6-PUS虛擬軸機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解研究*

胡曉雄，賈育秦，賈振元，張為民

(1.太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024;2.大連理工大學(xué) 機(jī)械工程與材料能源學(xué)部，遼寧 大連 116024；3.同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804)

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6-PUS虛擬軸機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解研究*

胡曉雄1，賈育秦1，賈振元2，張為民3

(1.太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024;2.大連理工大學(xué) 機(jī)械工程與材料能源學(xué)部，遼寧 大連 116024；3.同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804)

針對6-PUS虛擬軸機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)的問題，論文重點(diǎn)對其運(yùn)動(dòng)學(xué)的正解求解方法進(jìn)行了分析與研究，并且對動(dòng)平臺(tái)的位置變量和姿態(tài)變量實(shí)施了解耦處理，通過姿態(tài)變量把位置變量表示出來，依據(jù)位置向量的轉(zhuǎn)換關(guān)系、Cayley公式，獲得了3個(gè)關(guān)于姿態(tài)變量的約束方程，對約束方程進(jìn)行求解獲得了姿態(tài)變量，從而獲得位置變量，通過數(shù)值算例驗(yàn)證，表明了論文方法的有效性、可行性和正確性，為6-PUS虛擬軸機(jī)床的研究以及工程應(yīng)用提供了重要的理論依據(jù)，具有工程應(yīng)用價(jià)值。

虛擬軸機(jī)床;約束方程;解耦；運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

0 引言

自從1965年Stewart[1]提出了Stewart平臺(tái)以來，許多國內(nèi)外學(xué)者對并聯(lián)機(jī)構(gòu)產(chǎn)生了濃厚的研究熱情，現(xiàn)如今，基于Stewart平臺(tái)，各種結(jié)構(gòu)的空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)相繼問世，6-PUS虛擬軸機(jī)床就是其中一種并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其主要組成部分為：連接動(dòng)平臺(tái)與機(jī)架的6個(gè)相同結(jié)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)支鏈PUS(移動(dòng)副-虎克鉸-球副)、動(dòng)平臺(tái)以及機(jī)架，動(dòng)平臺(tái)位姿(位置和姿態(tài))的改變是通過控制6個(gè)PUS驅(qū)動(dòng)支鏈的移動(dòng)副上下移動(dòng)來實(shí)現(xiàn)的，與一般的6-SPS型Stewart平臺(tái)不同之處為：6-PUS虛擬軸機(jī)床是固定桿長且其驅(qū)動(dòng)裝置都固定在機(jī)架上，使得可動(dòng)構(gòu)件的質(zhì)量得到了減小，同時(shí)慣性也得到了減小，因此裝置的動(dòng)特性得到了相當(dāng)大地改善；另外，其動(dòng)連桿直徑明顯變小，對于桿之間的結(jié)構(gòu)干涉，容易得到避免[2-3]。

當(dāng)前，關(guān)于6-PUS虛擬軸機(jī)床的文獻(xiàn)并不多，并且大都集中在該機(jī)構(gòu)的工作空間分析、奇異性分析及逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解3個(gè)問題上[4-6]，對于6-PUS虛擬軸機(jī)床及其類似機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的求解問題，只有少量文獻(xiàn)提到過，且并沒有實(shí)施具體的求解，段艷賓等[7]以帶有約束分支的6-PUS/UPU并聯(lián)機(jī)器人為對象，對其工作空間及運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了分析與研究，佘建國等[8]以6-PRUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)為對象，對其實(shí)施了運(yùn)動(dòng)學(xué)的分析與研究，張秀峰等[9-10]以6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為對象，對其進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)的分析與研究，上述文獻(xiàn)中，對這3種6-PUS類似機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的求解方法是相同的：首先，確立機(jī)構(gòu)位置反解的方程，并對方程的2端進(jìn)行求導(dǎo)，從而獲得Jacobian矩陣，然后，給定一組正解(x,y,z,α,β,γ)的初值，依據(jù)初值來計(jì)算Jacobian矩陣，以Jacobian矩陣作為迭代矩陣，利用Newton-Raphson迭代的方法，對其進(jìn)行求解。此方法每次僅可以求解得到一組正解。

