Liouville 在分?jǐn)?shù)階微積分概念方面的研究

張文芳

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)史研究中心,陜西西安710127)

Liouville 在分?jǐn)?shù)階微積分概念方面的研究

張文芳

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)史研究中心,陜西西安710127)

分?jǐn)?shù)階微積分的概念是以整數(shù)階微積分理論研究為基礎(chǔ),而分?jǐn)?shù)階微積分概念的建立經(jīng)歷了漫長的過程.探析此過程中數(shù)學(xué)家在研究分?jǐn)?shù)階微積分理論方面的貢獻(xiàn),進(jìn)而整理Liouville在分?jǐn)?shù)階微積分概念方面的研究,進(jìn)一步概括分?jǐn)?shù)階微積分第一定義的由來以及為后續(xù)相關(guān)研究奠定的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

整數(shù)階微積分;分?jǐn)?shù)階微積分;劉維爾定義

1 引言

所謂分?jǐn)?shù)階微分和積分運(yùn)算(fractional derivatives and integrals),是指微分的階數(shù)和積分的次數(shù)不是整數(shù),它可以是任意實(shí)數(shù),乃至復(fù)數(shù).分?jǐn)?shù)階微積分的提出和發(fā)展與整數(shù)階微積分的發(fā)展有著密不可分的關(guān)系,且已發(fā)展成為一重要的數(shù)學(xué)分支并被廣泛應(yīng)用于實(shí)際問題中.由此可知,分?jǐn)?shù)階微積分概念的形成過程是至關(guān)重要的,細(xì)數(shù)在此過程中做出相關(guān)貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家,其中Liouville的理論研究以及實(shí)際應(yīng)用是不可或缺的,甚至對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分概念的形成及發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響.

2 Fourier和Abel的相關(guān)貢獻(xiàn)

自1695年,Leibniz與L.Hospital以通信的方式提出“如果將整數(shù)階的微分推廣到分?jǐn)?shù)階的微分,那么分?jǐn)?shù)階微分的意義是什么呢”[1]?這一問題,在Euler,Lagrange,Laplace,Lacroix等先驅(qū)富有競爭性的探索基礎(chǔ)上.1822年,Fourier推導(dǎo)出任意階微分的Fourier定義:如果

此處α,p為積分因子,n為整數(shù),則對(duì)任意數(shù)μ,得[2-3]:

并且他描述到:“上述提及的μ,將可以看作是任意數(shù),不論是正的或者負(fù)的”.1823年,Abel在求解一個(gè)積分方程的過程中用到了分?jǐn)?shù)階微積分,在這個(gè)問題中,假設(shè)滑動(dòng)次數(shù)

被積函數(shù)f(t)是未知的,有待確定的,獲得了[4]:

到這一時(shí)期,對(duì)于分?jǐn)?shù)階微分的含義,已經(jīng)有了最初的模糊表達(dá).

3 Liouville的貢獻(xiàn)

Liouville受Fourier定義與Abel應(yīng)用的啟發(fā),于1832年提出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)第一個(gè)較為合理的定義.指出對(duì)于整數(shù)階的導(dǎo)數(shù):

將其推廣到任意階導(dǎo)數(shù)可得:

假設(shè)函數(shù)f(x)存在任意階導(dǎo)數(shù),并且可將其展成級(jí)數(shù)形式

從而[5]

綜上,是Liouville關(guān)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的第一個(gè)定義的具體釋義.是否可以將階數(shù)ν推廣為有理數(shù)、無理數(shù)或者是復(fù)數(shù)?顯然存在問題:ν必須選自使得級(jí)數(shù)連續(xù)的自變量的集合.為解決此問題,他從與歐拉Gamma積分有關(guān)的定積分

著手研究,替換變量xu=t,得

對(duì)其兩端求ν階導(dǎo)數(shù),得

關(guān)于x的任意階導(dǎo)數(shù),按照Liouville的基本假設(shè),得

作如上變換,得[6]:

得到Liouville關(guān)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的第二個(gè)定義.

在第一個(gè)定義式中,ν被限制在使得級(jí)數(shù)連續(xù)的自變量的集合中;而在第二個(gè)定義式中,僅對(duì)xα型的函數(shù)適用,不適合應(yīng)用于更廣泛的函數(shù)類[7],雖然他的定義都因其本身的局限性而未得到廣泛的應(yīng)用,但是Liouville給出的是分?jǐn)?shù)階微積分概念形成中第一個(gè)較為合理的定義,它對(duì)于該概念的最終確立有著奠基作用.

