展示建模過程，建立符號意識——“用字母表示數(shù)”的教學實錄

●萬兆榮

所謂符號意識就是有意識地運用恰當?shù)姆柋硎鲅芯康膶ο?，達到清晰、準確、簡潔地表達思想、概念、方法和邏輯關(guān)系的目的。建立符號意識有助于學生理解符號的使用，是數(shù)學表達和數(shù)學思考的重要形式，有利于學生運用符號表征和解決實際問題。本文談談如何有效引導學生建立符號意識。

一、喚醒“經(jīng)驗”——建立符號意識的基礎(chǔ)

【片段一】

師：（課件展示同花色的一組撲克牌） 一幅撲克牌中同一種花色的牌有多少張？

生：13 張。

師：（撲克牌背面朝上）下面請任意抽取3 張牌，算“24 點”好嗎？

生：抽出（2、3、4）

生 1：（2×3）×4=24，（2×4）×3=24

生：再抽出（K、A、2）

師：出現(xiàn)字母A、K，現(xiàn)在還能算出24 點嗎？

生 2：把字母 A 看成 1，K 看成 13 就可以算了。

生 3：（13-1）×2=24

師：這里的A、K 還能表示別的數(shù)字嗎？為什么？

生4：不能，A 的撲克上只有1 點，可以代表數(shù)字1，撲克牌中 10 的后面還有 J、Q，那么 K 就表示 13 點。

師：撲克牌中的字母表示一個確定的數(shù)，那么字母在數(shù)學中會表示一個怎樣的數(shù)呢？

【反思】這里創(chuàng)設(shè)算“二十四點”的數(shù)學問題情境，激活了學生已有字母表示數(shù)的基本經(jīng)驗，字母“K、A”的巧妙滲透，不是字母的生活再現(xiàn)，而是貼近用字母表示數(shù)的數(shù)學本質(zhì)。既調(diào)動了學生參與熱情，又引發(fā)其對字母表示數(shù)的迫切需要；讓學生體會到字母表示數(shù)的確定性，對字母表示數(shù)的新意義和舊經(jīng)驗之間進行了“橋接”，由對符號的陌生感、排斥感逐步轉(zhuǎn)變成為認同感、親切感，從而促進學生符號化意識的發(fā)展。

二、感悟“符簡”——建立符號意識的關(guān)鍵

【片段二】

師：明明同學在電腦上玩撲克牌游戲，不小心按了紅桃3 的復制鍵，瞧！ （課件逐步呈現(xiàn)復制過程的情境圖如圖1）

圖1

師：明明究竟復制了多少張紅桃3 呢？這時紅心的總顆數(shù)是多少呢？

生：不知道，不能確定。

師：任意猜可能是復制了多少張，紅心的總數(shù)是多少？

生 1：可能 8 張，8×3＝24 張。

生 2：可能是 10 張，10×3＝30 張。

師：他們都是怎樣算出紅心的總數(shù)的？

生：牌的張數(shù)×3＝紅心的總顆數(shù)

師：要想一次猜對，用怎樣的式子來概括圖中的情況？ （小組內(nèi)交流并完成下表）

牌的張數(shù) 1 2 3 4 …紅心總數(shù) 1×3 2×3 …

學生匯報想法：

⑴無數(shù)張牌，無數(shù)×3。 ⑵?張，?×3。 ⑶a 張，a×3……

師：這些表示方法有什么異同？

生：文字、問號、字母都能表示牌的張數(shù)，因為每張牌中紅心的個數(shù)都是3，所以求總數(shù)都要乘3。

師：你喜歡哪種表示方法？ 為什么？

生：a×3，用字母a 代表一個數(shù)，看起來很清楚、很簡單。

師：字母a 究竟能表示多少，和3 有什么不同?

生1：a 是個未知的數(shù)，可以是任意一個自然數(shù)，3 不能變，只表示1 張牌有3 顆紅心。

生2：a 表示不斷變化的數(shù)，3 表示確定的數(shù)。

師：字母表示數(shù)的大小一旦確定，a×3 就有一個對應的數(shù)量，且關(guān)系始終不變，數(shù)學中蘊藏著很多這樣變與不變的關(guān)系。