6-PUS虛擬軸機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)正解研究，對于其誤差補(bǔ)償及工作空間的分析具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，同時(shí)也是動(dòng)力學(xué)分析、機(jī)構(gòu)分析等的基礎(chǔ)，其運(yùn)動(dòng)學(xué)正解能夠應(yīng)用于：①確定機(jī)床的工作空間;②選取合理的裝配格式;③確定桿件干涉的位置，防止機(jī)床別死;④對動(dòng)平臺(tái)的奇異位型進(jìn)行判斷；⑤實(shí)時(shí)顯示機(jī)床動(dòng)平臺(tái)的位置，以便機(jī)床運(yùn)行過程中的監(jiān)控；⑥當(dāng)出現(xiàn)機(jī)床急?；蛘咄蝗粩嚯姷那闆r下，對機(jī)床當(dāng)前的位置進(jìn)行記錄，以便機(jī)床正常工作及以后繼續(xù)工作，因此，對6-PUS虛擬軸機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)正解進(jìn)行研究，為實(shí)現(xiàn)該機(jī)床在機(jī)械加工領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用具有重要的實(shí)際意義。

本文對動(dòng)平臺(tái)的位置變量和姿態(tài)變量實(shí)施了解耦處理，通過姿態(tài)變量把位置變量表示出來，使用數(shù)值的方法，求解得到了姿態(tài)變量，從而獲得位置變量，同時(shí)本文采用Mathematica7.0軟件，對運(yùn)動(dòng)學(xué)正解給出了數(shù)值算例，并且得出了與4組解相應(yīng)的機(jī)構(gòu)裝配模式。

1 6-PUS虛擬軸機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)建模

如圖1所示是6-PUS虛擬軸機(jī)床，先確立并聯(lián)機(jī)構(gòu)的空間坐標(biāo)系，從而確立該并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)學(xué)模型，6-PUS虛擬軸機(jī)床的并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖與空間坐標(biāo)系如圖2所示，其中，動(dòng)平臺(tái)與支鏈相連接的6個(gè)鉸鏈點(diǎn)為ai(i=1,2,...,6)，機(jī)架與支鏈相連接的6個(gè)鉸鏈點(diǎn)為bi(i=1,2,...,6)，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)回零時(shí)的狀態(tài)如圖2所示，這時(shí)bi(i=1,2,...,6)處于同一個(gè)平面內(nèi)，并在該平面上建立OXYZ靜坐標(biāo)系，在該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)中心上建立PX′Y′Z′動(dòng)坐標(biāo)系。

圖1 6-PUS虛擬軸機(jī)床簡圖

圖2 6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖及坐標(biāo)系

1.1 旋轉(zhuǎn)矩陣的確立

在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與研究過程中，對于動(dòng)平臺(tái)相對于靜平臺(tái)的姿態(tài)，通常采用旋轉(zhuǎn)矩陣來表示，為了研究的方便，本文使用Rodriguez參數(shù)來表述旋轉(zhuǎn)矩陣，U是Rodriguez向量C=(u,v,w)T產(chǎn)生的反對稱矩陣，其中u、v、w被稱之為Rodriguez參數(shù)，由Cayley公式可知，旋轉(zhuǎn)矩陣可以表示為：

R=[I-U]-1[I+U]

(1)

其中，Ι-3×3單位矩陣。

于是，旋轉(zhuǎn)矩陣的具體表達(dá)式為：

(2)

1.2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)建模

各矢量之間的幾何關(guān)系如圖2中所示，由此獲得每根桿的矢量：

lei=P+R·ai-bi-zi，i=1,2,...,6

(3)

