“我要做數(shù)學(xué)大人”——3C①知識形成漫談

●鄭大明

一天， 孫子用積木擺了一座如圖1 所示的 “房子”。

圖1

我問他：“積木是什么樣子的呀？它們有幾個？”他說：“方形的，三個；三角形的一個呀！ ”接著他告訴我，老師只問了他們每個積木的顏色和軟硬。 我告訴他，爺爺這個叫數(shù)學(xué)問法，老師那個叫物理問法。 等以后長大了， 兩種你都會問了。 他高興地說：“我要做數(shù)學(xué)大人，還要做物理大人。 ”

是呀，孫子要做“數(shù)學(xué)大人”。 我就琢磨，他怎樣才能從“數(shù)學(xué)幼兒”變成“數(shù)學(xué)大人”呢？ 需要有什么本領(lǐng)才是“數(shù)學(xué)大人”呢？

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011 版） 開篇就指出：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”。數(shù)量關(guān)系是什么呢？ 通俗地講就是關(guān)于事物的個數(shù)以及事物的多與少，大與小，長與短等信息?？臻g形式又是什么？就是關(guān)于事物的樣子即形狀， 以及事物所在的位置比如上邊或者下邊、前面或者后面，還有事物運(yùn)動的方式比如汽車輪子是滾動著走的還是滑動著走等信息。如果把握了數(shù)學(xué)的這個本質(zhì)內(nèi)涵，我們就知道如何把小孩子培養(yǎng)成“數(shù)學(xué)大人”了。

一、學(xué)會數(shù)學(xué)地認(rèn)知：有數(shù)學(xué)家的耳朵和眼睛

我們認(rèn)識一樣?xùn)|西，心理學(xué)上叫做認(rèn)知。數(shù)學(xué)認(rèn)知就是用數(shù)學(xué)家感知和認(rèn)識事物的方法去收集事物的信息。 如果你會用數(shù)學(xué)家的看、聽、摸等方法去收集信息了，你就形成“數(shù)學(xué)認(rèn)知”本領(lǐng)了。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011 版）提出了數(shù)學(xué)家認(rèn)知事物的三個本領(lǐng)，即數(shù)感、空間觀念和數(shù)據(jù)分析觀念。

所謂數(shù)感，就是想到用看、聽和摸等方式了解事物的個數(shù)或多少的本領(lǐng)。 如圖2，一盤雞蛋多少個？一筐雞蛋多少個？

圖2

一盤雞蛋個數(shù)少，正常人用眼睛一看，邊看邊數(shù)邊念，一，二，三。 你就知道了雞蛋是3 個，旁邊的人也聽到了雞蛋是3 個。 瞎子怎么辦？ 聽你邊念邊數(shù)，也知道了。他也可以自己用手邊摸邊數(shù)，知道雞蛋是3 個。一筐雞蛋，你能只看就數(shù)出來了嗎？那不行，有些被遮住了，需要分揀出來，邊撿邊數(shù)了。

同時，通過這些信息收集活動，你也就知道了盤子里面的雞蛋個數(shù)比筐子里的少，反過來筐子里的雞蛋比盤子里的多。

所謂空間觀念，就是想到用形狀、方位、位置、運(yùn)動等知識去了解事物的本領(lǐng)。

如圖3，看到這個箱子圖片你想說些什么？

圖3

圖4

“箱子是木頭做的。”這不是數(shù)學(xué)家的眼光。數(shù)學(xué)家說：“箱子是正方體形狀的。 ”“箱子有一個面用木條釘成三角形了。”“箱子的6 個面都釘了木塊。”“釘有斜木條的面不在前面，也不再上面?！薄跋渥硬蝗菀诐L動；容易推著滑動，也就是平移。 ”

當(dāng)然，空間觀念還包括“看圖形想實(shí)物”，“看句子想圖形、想位置或者畫圖形”等內(nèi)容。 如圖4，根據(jù)下面的圖形設(shè)計制作一個禮品盒， 并在上面貼一朵花，在周圍畫上卡通畫或者寫上祝福語。

所謂數(shù)據(jù)分析觀念， 就是能想到用收集數(shù)據(jù)的方法研究一些事物或者現(xiàn)象發(fā)生的情況以及預(yù)測其發(fā)展勢頭的本領(lǐng)。