【反思】正是因為符號的簡練性和抽象性才顯示數(shù)學的美麗。這里讓學生經(jīng)歷“從具體事物→個性化的符號表示→學會數(shù)學的表示”的符號化表征過程。第一個環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)了學生熟悉的“復制撲克牌”的游戲情境，引發(fā)學生思考“用怎樣的式子來表示圖中的情況” 問題引出學生對新知的好奇和探究欲望，由“算術(shù)語言”向“代數(shù)語言”的自然過渡，促進學生逐步構(gòu)建模型。 從現(xiàn)實問題到數(shù)學模型是一個 “數(shù)學化”“形式化” 的過程， 從模型返回到實際也是一個“尋找意義”的過程。第二個環(huán)節(jié)在小組合作交流中，由“形”到“象”的自然過渡，暴露了學生原有的思維，經(jīng)歷把知識符號化的過程， 強化了學生的符號化體驗，體會到用字母表示數(shù)的概括性和簡潔性。第三個環(huán)節(jié)由“這里a 和3 有什么不同?”深度追問，使學生深刻理解用字母表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系的內(nèi)涵，體驗用符號表征問題的必要性和優(yōu)越性， 有利于學生建立符號意識。

三、體驗“理深”——建立符號意識的核心

【片段三】

師：明明和妹妹玩摸牌比大小的游戲，誰摸得牌大？ (課件出示：明明的牌是x，妹妹的牌是x+4)

生：妹妹的大，大4 點。

師：你是怎樣看出來的。

生：x 表示明明的牌，x 加4 也就是妹妹的牌比明明的牌多4。

師：明明摸的牌可能是多少？

生1：可能是4。

生2：可能是7。

生3：可能是1 到9，最大只能是9，因為撲克牌最多是13 點，所以x 不能超過9。

師：（同桌合作） 試著說出一道含有字母的式子用來表示妹妹的牌，并說明兩者摸牌的數(shù)量關(guān)系？

生1：x-4 妹妹的比明明的小4，明明最少要是5。

生 2：x×4 妹妹的是明明的 4 倍，明明只能是 1、2、3。

【反思】

教學首先從“x”與“x+4”大小比較開始，引發(fā)了學生的認知沖突，讓學生利用已有的經(jīng)驗對“牌的點數(shù)”進行猜測，作出合情的判斷，當學生判斷出x 可能是1 到9 中的任意數(shù)字， 這時已經(jīng)超出了單純感悟的范圍，表現(xiàn)為學生自覺的認識，進一步強化了對數(shù)量之間關(guān)系的理解， 能夠深刻感悟到字母表示數(shù)是在不斷的變化中，因而用字母來概括地表示它。 其次，教學遵循兒童的已有的“+4”算式思想，引導學生自覺列舉形如“x-4、x×4"字母表示的式子，體會到字母可以參與多種運算，加深學生對“用含有字母的式子表示數(shù)、表示數(shù)量關(guān)系”的體驗和感悟，在尋找意義的過程中充分感受到數(shù)學表達方式的嚴謹性。

四、理解“內(nèi)涵”——建立符號意識的歸宿

【片段四】

(課件呈現(xiàn)：明明帶了x 元錢去文具店買學習用品，鋼筆每支a 元，要買3 支鋼筆。 )

師：請根據(jù)上述信息寫出幾個含有字母的式子，并說明式子所表示的意思。

生1：3a 表示買3 支鋼筆一共多少元。

生2：x-3a 表示買了3 支鋼筆后還剩多少元錢？

生3：x÷a 表示明明帶的錢可以買幾支鋼筆。

師：剛才的3a 表示紅心的總數(shù)，這里的3a 表示鋼筆的總價，你覺得3a 在生活中可以表示哪些具體的問題?

生1： 表示1 本書的單價是a 元，3 本書的總重是 3a 元。

生2： 表示1 個西瓜重a 千克，3 個西瓜的總價是3a 千克。

生3：表示1 天做3 道題目，a 天一共做了3a 道題。

師：明明帶的錢一定夠嗎？

生：如果x 大于3a 就可以，如果不夠就把題目改成3a-x，這樣就表示還差多少元？

師：當 x=20，a=6 時，錢夠嗎？

【反思】這里圍繞學生熟悉的開放問題進行數(shù)學模型的應用，理解“字母表示數(shù)”由抽象化到一般化的轉(zhuǎn)變，既鞏固了用字母表示數(shù)的認識，也強化了用字母表示數(shù)的練習和數(shù)學模型在日常生活中的應用，滲透了求代數(shù)式的值的運算方法，使學生理解字母作為不定元參與數(shù)學運算，讓學生感受到數(shù)學模型的概括性和應用的廣泛性。

總之，符號意識的形成，要基于學生已有的活動經(jīng)驗，精心選擇課程資源，凸顯情境化教育價值；要遵循從簡單到復雜、從具體到抽象，讓學生經(jīng)歷“形象-抽象-符號”的符號化過程，獲得用字母進行數(shù)學表達與思考的體驗；要著力于字母表示數(shù)的動態(tài)形成過程，著眼于字母表示數(shù)量關(guān)系的分析解讀過程，深刻理解符號的內(nèi)涵，積極促進學生思維抽象化發(fā)展。