其中，P=(PX,PY,PZ)T-動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)參考點(diǎn)位置矢量，bi-各驅(qū)動(dòng)滑塊零位置時(shí)，在靜坐標(biāo)系中的矢量，bi=(bx,i,by,i,0)T，l-桿長度，zi-桿i驅(qū)動(dòng)量，zi=(0,0,-zi)T，zi即為所要求的反解，ai-動(dòng)平臺(tái)各頂點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系中的位置矢量，ai=(ax,i,ay,i,0)T，ei-沿連接驅(qū)動(dòng)滑塊與動(dòng)平臺(tái)連桿方向的單位矢量。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解問題

對于6-PUS虛擬軸機(jī)床來講，其運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解問題即為已知R(姿態(tài)矩陣)及P(動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)的位置矢量)，求出zi(6個(gè)移動(dòng)副的驅(qū)動(dòng)輸入位移)。

由于ai與bi為確定的，因此，當(dāng)P與R已知時(shí)，式(3)中的P+R·ai-bi為確定的，將式(3)P+R·ai-bi記為vai=(vaxi,vayi,vazi)T，則：

vai=P+R·ai-bi

lei=vai-zi

(4)

將式(4)等號(hào)兩邊同時(shí)點(diǎn)乘自身，則：

(5)

由于l為已知，并且是固定不變的，因此，對于運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解問題，即為求解式(5)中的輸入?yún)?shù)zi問題，由式(5)可知：

(6)

對式 (6)進(jìn)行求解，可得：

(7)

通過式(7)可知，zi有2個(gè)根，對機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)特征分析得知，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)位置，只能位于驅(qū)動(dòng)滑塊的下方，即vazi+zi<0，因此，最終的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解表達(dá)式為：

(8)

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)的正解問題

對于機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的正解問題，其即為已知驅(qū)動(dòng)輸入zi，求解機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的位姿(位置和姿態(tài))，具體情況如下所示。

3.1zi相等時(shí)情況

對于6個(gè)輸入?yún)?shù)zi，倘若都相等，表明機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣R，是3階單位矩陣，P(位置矢量)的前2個(gè)分量是零，由式(8)即可得第3個(gè)分量為：

l2=(P+R·ai-bi-zi)T(P+R·ai-bi-zi)

(9)

進(jìn)而可得：

(10)

同理，由機(jī)構(gòu)特征可知，Pz+zi<0，因此，式(10)取負(fù)號(hào)，綜上可知，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的正解結(jié)果為：位置矢量是(0,0,Pz)T，姿態(tài)矩陣是3階單位矩陣。

3.2zi不相等時(shí)的情況

通過式(9)可知，當(dāng)驅(qū)動(dòng)輸入zi被給定時(shí)，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的位置與姿態(tài)存在著耦合關(guān)系，以至造成不易對正解進(jìn)行求解。對機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的位置變量及姿態(tài)變量，本文對其進(jìn)行了解耦處理，通過姿態(tài)變量把位置變量表示出來，并求解出姿態(tài)變量，從而獲得位置變量。

3.2.1 位姿變量解耦處理

為了表達(dá)簡便，記Bi=bi+zi

(11)

于是式(9)可變換為：

l2=(P+R·ai-Bi)T(P+R·ai-Bi)

(12)

進(jìn)而可得：

(13)

其中，W-P(位置變量)是在動(dòng)坐標(biāo)系中的表達(dá)。

對于整個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過式(13)可得：

MX=Y

(14)

其中，M-系數(shù)矩陣，其每一行具體的表達(dá)形式是：

(15)

X-和位置有關(guān)系的變量，具體表達(dá)形式：

X=(PTP,PX,PY,PZ,WX,WY)T

(16)

Y-和姿態(tài)有關(guān)系的變量，是一個(gè)6維向量，每個(gè)元素具體的表達(dá)形式：

(17)

當(dāng)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)位于非奇異的位姿時(shí)，通過式(14)求得X：X=M-1Y

(18)