如，家長：“請問張老師，五年級的3 個班，哪個班好一些，我想把孩子轉(zhuǎn)到那個班去。 ”張老師：“3個都還可以，轉(zhuǎn)哪個班都沒問題。 ”

數(shù)學(xué)家：“請問同學(xué)們，五年級的3 個班，哪個班好一些？ 我們想知道哪些班能保持‘優(yōu)秀班集體’。 ”

學(xué)生：“你去查看各班的成績單吧，老師那有。 ”“你去班上問同學(xué)嘛！ ”

數(shù)學(xué)家看成績單和到班上去問學(xué)生， 都是調(diào)查研究、采集數(shù)據(jù)和分析情況的好方法。拿到成績單數(shù)一數(shù)，排一排，就知道哪個班成績好，成績好的人數(shù)有多少。問同學(xué)就知道哪個班表現(xiàn)好了。有了這個本領(lǐng)就不會像張老師那樣回答：“都可以。 ”或者“二班好點(diǎn)。 ”這樣回答，沒有說服人的證據(jù)或者理由。

數(shù)學(xué)家認(rèn)知事物，最重要的就是有序地認(rèn)知。認(rèn)知時做到依次序，不重復(fù)不漏掉需要認(rèn)知的東西。

數(shù)雞蛋等事物的個數(shù)， 一般按照由少到多的順序，一個一個地、一十一十地接著往下數(shù)；數(shù)水果等幾種事物的個數(shù)，就要先分開蘋果啊、香蕉啊和梨啊，分類以后再從少到多地數(shù)；數(shù)家里來的客人，就要從屋里到屋外依次一個一個地數(shù)完；看箱子有幾個面，就要從上到下，從左往右，從前往后依次數(shù)完6 個面。

像給你一個圓形，叫你聯(lián)想真實(shí)的事物，你就得從身邊近的東西開始觀察，再到離自己遠(yuǎn)的東西。先看身邊的鐘表、杯子、碗等，再看遠(yuǎn)處的汽車輪子、風(fēng)車，再想天上的太陽、月亮；從熟悉的東西開始慢慢到陌生的東西。

二、學(xué)會數(shù)學(xué)地表達(dá)：有數(shù)學(xué)家的嘴巴和鉛筆

我們說話，在心理學(xué)上叫做表達(dá)。表達(dá)的目的是傳播或者交流信息， 是一個人向另一個人或一群人傳播或者交流信息。有了這種本領(lǐng)，你就能夠在人群中相互溝通了。表達(dá)經(jīng)過無記錄到有記錄地發(fā)展，分為口頭表達(dá)和書面表達(dá)。口頭表達(dá)就是用嘴說，用聲音符號傳達(dá)信息； 書面表達(dá)在白紙或者電腦等東西上用文字和圖形符號傳遞信息。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011 版）提出了數(shù)學(xué)家表達(dá)信息的兩個本領(lǐng)，即符號意識和幾何直觀。

所謂符號意識，就是想到了用約定的、統(tǒng)一的數(shù)學(xué)符號來傳播所了解到的事物信息的本領(lǐng)。

數(shù)學(xué)家常用的符號有文字符號如一、二、三等，數(shù)字符號如 0，1，2，3 等， 字母符號如 a、b、c 和 x、y、z等，幾何符號如點(diǎn)、線、面、體等，圖形符號如〇、☉、☆、□等。 還有許多規(guī)定的符號如“＞、＜、=、（ ）、[ ]”等。

數(shù)學(xué)家用的聲音符號，就是指對每一種文字、數(shù)字和幾何符號等，都規(guī)定一個對應(yīng)的讀音（每個不同的民族或者國家， 對同一個符號的讀音都不一定相同）?；蛘叻催^來說，對生活中人們的讀音，都對應(yīng)一個文字、數(shù)字或者幾何符號等去記錄。 比如“0”讀作“零”，“=”讀作等于；“☉”讀作圓。

有了這些符號我們就能傳播和記錄事物的大小、多少、形狀等數(shù)學(xué)信息了，就能像數(shù)學(xué)家那樣說話了。 例“三角形什么樣子的？ ”“三角形有 3 個角，3條邊，3 個頂點(diǎn)”。

