以下幾個(gè)角度思考:

一、數(shù)字中找規(guī)律

（2013年湖北省孝感）2008年北京成功舉辦了一屆舉世矚目的奧運(yùn)會(huì)，今年的奧運(yùn)會(huì)將在英國倫敦舉行，奧運(yùn)會(huì)的年份與屆數(shù)如下表所示：

■

表中n等于．

解析：由表格可知，每四年舉辦一次奧運(yùn)會(huì)，由此可得(2012-1896)÷4+1=30

答案:30

點(diǎn)評:此題考查了規(guī)律型數(shù)字的變化，解答此題的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生觀察題目中的數(shù)字，也就是題目中的已知條件，從而得出規(guī)律，再按照規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可水到渠成。

二、圖形中找規(guī)律

（2013年貴州省畢節(jié)市）在下圖中，每個(gè)圖案均由邊長為1的小正方形按一定的規(guī)律堆疊而成，照此規(guī)律，第10個(gè)圖案中共有個(gè)小正方形。

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解析：觀察圖案不難發(fā)現(xiàn)，圖案中的正方形按照從上到下成奇數(shù)列排布，寫出第n個(gè)圖案的正方形的個(gè)數(shù)，然后利用求和公式寫出表達(dá)式，再把n=10代入進(jìn)行計(jì)算即可得解。

答案：第1個(gè)圖案中共有1個(gè)小正方形，第2個(gè)圖案中共有1+3=4個(gè)小正方形，第3個(gè)圖案中共有1+3+5=9個(gè)小正方形，…，第n個(gè)圖案中共有1+3+5+…+（2n-1）=■=n2個(gè)小正方形，所以，第10個(gè)圖案中共有102=100個(gè)小正方形。

答案：100

點(diǎn)評：本題是對圖形變化規(guī)律的考查。學(xué)生很容易看出正方形的個(gè)數(shù)，但教師要提醒學(xué)生注意圖案從上到下的排布——正方形的個(gè)數(shù)成奇數(shù)列排布，這樣得到第n個(gè)圖案的正方形的個(gè)數(shù)的表達(dá)式才是解題的關(guān)鍵。

三、等式（方程）中找規(guī)律

（2013年廣東汕頭）觀察下列等式：

第1個(gè)等式：a1=■=■×（1-■）；

第2個(gè)等式：a2=■=■×（■-■）；

第3個(gè)等式：a3=■=■×（■-■）；

第4個(gè)等式：a4=■=■×（■-■）；

…

請解答下列問題：

（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：a5=；

（2）用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：an==

（n為正整數(shù)）；

（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值。

解析：（1）（2）可由觀察知，找第一個(gè)等號后面的式子規(guī)律是關(guān)鍵：分子不變，為1；分母是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積，它們與式子序號之間的關(guān)系為序號的2倍減1和序號的2倍加1。

（3）運(yùn)用變化規(guī)律計(jì)算。

答案：（1）■＝■×（■-■）

（2）■；■×（■-■）

（3）■

四、動(dòng)態(tài)中找不變的規(guī)律

（2013年浙江省紹興）如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4D為斜邊BC中點(diǎn)，第1次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AD交于點(diǎn)P1；設(shè)P1D的中點(diǎn)為D1，第2次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D1重合，折痕與AD交于P2；設(shè)P2D1的中點(diǎn)為D2，第3次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D2重合，折痕與AD交于點(diǎn)P3；…；設(shè)Pn-1Dn-2的中點(diǎn)為Dn-1，第n次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)Dn-1重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pn（n＞2），則AP6的長為（）

■

第10題圖

A.■B.■C.■D.■

解析：在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，所以BC=5，

又D是BC的中點(diǎn)，所以AD=■，

因?yàn)辄c(diǎn)A、D是一組對稱點(diǎn)，所以AP1=■×■，

因?yàn)槭荄1是DP1的中點(diǎn)，所以AD1=■×■×■，即AP2=■×■×■×■，

同理AP3=■×■×（■×■）2，…APn=■×■×（■×■）n-1，所以AP6=■×■×（■×■）5=■，故應(yīng)選A。

答案：A

點(diǎn)評：針對這類題目，首先要從最基本的幾個(gè)圖形中先求出數(shù)值，再進(jìn)一步觀察具體的變化情況，從中找出一般規(guī)律。

總之，解答探索規(guī)律型問題，必須在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上，通過歸納、計(jì)算、想象和猜想探索規(guī)律。在探索和遞推時(shí)，往往是從少到多，從簡單到復(fù)雜，或從特殊、簡單的情況入手，通過比較和分析，找出每次變化過程中具有的規(guī)律性的東西，找到解題方法。因此，雖然此類問題“峰回路轉(zhuǎn)”，形式變化莫測，但只要教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度觀察，尋求規(guī)律，最終結(jié)果“殊途同歸”。