Weibull 分布恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的Bayes估計(jì)

畢然,武東

(1.愛荷華州立大學(xué)統(tǒng)計(jì)系,愛荷華州艾姆斯50011;2.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院,安徽合肥230036)

Weibull 分布恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的Bayes估計(jì)

畢然1,武東2

(1.愛荷華州立大學(xué)統(tǒng)計(jì)系,愛荷華州艾姆斯50011;2.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院,安徽合肥230036)

對(duì)定時(shí)和定數(shù)截尾樣本情形CE模型下Weibull分布場合恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)進(jìn)行了Bayes統(tǒng)計(jì)分析,利用Laplace方法給出了該模型的近似Bayes估計(jì).最后通過模擬實(shí)例表明該Bayes估計(jì)是有效的.

CE模型;Weibull分布;恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn);Bayes估計(jì);Laplace方法

1 引言

在評(píng)定高可靠性、長壽命產(chǎn)品的可靠性時(shí),常采用加速壽命試驗(yàn)[1-2].加速壽命試驗(yàn)按照施加應(yīng)力方式的不同主要分為三種類型:恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn),步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)和序進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)(簡稱恒加試驗(yàn)、步加試驗(yàn)和序加試驗(yàn)).恒加試驗(yàn)是先選一組加速應(yīng)力水平,然后將一定數(shù)量的樣品分為若干組,每組在一個(gè)加速應(yīng)力水平下進(jìn)行壽命試驗(yàn),直到各組均有一定數(shù)量的產(chǎn)品發(fā)生失效為止.為了縮短壽命試驗(yàn)時(shí)間,通常對(duì)各應(yīng)力水平下壽命試驗(yàn)采用定數(shù)截尾和定時(shí)截尾.恒加試驗(yàn)相對(duì)于其它兩種加速壽命試驗(yàn)具有以下優(yōu)點(diǎn)[3]:試驗(yàn)方法簡單,試驗(yàn)設(shè)備要求不高;試驗(yàn)理論較為成熟,試驗(yàn)容易取得成功;試驗(yàn)中得到的信息最多,試驗(yàn)結(jié)果較為準(zhǔn)確.

在Weibull分布恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分析方面.文獻(xiàn)[4]給出了Weibull分布基于恒加壽命試驗(yàn)的近似無偏估計(jì)和近似區(qū)間估計(jì).文獻(xiàn)[5]利用逆矩估計(jì)方法給出了Weibull分布場合具有非常數(shù)形狀參數(shù)恒加試驗(yàn)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì).文獻(xiàn)[6]對(duì)Weibull分布場合恒加壽命試驗(yàn)的參數(shù)估計(jì)進(jìn)行了討論,在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上得到了更優(yōu)的參數(shù)估計(jì)方法.但以上方法均沒有考慮到未知參數(shù)的先驗(yàn)信息,文獻(xiàn)[7]對(duì)Weibull分布場合恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)進(jìn)行了Bayes分析,但僅考慮了形狀參數(shù)的先驗(yàn)取離散均勻分布.文獻(xiàn)[8]對(duì)Weibull分布的形狀參數(shù)考慮了均勻分布給出了Weibull分布恒加試驗(yàn)的Bayes估計(jì).文獻(xiàn)[9-10]采用最小二乘估計(jì)和最大似然估計(jì)對(duì)Weibull分布恒加試驗(yàn)進(jìn)行了參數(shù)估計(jì),并對(duì)真空熒光顯示器(vacuum fl uorescent display,VFD)的壽命進(jìn)行了預(yù)測和可靠性壽命評(píng)估.

但上述方法均沒考慮到產(chǎn)品在正常應(yīng)力水平下的先驗(yàn)信息.本文討論了CE模型下定時(shí)和定數(shù)截尾兩種情形Weibull分布場合恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的Bayes分析.使用加速系數(shù)將產(chǎn)品壽命換算為正常應(yīng)力水平下的壽命,從而能有效使用正常應(yīng)力下產(chǎn)品的先驗(yàn)信息.在Bayes分析中,對(duì)后驗(yàn)分布參數(shù)進(jìn)行了重參數(shù)化,并利用Laplace方法進(jìn)行了Bayes估計(jì)的近似.最后,利用蒙特卡羅方法對(duì)定數(shù)截尾情形Weibull分布恒加試驗(yàn)阿侖尼斯模型進(jìn)行了仿真,通過仿真得到該Bayes估計(jì)是有效而實(shí)用的.

