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    Hom-quadri-代數(shù)和Hom-octo-代數(shù)

    2014-07-10 03:11:06安慧輝
    大連大學(xué)學(xué)報 2014年6期
    關(guān)鍵詞:代數(shù)遼寧線性

    安慧輝,薛 晨,康 健

    (遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116023)

    0 引言

    Dendriform 代數(shù)、quadri-代數(shù)、octo-代數(shù)都稱為Loday 代數(shù),這些代數(shù)都有共同“分裂結(jié)合性”的特性,即將結(jié)合代數(shù)的乘法表示成一串二元運(yùn)算的和[1]。同時,Loday 代數(shù)在許多領(lǐng)域中也有廣泛的應(yīng)用,甚至某些代數(shù)還成為了一個獨(dú)立的代數(shù)體系發(fā)展起來,例如1995 年Loday 在研究代數(shù)K-理論時首先發(fā)現(xiàn)的dendriform 代數(shù)[2],后來隨著人們對dendriform 代數(shù)的深入研究,發(fā)現(xiàn)它在許多數(shù)學(xué)、物理領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用,例如operads 理論[3],同調(diào)[4],Hopf 代數(shù)[5,6],李代數(shù)和Leibniz 代數(shù)[4],以及量子場[7]等等。本文就在octo-代數(shù)、quadri-代數(shù)基礎(chǔ)上分別給出Hom-quadri-代數(shù)和Hom-octo-代數(shù)的定義和結(jié)構(gòu),并討論了它們之間的關(guān)系。

    1 基本內(nèi)容

    定義1.1(Hom-associative-代數(shù))[8]

    定義1.2(Hom-pre-Lie-代數(shù))[8]

    定義1.3(Hom-dendriform-代數(shù))[8]

    命題1.4[8]

    命題1.5[8]

    定義1.6(quadri-代數(shù))[1]

    假設(shè)A 為線性空間,在A 上定義代數(shù)運(yùn)算

    定義1.7(octo-代數(shù)) [1]

    假設(shè)A 為一個線性空間,在A 上定義代數(shù)運(yùn)算

    其中:

    2 Hom-quadri-代數(shù)

    定義2.1(Hom-quadri-代數(shù))

    注:

    定理2.2

    證明:

    對于 ?x , y ,z ∈ A ,有

    命題2.3

    證明:

    對于 ?x , y ,z ∈ A ,由Hom-dendriform-代數(shù)的定義可得:

    推論2.4

    證明:

    利用定義1.2、命題1.5 和命題2.3 即可證明。

    推論2.5

    證明:

    利用定義1.1、命題1.4 和命題2.3 即可證明。

    3 Hom-octo-代數(shù)

    定義3.1(Hom-octo-代數(shù))

    其中:

    注:

    定理3.2

    證明:

    對于 ?x , y ,z ∈ A ,有

    命題3.3

    證明:

    推論3.4

    證明:

    由定義1.3 和命題3.3 即可證明。

    推論3.5

    證明:

    由定義1.2、命題1.5 和推論3.4 即可證明。

    推論3.6

    證明:

    由定義1.1、命題1.4 和推論3.4 即可證明。

    [1] Bai CM. O-operators of Loday algebrasand analogues of the classical Yang-Baxter equation[J]. Comm. in Alg., 2010, 38(11): 4277-4321.

    [2] Loday J L, Dialgebras, in Dialgebras and related operads [J]. Lec. Not. in Math., 2001, 1763: 7-66.

    [3] Loday J L, Scindement d’associativité et algèbres de Hopf [J]. Pro. of the Con. in hou. of hou. of Jean Leray, 2004, 9: 155- 172.

    [4] Frabetti A, Leibniz homology of dialgebras of matrices [J]. Jour. of Pure and App.Alg., 1998, 129(2): 123-141.

    [5] Ronco M, Eulerian idempotents and Milnor-Moore theorem for certain non-cocommutative Hopf algebras [J]. Jou. Alg., 2002, 254(1): 151-172.

    [6] Chapoton F, Un théorème de Cartier-Milnor-Moore-Quillen pour les bigèbres dendriforms et les algebras braces [J]. Pure and App. Alg., 2002, 168(1): 1-18.

    [7] Koszul J L, Variétés localement plates et convexitè [J]. Ocaka Jour. of Math., 1965, 2(2): 285-290.

    [8] Makhiouf Abdenacer. Hom-dendriform algebras and Rota- Baxter Hom-algebras [J/OL]. (2011-1-2) [2014-06-10]. http:// arxiv.org/pdf/1101.0435.pdf.

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