所謂幾何直觀， 就是想到了用約定的幾何符號點(diǎn)、線、面、體等來傳播一些沒有形狀特點(diǎn)的事物或現(xiàn)象的本領(lǐng)。比如記錄天氣變化的天氣實(shí)況圖，記錄心臟律動的心電圖等，都不是真正意義上的有形事物，但是我們用上幾何元素表示，就能直觀地說明問題。如圖5，這些交通標(biāo)志牌上的幾何圖形符號，簡單明白地給司機(jī)們提示了哪些能行走、哪些不能行走、要注意些什么的信息。你想，要是每個需要提示的地方派一個人或者一個大喇叭在那里 “哇啦哇啦” 地提示，那效果會是怎樣的呢？

圖5

這里的圖形符號表示的是一種交通運(yùn)行現(xiàn)象或者行為狀態(tài)，而不是一個事物真實(shí)的形狀或者樣子。

如圖6 是一張汕頭市平均月氣溫和降水量統(tǒng)計圖。這里的溫度和降水量也是一個沒有形狀的事物，但是通過用這些點(diǎn)、線和直條表達(dá)出來，人們一下就能感受它們的存在，也能很容易地知道了它們的發(fā)展變化狀態(tài)，可以預(yù)測明年大致每個月的氣溫和降水量的情況了。

數(shù)學(xué)家說話，最重要的就是注意了以下四點(diǎn)：

一是客觀真實(shí)。 數(shù)學(xué)不允許像童話故事那樣瞎編。 比如，小明說：“超人奧特曼昨天給我200 元錢，今天早上買了2 個包子和1 碗稀飯，還剩193 元。 ”

圖6

二是科學(xué)準(zhǔn)確。使用數(shù)學(xué)語言，不管是聲音符號還是文字、字母符號，都不能用錯了，因?yàn)橛缅e了別人就聽不懂或者看不懂了。 比如135，讀音記錄為一百三十五，不能寫成“一白山石午”。也不能用模棱兩可的語言或者符號。 比如“一頭牛重四百1000 克。 ”這里的“1000 克”和“1 千克”，看起來意義上好像區(qū)別不大，但是在計數(shù)規(guī)則上，就不一樣。 1000 克是以“1 克”為計量的標(biāo)準(zhǔn)單位，意思是 1000 個“1 克”；而1 千克是以“千克”為計量的標(biāo)準(zhǔn)單位，意思是1 個“1 千克”。 因此，應(yīng)該寫成“一頭牛重 400 千克。 ”

三是簡單明了。數(shù)學(xué)家表達(dá)的特點(diǎn)是簡單。比如交通標(biāo)志的第一和第二排，一看圖形就明白意思，就不需要加文字。 第三排比較復(fù)雜， 就加了簡單的文字。通常來講，如果一個詞語或者一個符號能說清楚的，就絕不使用兩個。

四是圖文并茂。表達(dá)比較復(fù)雜的事物，往往需要文字符號與圖片、圖形或者圖形符號一起使用，才方便說清楚意思。 比如上面圖5 的“禁行標(biāo)識”和圖6的“氣溫和降水量統(tǒng)計圖”，既有文字說明，又有符號、圖形等。

三、學(xué)會數(shù)學(xué)地思考：有數(shù)學(xué)家的大腦和胸襟

我們想問題，在心理學(xué)上叫做思考，想的過程叫做思維。數(shù)學(xué)家想問題，有兩個關(guān)鍵，一個是情緒，一個是方式。也就是說，一要靜下心來，心平氣和，不偏不倚，實(shí)事求是，在社會學(xué)里面叫做中立，在數(shù)學(xué)上叫做理性精神。二要有思考的路徑，從哪里開始到哪里結(jié)束，用什么作參照，用什么做比較，他們都有相應(yīng)辦法。 如果沒有這些東西作支撐，就可能胡思亂想，沒有結(jié)果。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011 版）提出了數(shù)學(xué)家想問題的兩個本領(lǐng)，即模型思想和推理能力。