于是，利用姿態(tài)變量就可以把位置變量表示出來。

3.2.2 姿態(tài)變量的約束方程

位置變量在動(dòng)坐標(biāo)中的表達(dá)是W，在靜坐標(biāo)系中的表達(dá)是P，W和P之間的關(guān)系如下：

P=RW

(19)

把式(1)代入到式(19)，則：

P=[I-U]-1[I+U]W

(20)

于是：[I+U]W-[I-U]P=0

(21)

式(21)中的3個(gè)方程具體表達(dá)式：

(22)

利用第3個(gè)方程消去WZ，于是可得2個(gè)方程：

(23)

(24)

PTP、P和W的各個(gè)分量，都已經(jīng)表達(dá)為姿態(tài)變量的形式，因此對式(23)和式子(24)這3個(gè)方程，其都是關(guān)于姿態(tài)變量u、v、w的約束方程，所以和位置變量沒有關(guān)系。

3.2.3 約束方程的求解

對于式子(23)和式子(24)的3個(gè)方程，其都是3元4次方程，不易于使用解析法實(shí)施求解，因此，本文憑借數(shù)值計(jì)算的軟件，利用數(shù)值的方法實(shí)施求解，在此使用Mathematica7.0軟件中的Nsolve函數(shù)，對式子(23)和式子(24)進(jìn)行求解，獲得了在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，關(guān)于姿態(tài)變量的所有解的近似結(jié)果，以此來設(shè)定初始值，使用Newton-Raphson迭代的方法，對姿態(tài)變量(u,v,w)進(jìn)行求解；把已經(jīng)求得的u、v、w代入到式子(22)中，即獲得P(位置矢量)的各個(gè)分量，于是，6-PUS虛擬軸機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)的正解就全都完成了。

4 數(shù)值算例

以基于6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的虛擬軸機(jī)床為例，以驗(yàn)證本文方法的有效性、可行性以及正確性，6-PUS虛擬軸機(jī)床各桿長l是223mm，Z坐標(biāo)的分量均是0，表1所示的是平臺(tái)的頂點(diǎn)坐標(biāo)。

表1 動(dòng)靜平臺(tái)的頂點(diǎn)坐標(biāo)(mm)

給定的初始位姿的條件是：(PX,PY,PZ,u,v,w)=(0,10,-300,0.254,0.381,0.635001)，依據(jù)該初始的條件，即可獲得運(yùn)動(dòng)學(xué)的反解：z1=70.9381mm，z2=88.0841mm，z3=67.4533mm，z4=166.315mm，z5=141.668mm，z6=157.653mm。

依據(jù)以上求解獲得的反解結(jié)果，以此來驗(yàn)證本文方法的有效性、可行性以及正確性。對運(yùn)動(dòng)學(xué)的正解使用本文的方法進(jìn)行計(jì)算，如表2所示，在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)，其總共具有4組解，通過驗(yàn)證可知，這4組解均符合初始條件，但是唯有后2組解擁有實(shí)際的意義，其原因是對于第1、2組解，其顯然動(dòng)平臺(tái)位于驅(qū)動(dòng)滑塊的上方，這種情況在實(shí)際的應(yīng)用中是不可能存在的，如圖3所示是這4組解所對應(yīng)的機(jī)構(gòu)裝配模式圖。

表2 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的計(jì)算結(jié)果

同時(shí)使用當(dāng)前常用的3種計(jì)算運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的算法：牛頓迭代算法、路徑跟蹤算法以及差分進(jìn)化算法來進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)正解運(yùn)算，其求得的有效正解數(shù)值結(jié)果如表3所示。

表3 使用3種算法獲得的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解結(jié)果

通過對表2與表2分析可知，本文所提出的方法在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)正解運(yùn)算時(shí)能夠獲得較高的精度，可以更好地應(yīng)用于實(shí)際生產(chǎn)當(dāng)中，從而驗(yàn)證了本文方法的有效性、可行性以及正確性，具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

