乘數(shù)

何垚

摘 要：乘數(shù)原理和加速數(shù)原理是乘數(shù)——加速數(shù)模型的核心所在，我們主要是通過它們兩來分析經(jīng)濟(jì)的周期性波動(dòng)。利用狀態(tài)空間法對(duì)改進(jìn)的宏觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)：動(dòng)態(tài)乘數(shù)—加速數(shù)模型的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，得出了該模型漸近穩(wěn)定的充分必要條件。

關(guān)鍵詞：乘數(shù)；加速數(shù)；狀態(tài)方程；穩(wěn)定性

0 引言

“乘數(shù)原理”和“加速原理”各自闡述的重點(diǎn)不同?！俺藬?shù)原理”旨在闡明收入的變化與帶來這種變化的投資支出之間的比率關(guān)系，而“加速原理”旨在闡明人們收入的微小變動(dòng)是怎樣讓投資數(shù)額發(fā)生很大的變動(dòng)，它倆要闡明的經(jīng)濟(jì)變動(dòng)是互相關(guān)聯(lián)、互相影響的。在實(shí)際的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中乘數(shù)——加速數(shù)原理相互共同作用是凱恩斯主義學(xué)派對(duì)乘數(shù)原理的繼承和發(fā)展，我們正是運(yùn)用宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“乘數(shù)”和“加速數(shù)”之間的相互作用來對(duì)經(jīng)濟(jì)的周期性經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變動(dòng)作出解釋的。

1 乘數(shù)——加速數(shù)模型的基本思想

乘數(shù)——加速數(shù)模型在試圖把外部因素和內(nèi)部因素結(jié)合在一起對(duì)經(jīng)濟(jì)周期作出解釋的同時(shí)，特別強(qiáng)調(diào)投資變動(dòng)的因素。假設(shè)新發(fā)明的出現(xiàn)使投資數(shù)量增加，他們會(huì)通過乘數(shù)作用使收入增加。當(dāng)人們收入增加時(shí)，就會(huì)購買更多的商品，從而使整個(gè)社會(huì)的物品銷售量增加。再通過加速數(shù)的作用會(huì)促進(jìn)投資以更快的速度增加，而投資的增加又使國民收入增加，從而銷售量進(jìn)一步上升，如此循環(huán)，社會(huì)經(jīng)濟(jì)便處于擴(kuò)張階段。[1]但社會(huì)資源是有限的，當(dāng)經(jīng)濟(jì)達(dá)到周期頂峰時(shí)，收入便不再增長，銷售量也就不再增長，根據(jù)加速原理意味著投資量下降為零。又投資下降，收入下降，導(dǎo)致銷售量也進(jìn)一步下降。又由于加速原理，銷售量的下降使投資進(jìn)一步下降，而投資的下降又使國民收入進(jìn)一步下降。如此往復(fù)，社會(huì)經(jīng)濟(jì)周期便又處于衰退期。經(jīng)濟(jì)周期的形成就是這樣通過乘數(shù)—加速數(shù)模型的原理實(shí)現(xiàn)的。

對(duì)薩繆爾森的乘數(shù)——加速數(shù)模型的基本方程進(jìn)行整合，得模型的輸入——輸出表達(dá)如下：Yt=1+abYt-1-abYt-2+Ut （1）

式中，第t季度的國民收入用Y（t）表示，第t季度的國民消費(fèi)用C（t）表示，第t季度的國民投資用I（t）表示，第t季度的國民政府支出用G（t）表示。a為加速數(shù)，b為邊際消費(fèi)傾向。

2 乘數(shù)——加速數(shù)模型的控制論分析

將（1）式轉(zhuǎn)化成為狀態(tài)空間模型，寫成矩陣形式：

輸出方程為：

由于上面情形存在多種情況的穩(wěn)定性討論。所以我們?cè)谙挛膶?duì)乘數(shù)加速數(shù)模型進(jìn)行改進(jìn)再討論其穩(wěn)定性。

3 對(duì)乘數(shù)——加速數(shù)模型進(jìn)行改進(jìn)并分析其穩(wěn)定性

現(xiàn)在討論下面的改進(jìn)的乘數(shù)——加速數(shù)模型：

Yt=Ct+It+G 4Ct=a+bYt-1+dCt-1 5It=eCt-Ct-1+I 6

上式中a為自主消費(fèi)且a>0，b表示邊際消費(fèi)傾向，00，a，b，c，d均是常數(shù)。I0是自發(fā)投資與其他消費(fèi)沒有關(guān)系，I0>0。我們接下來討論該改進(jìn)模型系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3.1 經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判別方法

定理：設(shè)有二階線性定常離散系統(tǒng)x（k+1）=Ax（k）式中，xk∈R，A∈R。若I-A為非奇異，則系統(tǒng)的平穩(wěn)解為x=I-A，系統(tǒng)關(guān)于x的穩(wěn)定性取決于特征根的情況。特征多項(xiàng)式為 當(dāng)二階線性定常系統(tǒng)的兩個(gè)特征根全部位于Z平面的單位圓中時(shí)，系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，此時(shí)，系統(tǒng)關(guān)于平衡態(tài)xe漸近穩(wěn)定的充分必要條件為

f0<1，f-1>0，f1>0 7

依據(jù)這個(gè)定律我們將在下面對(duì)改進(jìn)的模型的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

3.2 建立改進(jìn)后模型的狀態(tài)空間方程：

將上述方程（5）（6）代入（4）得方程：

Yt=1+ebYt-1+d+ed-eCt-1+a1+e+G+I 8

定義狀態(tài)變量：

從而可以得到改進(jìn)后模型的空間狀態(tài)方程：

則：E-A=1-d-b其中是E二階的單位矩陣，由上述定理可以知道當(dāng)b+d≠1時(shí)，平衡狀態(tài)：

是改進(jìn)后模型的系統(tǒng)關(guān)于平衡狀態(tài)的唯一解。

矩陣A的特征方程為：

從定理得，模型改進(jìn)后的系統(tǒng)關(guān)于Xe漸近穩(wěn)定的充要條件為：eb<1b+d<1 其中，e>0，0

畫出其圖形，從圖形中我們可以看到，當(dāng)點(diǎn)（e，b）在陰影面積區(qū)域之外時(shí)，改進(jìn)的系統(tǒng)不穩(wěn)定，當(dāng)在陰影區(qū)域內(nèi)時(shí)，改進(jìn)后的系統(tǒng)就關(guān)于Xe漸近穩(wěn)定。

參考文獻(xiàn)：

[1]龔德恩.經(jīng)濟(jì)控制論概論[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，1988.