4 Riemann-Liouville定義的形成

1847年,Riemann在此基礎(chǔ)上,對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的定義又作了進(jìn)一步的補(bǔ)充.Riemann尋找了一個(gè)廣義的泰勒級(jí)數(shù),并且導(dǎo)出[8]

由于積分下限是模糊不清的,在定義中添加適合的余函數(shù)?(x),這個(gè)余函數(shù)的本質(zhì)是提供一種偏離指數(shù)定律的運(yùn)算方法,比如,

1890年,他從歐拉積分公式

著手,得

若以?ν代換ν,即有運(yùn)用連續(xù)解析函數(shù),得

其中

當(dāng)

c=0或者c=∞,f(x)=xα及f(x)=x?α(α>0,Re(ν)>0),

獲得了Riemann-Liouville積分與微分定義:

與

及[9-10]

與

從而形成了第一個(gè)較為完整的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分的定義.

5 結(jié)論

由于分?jǐn)?shù)階微積分缺乏相關(guān)幾何物理意義的支撐,發(fā)展相對(duì)緩慢,數(shù)學(xué)家也僅僅是在理論上進(jìn)行探索.Abel在等時(shí)問題中涉入了分?jǐn)?shù)次運(yùn)算,在一定程度上激發(fā)了數(shù)學(xué)家對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分研究的熱情.于是Liouville提出第一個(gè)分?jǐn)?shù)階微積分的定義,并將其應(yīng)用于位勢理論中,使得分?jǐn)?shù)階微積分的概念不僅在理論上逐漸趨于完善,而且在實(shí)際中也有一定應(yīng)用.基于此, Riemann及后期數(shù)學(xué)家得到了運(yùn)用較為普遍的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分定義.

[1]Leibniz G W.Leibniz an del′Hospital In Deuvres Math′ematiques de Leibniz.Correspondance de Leibniz avec Hugens,van Zulichem et le Marquis de L′Hospital[M].Pair:Libr.de A.Franck,1853.

[2]McBride S,Roach G F.Fractional Calculus[M].Glasgow:University of Stratchelyde,1985.

[3]Podlubny I.Fractional Di ff erential Equations[M].San Diego:Academic Press,1999.

[4]Abel N H.Solution de quelques probl`emes`e l′aide d′int′egrales d′e fi nies[J].Oeuvres Compl`etes,1881,1:16-18.

[5]Ross B.Brief History and Exposition of the Fundamental Theory of Fractional Calculus,Lecture Notes in Math[M].New York:Spring-Verlag,1975.

[6]Ross B.The development of fractional calculus 1695-1900[J].Historia Mathematica,1977,4:76-80.

[7]Liouville J.M′emoire sur quelques qu′estions de g′eometric et de m′ecanique,et sur un noveau genre pour r′esoudre ces questions[J].J.′Ecole Polytech,1832,13:1-69.

[8]Miller K S,Ross B.An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Di ff erential Equations[M]. New York:John Wiley&Sons Inc.,1993.

[9]Samko S G,Kilbas A A,Marichev O I.Fractional derivatives and integrals:Theory and Applications[M]. New York:Gordon and Breach,1993.

[10]Keith B O,Spanier J.Fractional Calculus:Theory and Applications,Di ff erentiation and integration to Arbitrary Order[M].New York:Academic Press,1974.

Liouville′s studies in terms of the concept of fractional calculus

Zhang Wenfang

(Center for the History of Mathematics and Sciences,Northwest University,Xi′an710127,China)

The concept of factional calculus is based on calculus theory,while the establishment of the concept of factional calculus has experienced a long process.We explore the contribution that mathematicians had made on the study of the theory of fraction calculus.And combine Liouville’s studies in terms of concept of factional calculus.Then we can generalize the origin of the fi rst de fi nition of the factional calculus and lay a solid foundation to the further research.

calculus,factional calculus,the de fi nition of Liouville

O172

A

1008-5513(2014)01-0100-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.015

2013-12-10.

張文芳(1987-),碩士生,研究方向：近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史.

2010 MSC:34B24