2 基本假設(shè)與試驗(yàn)安排

假設(shè)1在正常應(yīng)力水平S0和加速應(yīng)力水平S1

其中mi>0和ηi分別稱為應(yīng)力水平Si下的形狀參數(shù)和特征壽命,i=1,···,k.

假設(shè)2[2]在各種應(yīng)力水平下產(chǎn)品的失效機(jī)理相同,由于Weibull分布的形狀參數(shù)反映了失效機(jī)理,因此,此假定等價(jià)于:

假設(shè)3產(chǎn)品的特征壽命ηi與加速應(yīng)力水平Si滿足下列加速模型,即

其中a,b為參數(shù),?(Si)是應(yīng)力Si的已知減函數(shù).當(dāng)應(yīng)力Si是溫度時(shí),

此時(shí)模型為阿倫尼斯模型;當(dāng)應(yīng)力Si是電壓時(shí),?(Si)=lnSi;此時(shí)模型為逆冪律模型.

上述三個(gè)基本假設(shè)都是在一定的物理背景下建立起來的,在實(shí)際應(yīng)用中一般可以用專業(yè)知識(shí),工程經(jīng)驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)等方法來判斷是否成立.

定時(shí)和定數(shù)截尾情形Weibull分布恒加試驗(yàn)的具體安排如下:

(1)確定正常應(yīng)力水平S0和k個(gè)加速應(yīng)力水平S1,S2,···,Sk,這些應(yīng)力水平一般應(yīng)滿足如下關(guān)系:

(2)取n個(gè)產(chǎn)品分為k組,在加速應(yīng)力水平Si下有ni個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行定數(shù)或定時(shí)截尾恒加試驗(yàn),設(shè)在加速應(yīng)力水平Si下產(chǎn)品的失效時(shí)間為:

在定時(shí)截尾試驗(yàn)場合,τi為加速應(yīng)力水平Si下預(yù)先給定的試驗(yàn)中止時(shí)間,ri為在加速應(yīng)力水平Si下時(shí)間τi之前產(chǎn)品的失效數(shù);在定數(shù)截尾試驗(yàn)場合,ri為預(yù)先給定的中止試驗(yàn)的樣本數(shù).

3 Bayes估計(jì)

由假設(shè)3,知

其中

為產(chǎn)品在應(yīng)力S1和S0之間的加速系數(shù)[2].

為了方便,現(xiàn)在記

為了獲得參數(shù)的Bayes估計(jì),先研究一下Weibull分布恒加試驗(yàn)參數(shù)的先驗(yàn)分布.根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)得到加速系數(shù)c的取值范圍為1≤c1

m為Weibull分布的形狀參數(shù),根據(jù)專家經(jīng)驗(yàn),可以設(shè)定m為區(qū)間[m1,m2]上的均勻分布,即

產(chǎn)品在應(yīng)力水平S0下,m已知時(shí),取ηm的自然共軛分布為逆Gamma分布,其概率密度為:

其中η>0,α>0,β>0,α和β為超參數(shù).當(dāng)α=β=0時(shí),為無信息先驗(yàn).

