姚元金

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南吉首 416000)

在(F，α，ρ，d)－凸性條件下，研究了一類非光滑多目標(biāo)分式規(guī)劃問題的對(duì)偶問題，給出并證明了該對(duì)偶問題的弱對(duì)偶定理，強(qiáng)對(duì)偶定理和嚴(yán)格逆對(duì)偶定理.所得結(jié)論改進(jìn)和推廣了相關(guān)的結(jié)果.

(F，α，ρ，d)－凸;非光滑多目標(biāo)分式規(guī)劃;弱對(duì)偶定理;強(qiáng)對(duì)偶定理;嚴(yán)格逆對(duì)偶定理

本文考慮如下多目標(biāo)分式規(guī)劃:

其中 X0?Rn，fi:X0→R，gi:X0→R，i=1，2，…，p 和 hj:X0→R，j=1，2，…，m，是局部 Lipschitz函數(shù).假定對(duì)所有x∈X0，gi(x)＞0，i=1，2，…，p.并記可行集為 X={x∈X0|hj(x)≤0，j=1，2，…，m}.

對(duì)于多目標(biāo)分式規(guī)劃的對(duì)偶問題，已有很多文獻(xiàn)進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［2］對(duì)具有偽不變凸的多目標(biāo)分式規(guī)劃問題和(F，ρ)－凸函數(shù)的多目標(biāo)分式規(guī)劃問題分別給出了相應(yīng)的對(duì)偶定理.文獻(xiàn)［3］對(duì)(F，ρ)－凸函數(shù)的同分母多目標(biāo)分式規(guī)劃問題給出了相應(yīng)的對(duì)偶定理.文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］對(duì)可微的函數(shù)引入了(F ，α，ρ，d)－凸和廣義 ( F ，α，ρ，d )－凸的概念，并在 ( F ，α，ρ，d )－凸和廣義 ( F ，α，ρ，d)－凸性下，獲得了一類多目標(biāo)分式規(guī)劃的對(duì)偶問題的弱對(duì)偶定理.

文獻(xiàn)［6］建立了(MFP)的一個(gè)如下對(duì)偶模型:

其中?f(y)為Clarke廣義梯度.并對(duì)局部Lipschitz函數(shù)引入了一類非光滑廣義不變凸的概念，并在此條件下，給出并證明了該對(duì)偶(D)的弱對(duì)偶定理，強(qiáng)對(duì)偶定理和嚴(yán)格逆對(duì)偶定理.

本文對(duì)文獻(xiàn)［6］定義的非光滑廣義不變凸概念進(jìn)行推廣，定義了一類新的(F，α，ρ，d)－凸性概念，然后在此凸性條件下給出并證明了該對(duì)偶(D)的弱對(duì)偶定理，強(qiáng)對(duì)偶定理和嚴(yán)格逆對(duì)偶定理.改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)［6］的相應(yīng)結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè) X0?Rn.對(duì) x=(x1，x2，…，xn)∈X0和 y=(y1，y2，…，yn)∈X0，約定:

定義1［7］設(shè)有實(shí)值函數(shù)f:Rn→R，若對(duì)正常數(shù)k和z的一個(gè)鄰域N使得對(duì)任何x，y∈N有:|f(x)－f(y)|≤k||x－y||，則稱函數(shù) f:Rn→R 是局部 Lipschitz的，其中||·||為 Rn中的范數(shù).對(duì)于局部Lipschitz函數(shù)f(x)，Clarke［7］曾經(jīng)給出如下廣義方向?qū)?shù)和廣義梯度概念:

引理1［7］(1)?f(x)是非空凸緊集;(2)?(－f(x))= －?f(x);(3)?(f+g)(x)??f(x)+?g(x).

定義 2［8］稱函數(shù) F:X0×X0×Rn→R 為次線性的，若對(duì)任何 x，y∈X0，有:

以下均設(shè) X0?Rn，函數(shù) F:X0×X0×Rn→R 為次線性的.

定義3 稱局部 Lipschitz函數(shù) f(x):X0→R 為在∈X0處是(F，α，ρ，d)－凸的，若存在函數(shù) α:X0×X0→R+{0}和 d:X0×X0→R 以及 ρ∈R，使得?x∈X0和?ξ∈?f(x－)，有:

為了給出對(duì)偶(D)的強(qiáng)對(duì)偶定理，需要先考慮如下規(guī)劃(EFPk):

引理 2［6］設(shè)是(MFP)的有效解且對(duì)每個(gè) k∈{1，2，…，p}，(EFP)的約束在處滿足約束規(guī)格 B，則

2 對(duì)偶定理

定理1(弱對(duì)偶定理)設(shè)x是(MFP)的任一可行解，(y，u，v)是(D)的任一可行解，且?x∈X0、?i∈{1，2，…，p}、?j∈{1，2，…，m}，若下面條件之一成立:

［1］Liu J C.Optimality and duality for multiobjective fractional programming involving nonsmooth pseudoinvex functions［J］.Optimization，1996，37:27－39.

［2］Liu J C.Optimality and duality for multiobjective fractional programming involving nonsmooth(F，ρ)convex functions［J］.Optimization，1996，36:333－346.

［3］Chen X H.Optimization and duality theorem for multiobjective fractional programming with the generalized(F，ρ)convexity［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2002，273:190－205.

［4］曾德勝，吳澤忠.(F，α，ρ，d)－凸和廣義(F，α，ρ，d)－凸性下一類多目標(biāo)規(guī)劃問題的對(duì)偶［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，29(1):63－66.

［5］吳澤忠.廣義(F，α，ρ，d)－凸性下一類多目標(biāo)規(guī)劃問題的對(duì)偶［J］.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2006，23(3):320－324.

［6］姚元金.一類非凸非光滑多目標(biāo)分式規(guī)劃問題的對(duì)偶［J］.西南大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，32(3):10－14.

［7］Clarke F H.Optimization and nonsmooth analysis［M］.New York:Wiley－Interscience，1983.

［8］Preta V.On efficiency and duality for multiobjective programs［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1992，166(2):356－377.