所謂模型思想，就是想到了要建立若干個想問題的參照標(biāo)準(zhǔn)的本領(lǐng)。 這些參照標(biāo)準(zhǔn)既可以是生活中有的東西，也可以是我們大家約定俗成的一些東西。 像雷鋒叔叔，就是生活中的好人模型。 一說做好事了，大家馬上就想到和雷鋒叔叔比一比，看自己做的是不是雷鋒做的那些好事。

數(shù)學(xué)家塑造了許許多多這樣的標(biāo)準(zhǔn)化模型。 比如，數(shù)的模型與加法模型。 如表1 中的實(shí)物，我們發(fā)現(xiàn)蘋果、 蜜蜂和足球， 在生活中他們幾乎沒什么聯(lián)系。但是在表格中，數(shù)每一列事物個數(shù)的次數(shù)也就是頻率是一樣的。 因此， 我們先用點(diǎn)子表示數(shù)數(shù)的次數(shù)，有了數(shù)數(shù)的模型。 再給他一個讀音，有了“yī、èr、sān、sì”這樣的聲音模型，我們就可以說話了。以后數(shù)任何東西，凡是數(shù)“●”的，就說“yī”，數(shù)“●●”的，就說“èr”。 嘴上能說了，數(shù)學(xué)家又規(guī)定了寫數(shù)的符號化模型“一、二、三、四......”，再后來引進(jìn)了國際上通用的阿拉伯?dāng)?shù)字符號“1，2，3，4……”進(jìn)行書寫。

表1

如表2 中的點(diǎn)字圖，呈現(xiàn)了加法模型的基本形成過程，從若干個類似的黑白點(diǎn)子組合，抽象出兩部分合成一個整體的過程，再用語言和式子記錄這個過程。于是，整個一個從點(diǎn)子模型到式子模型的加法模型就形成了。

表2

后來，數(shù)學(xué)家還發(fā)現(xiàn)這個模型中的兩部分，無論先寫哪一部分，結(jié)果都是一樣的。 于是出現(xiàn)了A+B=B+A 以及7=1+6=2+5=3+4 的衍生模型。

類似的模型還很多種類，如圖7 中（1）是計數(shù)單位的模型；（2）計量單位的模型；（3）基本圖形的模型。有了這些基本的模型，我們就可以借助它們思考和研究更復(fù)雜的問題。

圖7

所謂推理能力，就是想到運(yùn)用已知模型或者研究出的結(jié)論進(jìn)行肯定與否定，從而得出新結(jié)論的本領(lǐng)。 這里涉及兩個詞語，概念和判斷。 利用概念對事物的某些特征進(jìn)行肯定和否定，就是判斷。

西方人把推理過程叫做邏輯 （源自古典希臘語logos）。邏輯三要素是概念、判斷和推理。上面講了推理和判斷，現(xiàn)在說說概念。

概念就是數(shù)學(xué)家想問題時使用的參照標(biāo)準(zhǔn)，也就是基本模型。從前面的研究發(fā)現(xiàn)，有些模型是生活中的實(shí)物或者數(shù)學(xué)家根據(jù)事物共同的形狀特點(diǎn)約定的圖形元素，用起來很直觀、很形象；有些模型沒有實(shí)物或者事物的圖形元素做標(biāo)準(zhǔn)，只能靠語言、文字來進(jìn)行說明的，比如“加法”“負(fù)數(shù)”“圓周率”等。 于是，邏輯學(xué)上把借助實(shí)物或圖形元素想問題的過程，叫做形象思維； 借助非實(shí)物或者圖形元素想問題的過程，叫做抽象思維。

邏輯學(xué)上還把推理分為歸納推理和演繹推理等幾種形式。 所謂歸納推理就是舉出許多實(shí)物或者基本模型的共同點(diǎn)進(jìn)行綜合判斷，得出新結(jié)論的過程。

如圖8，看圖片，孩子們很容易發(fā)現(xiàn)這些昆蟲的共同點(diǎn)得出結(jié)論：“昆蟲都有6 只腳和1 對翅膀”。

圖8

一些同學(xué)還能馬上舉出蜜蜂、蟬、蝴蝶、金龜子、天牛子等等都是昆蟲的例子。也有同學(xué)會產(chǎn)生疑問：昆蟲不是都有1 對翅膀嗎？跳蚤的翅膀呢？最后查閱資料，才發(fā)現(xiàn)跳蚤的翅膀退化了，屬于變態(tài)昆蟲。 但跳蚤的腿腳很發(fā)達(dá)，于是才跳著走的。

