一道力學(xué)題的五種解法

徐姣芳 鐘磊玖 丁敏方

（寧波市北侖中學(xué) 浙江 寧波 315800）

題目：如圖1所示，一紙帶放在水平面上，其上壓一重物，現(xiàn)將紙帶水平向右以恒定的速度勻速抽出，則：

A.重物質(zhì)量越小，抽出紙帶所用時(shí)間越短

B.重物質(zhì)量越大，抽出紙帶所用時(shí)間越短

C.重物與紙帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)越小，抽出紙帶所用時(shí)間越短

D.重物與紙帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)越大，抽出紙帶所用時(shí)間越短

圖1

解法一：公式法

設(shè)重物質(zhì)量為m，與木塊間的動(dòng)摩擦因素為μ，距紙帶左邊的距離為L，紙帶速度為v.紙帶對(duì)重物的滑動(dòng)摩擦力f就是重物所受的合力，重物加速度

抽出時(shí)間應(yīng)是與加速度相關(guān)，重物的加速度與質(zhì)量無關(guān)，所以選項(xiàng)A，B錯(cuò).

設(shè)紙帶抽出所用時(shí)間為t，在這個(gè)過程中，紙帶的位移

重物的位移

由幾何關(guān)系（如圖2）可得

即

圖2

公式變形得

紙帶能抽出，方程（1）一定有解，其解為

方程（1）的解，實(shí)際上是重物由靜止開始以加速度μg加速運(yùn)動(dòng)，而紙帶以速度v勻速運(yùn)動(dòng)，最終重物與紙帶左端相遇的時(shí)間解.如果有兩個(gè)解，則一個(gè)解是紙帶抽出的時(shí)間t1，另一個(gè)解是紙帶抽出后，重物繼續(xù)做勻加速運(yùn)動(dòng)再追上紙帶左端的時(shí)間t2，本題的解應(yīng)為時(shí)間短的那個(gè)t1，則

在t的決定式中，沒有重物質(zhì)量因素，所以選項(xiàng)A，B錯(cuò).

而且

不難得出，μ越大，t也越大，C正確，D錯(cuò)誤.

在下面的4種解法中，A，B的證明都與解法一相同.

解法二：v－t圖像法

在抽出的過程中，紙帶做勻速運(yùn)動(dòng)，重物以加速度a＝μg（解法一已經(jīng)推導(dǎo)）做勻加速度運(yùn)動(dòng)，μ越大，a越大.作出紙帶與重物的v－t圖像（如圖3），μ小的重物v－t圖像對(duì)應(yīng)斜線1，μ大的重物v－t圖像對(duì)應(yīng)斜線2.

圖3

由幾何關(guān)系可得，在抽出過程中紙帶對(duì)地的位移與重物相對(duì)地的位移之差就是重物開始時(shí)距紙帶左邊的距離L，是確定的.反映到v－t圖像上，就是：

因此，t1＜t2，C正確，D錯(cuò)誤.

解法三：定性分析法

在紙帶抽取過程中，重物也在摩擦力作用下做加速運(yùn)動(dòng)，抽取時(shí)間決定于紙帶相對(duì)于重物的速度，動(dòng)摩擦因數(shù)大的，重物加速度大，速度增加快，任意時(shí)刻紙帶相對(duì)于重物速度小，因此，抽取時(shí)間長，C對(duì)，D錯(cuò).

解法四：特殊值法

不難理解，紙帶抽出的時(shí)間與動(dòng)摩擦因數(shù)μ有關(guān)，雖然本題沒有給出具體數(shù)據(jù)，但可以自己假設(shè)便于計(jì)算的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，例如，重物距紙帶左邊長度L＝1m，紙帶抽取速度為v＝10m／s；

當(dāng)μ1＝0.1時(shí)，由方程（1）可得

解出結(jié)果

當(dāng)μ2＝0.6時(shí)，由方程（1）可得

解出結(jié)果

如果將μ1，μ2假設(shè)的數(shù)值差距大一些，便于比較.在此題中，比較t1，t2的大小，得t1＜t2，可得C正確，D錯(cuò)誤.

需指出的是，撇開本題選項(xiàng)結(jié)構(gòu)，僅憑上面兩個(gè)數(shù)據(jù)就得出C正確是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，要加上“抽出時(shí)間隨動(dòng)摩擦因數(shù)是單調(diào)變化”的條件，才無懈可擊.但本題已經(jīng)證明A，B錯(cuò)了，C和D兩個(gè)選項(xiàng)一定有一個(gè)正確，因此，根據(jù)這兩個(gè)數(shù)據(jù)得出結(jié)論也是可以放心的.

本題用特殊值法還比較繁瑣，但有些題采用這種方法判斷是比較簡單的.

解法五：極值法

極值法，實(shí)際上也是特殊值法，只是把特殊值取到最大或最小.

當(dāng)μ取最小值零時(shí)，則在紙帶抽出過程中，重物不動(dòng)，時(shí)間的意義同解法一）.

當(dāng)μ不等于零時(shí)，在紙帶抽出過程中，重物都會(huì)跟著紙帶向右運(yùn)動(dòng)一點(diǎn)時(shí)間，紙帶相對(duì)地的位移要大于L，時(shí)間變長（μ取無窮大，重物瞬間就達(dá)到與紙帶相同的速度，抽不出，或說抽取時(shí)間無窮大），C正確，D錯(cuò)誤.

同樣，“極值法”與“單調(diào)變化”聯(lián)合才是嚴(yán)謹(jǐn).但本題可以，原因解法四已述.

小結(jié)：通過對(duì)一道力學(xué)題多種解法的展示，目的在于啟發(fā)學(xué)生開動(dòng)腦筋，靈活運(yùn)用不同的方法求解習(xí)題，激發(fā)學(xué)生的鉆研學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)他們的發(fā)散思維，加強(qiáng)素質(zhì)培養(yǎng)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.