定理3.1現(xiàn)對(duì)n個(gè)壽命服從Weibull分布的產(chǎn)品按上述試驗(yàn)安排進(jìn)行試驗(yàn)得到數(shù)據(jù)(3),參數(shù)η,m,c的先驗(yàn)取上述分布,并對(duì)參數(shù)按(7)式進(jìn)行重參數(shù)化,即

記θ=(λ,μ,m),θ的參數(shù)空間為:

若g(θ)為待估參數(shù),則在平方損失下,g(θ)的基于Laplace公式[11]的近似Bayes估計(jì)為:

其中

證明對(duì)于(3)式的數(shù)據(jù),可以得到似然函數(shù)為:

至此,得到m,η,c的聯(lián)合后驗(yàn)密度為:

對(duì)參數(shù)η,c,m按(7)式進(jìn)行重參數(shù)化,該變換的Jacobi行列式為:

從而得到θ的聯(lián)合密度為

在平方損失下,g(θ)的Bayes估計(jì)(后驗(yàn)均值)為:

由于上式兩個(gè)積分之比無顯示表達(dá),可以利用Laplace公式得到g(θ)的近似Bayes估計(jì),即

分別取g(θ)為λ,μ,m,利用定理3.1可分別得到三個(gè)參數(shù)的Bayes估計(jì).下面僅給出λ的Bayes估計(jì),其它可類似討論.取g(θ)=λ,則得到L的Hessian矩陣為:

式中

L?的Hessian矩陣為:

式中

對(duì)于L和L?的極大值

可采用帶約束條件的非線性規(guī)劃算法進(jìn)行求解.

4 仿真例子

以上已經(jīng)得到Weibull分布恒加試驗(yàn)的λ,μ,m的Bayes估計(jì),現(xiàn)用Monte Carlo方法進(jìn)行模擬.步驟如下:

(1)正常應(yīng)力水平S0=313K(表示絕對(duì)溫度),選取應(yīng)力為

S1=358K,S2=398K,S3=448K,

加速方程為

形狀參數(shù)m=1.5.此時(shí)正常應(yīng)力水平S0下的特征壽命η=2422.24,而加速系數(shù)c=1.8265.

(2)產(chǎn)生ni個(gè)服從U(0,1)分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量Ui1,···,Uini,令

(3)利用本文方法可得到λ,μ,m的Bayes估計(jì),η的取無信息先驗(yàn),c的先驗(yàn)取U(1,5),m的先驗(yàn)取U(1,3).利用(10)式的變換可得到η,c,m的Bayes估計(jì)?η,?c,?m.

(4)重復(fù)上述模擬100次,然后計(jì)算Bayes估計(jì)的均值和相對(duì)均方誤差.

表1給出了Weibull分布恒加試驗(yàn)的基于Laplace方法的近似Bayes估計(jì)的均值和相對(duì)均方誤差(簡寫為均方誤差).模擬結(jié)果表明:

其一,在各種情形下,相對(duì)均方誤差均較小,說明該Bayes估計(jì)的效果均較好;

其二,隨著試驗(yàn)產(chǎn)品數(shù)量和失效數(shù)的增加,相對(duì)均方誤差有下降趨勢,說明Bayes估計(jì)隨著產(chǎn)品數(shù)據(jù)和失效數(shù)的增加效果更好,因?yàn)樵贐ayes估計(jì)中獲得的產(chǎn)品信息也隨之增加.

其三,該方法的最大優(yōu)點(diǎn)是避免了大量的數(shù)值積分,從而獲得高效的Bayes估計(jì).

表1 Bayes估計(jì)的均值和相對(duì)均方誤差

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Bayesian estimation of constant stress accelerated life testing with Weibull distribution

Bi Ran1,Wu Dong2

(1.Department of Statistics,Iowa State University,Ames50011,USA; 2.The Science Institute of Anhui Agricultural University,Hefei230036,China)

In this paper,we propose Bayesian statistical analysis of Weibull distribution with Type-I and Type-II censored sample of constant stress accelerated life testing under CE model.Bayesian estimation of this model is obtained using Laplace method.Finally,we demonstrate through simulation example that the Bayesian estimation is efficient method.

CE model,Weibull distribution,constant stress accelerated life testing,Bayesian estimation, Laplace method

O213.2

A

1008-5513(2014)01-0093-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.014

2010-11-09.

國家社科基金青年項(xiàng)目(12CGL041);安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目(XKXWD2013021).

畢然(1990-),碩士生,研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì).

武東(1976-),碩士,副教授,研究方向:應(yīng)用統(tǒng)計(jì).

2010 MSC:62N05