這就屬于演繹推理了。所謂演繹推理，就是運(yùn)用已知結(jié)論對需要作出判斷的事物或現(xiàn)象進(jìn)行對比判斷得出新結(jié)論的過程。 因?yàn)?，昆蟲都有一對翅膀，是先前的結(jié)論。既然跳蚤是昆蟲，那么跳蚤的翅膀在哪里？

按照形式邏輯的演繹推理三段論格式表達(dá)上述過程就是：

四、學(xué)會數(shù)學(xué)地運(yùn)用：有數(shù)學(xué)家的雙手和雙腳

我們做事情，要用到我們的身體和學(xué)來的知識，這在心理學(xué)上就叫做運(yùn)用。 前面講的都是數(shù)學(xué)家怎樣運(yùn)用自己的眼睛、嘴巴、耳朵和大腦了解事物的信息和想問題。 其實(shí)，要像數(shù)學(xué)家那樣做事情，前面講的那些就是關(guān)鍵的組成要素。 如果你不會看， 不會說，不會想，就談不上會做。 即使你照著別人設(shè)計好的圖紙、想好的方案、擺好的模型模仿一輩子，你也很難有自己的思想和方法，做不出大的成績來。因此我們說“學(xué)會數(shù)學(xué)地做”就是要像數(shù)學(xué)家那樣，自己看，自己想，自己說，自己做。這就是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011 版）上告訴的數(shù)學(xué)家做事情兩個關(guān)鍵本領(lǐng)，即創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力。

所謂實(shí)踐能力就是包括照著別人的圖紙與方案模仿做事情和自己獨(dú)立做事情的本領(lǐng)。

所謂創(chuàng)新意識就是專指自己獨(dú)立看、 自己獨(dú)立說、自己獨(dú)立想、自己獨(dú)立做的本領(lǐng)了，而且特別強(qiáng)調(diào)你要看到別人沒有看到的，說出別人沒有說出的，想到別人沒有想到的，做出別人沒有做出的。

同時，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011 版）還告訴了數(shù)學(xué)家做事情的一個專項本領(lǐng)，即運(yùn)算能力。

很多人認(rèn)為，現(xiàn)在有計算機(jī)了，這個本領(lǐng)沒啥用了。 其實(shí)，數(shù)學(xué)家具備的運(yùn)算能力，不是把自己訓(xùn)練成會計算題目的機(jī)器，而是具備一種態(tài)度和一種規(guī)則意識。即做任何事情都要一絲不茍和按規(guī)則辦事。就像計算數(shù)學(xué)題，不專心觀察、不認(rèn)真書寫、注意力不集中就容易出錯； 不按運(yùn)算法則去做就很難找到合適的答案。 比如“先乘除，后加減；先括號里，再括號外”是先輩或者大家共同總結(jié)出來的規(guī)則，你照著做就會很快得出答案。 但是，如果遇到特殊數(shù)據(jù)，你會嘗試按照一些規(guī)律和性質(zhì)改變一下運(yùn)算順序，就會找到簡便的算法，更快更好地完成任務(wù)。如果再遇到更特殊的運(yùn)算數(shù)據(jù)，完全靠自己去尋找更新、更獨(dú)特的思路和算法， 得出答案或結(jié)論， 你就是數(shù)學(xué)家了。 比如，成功發(fā)布“陳式定理”的陳景潤、成功創(chuàng)造“統(tǒng)籌優(yōu)選法”的華羅庚、成功解決“孿生素數(shù)界限問題”的張益唐等，就是這樣的數(shù)學(xué)家。

因此，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家做事，那么長大后如果按照一定的規(guī)則辦事，就會很順利地完成任務(wù)。如果我們解決問題過程中還學(xué)會了自己看、 自己想、 自己說、自己做，練就了“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題”的本領(lǐng)，那你就是真正的“數(shù)學(xué)大人”。