(a) 第1組解 (b) 第2組解

(c) 第3組解 (d) 第4組解

圖3 4組解相應(yīng)的機(jī)構(gòu)裝配模式

5 結(jié)論

6-PUS虛擬軸機(jī)床是一種6自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，擁有非常大的使用價(jià)值，針對該機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解問題，本文對其進(jìn)行了系統(tǒng)地分析與研究，并且對于運(yùn)動(dòng)學(xué)的反解，本文給出其解析的形式，但是由于結(jié)構(gòu)特征決定了其運(yùn)動(dòng)學(xué)的正解異常的復(fù)雜，因此，利用解析的方法實(shí)施研究是非常困難的，當(dāng)各個(gè)驅(qū)動(dòng)的參數(shù)相等時(shí)，運(yùn)動(dòng)學(xué)的正解相對簡單且可以獲得解析解，當(dāng)各個(gè)驅(qū)動(dòng)的參數(shù)不相等時(shí)，對動(dòng)平臺(tái)的位置變量和姿態(tài)變量實(shí)施解耦處理，通過姿態(tài)變量把位置變量表示出來，依據(jù)位置向量的轉(zhuǎn)換關(guān)系、Cayley公式，獲得了3個(gè)關(guān)于姿態(tài)變量的約束方程，對約束方程進(jìn)行求解獲得了姿態(tài)變量，從而獲得位置變量，同時(shí)本文給出了數(shù)值算例，在算例中，首先確定了一組驅(qū)動(dòng)輸入zi(i=1,2,...,6)，使用本文的方法，即可獲得相應(yīng)的該虛擬軸機(jī)床動(dòng)平臺(tái)位置的全部解，驅(qū)動(dòng)輸入不相同，位置變量和姿態(tài)變量的耦合程度也將不相同，正解的數(shù)目也就不相同，通過算例的驗(yàn)證，表明了本文方法的有效性、可行性以及正確性，為6-PUS虛擬軸機(jī)床的研究及工程應(yīng)用提供了重要的理論依據(jù)，具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

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(編輯 李秀敏)

6-PUS Virtual Axis Machine Tool Kinematics Study

HU Xiao-xiong1，JIAYu-qin1，JIA Zhen-yuan2，ZHANG Wei-min3

(1.School of Mechanical Engineering, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030024,China; 2. Faculty of Mechanical Engineering, Materials and Energy, Dalian of Technology, Dalian Liaoning 116024,China;3. School of Mechanical Engineering Tongji University, Shanghai 201804,China)

For 6-PUS virtual axis machine tool kinematics problem, this article focuses on its positive solutions kinematics solving methods for analysis and research, and on the moving platform position variables and attitude variables implemented decoupling processed through the gesture of the position variable variables that out, based on the conversion of the position vector relationship, Cayley formula obtained three variables on attitude constraint equations to solve for the constraint equations obtained attitude variables to obtain the position variable, through numerical examples, show that the proposed method effectiveness, feasibility and correctness of the 6-PUS virtual axis machine tool research and engineering applications provide important theoretical basis, has great practical significance.

virtual axis machine tool；constraint equations；decoupling；kinematics

1001-2265(2014)01-0035-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.01.010

2013-05-24；

2013-06-06

國家自然科學(xué)基金(51205224);國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃2013CB035802);國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃，2012AA091103);國家科技支撐計(jì)劃(2012BAI07B04);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(TD2011-25)資助項(xiàng)目;中國博士后科學(xué)基金(2012M510321)資助項(xiàng)目

胡曉雄(1988—)，男，太原科技大學(xué)碩士研究生，主要從事現(xiàn)代制造技術(shù)方面的研究，(E-mail)hxx0903@163.com；通訊作者：賈育秦，男，太原科技大學(xué)教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事現(xiàn)代制造技術(shù)方面的研究，(E-mail)tyhmijyq@163.com。

TH112;TG659

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