雙參數(shù)五點(diǎn)插值細(xì)分法

張艷艷，檀結(jié)慶

合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥 230009

雙參數(shù)五點(diǎn)插值細(xì)分法

張艷艷，檀結(jié)慶

合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥 230009

提出包含兩個(gè)參數(shù)的五點(diǎn)ternary插值細(xì)分法。利用生成多項(xiàng)式等方法對(duì)細(xì)分法的一致收斂性，CK連續(xù)性進(jìn)行了分析。討論了參數(shù)對(duì)細(xì)分法的收斂性及連續(xù)性的影響，同時(shí)給出了細(xì)分法C0到C2連續(xù)的充分條件和數(shù)值算例。

ternary細(xì)分法；插值；一致收斂性；CK連續(xù)性

1 引言

細(xì)分方法是一種根據(jù)初始數(shù)據(jù)或初始控制多邊形由計(jì)算機(jī)直接生成曲線曲面或其他幾何形體的離散化的造型方法。具有算法簡單、易于實(shí)現(xiàn)和高效性等優(yōu)點(diǎn)，因而在幾何造型中得到廣泛應(yīng)用。1987年Dyn等[1]提出生成曲線的四點(diǎn)插值細(xì)分法（C1連續(xù)）。Dyn等[2-3]從理論上對(duì)binary細(xì)分法及其極限曲線的存在性及光滑性進(jìn)行了研究。Hassan等[4-5]提出ternary四點(diǎn)插值細(xì)分法，生成的極限曲線達(dá)到C2連續(xù)，并給出了三重格式的一些充分條件。鄭紅嬋等[6-8]將四點(diǎn)插值細(xì)分法進(jìn)行推廣，提出了一類包含兩個(gè)形狀參數(shù)的雙參數(shù)四點(diǎn)binary細(xì)分法和多參數(shù)ternary細(xì)分格式。蔡志杰[9-10]對(duì)非均勻控制頂點(diǎn)時(shí)四點(diǎn)法及變參數(shù)四點(diǎn)法的收斂性和連續(xù)性進(jìn)行了分析。丁友東[11]提出非線性四點(diǎn)插值細(xì)分法。Faheem等[12]提出了ternary六點(diǎn)插值細(xì)分法，生成曲線達(dá)到C2連續(xù)。

提出了雙參數(shù)五點(diǎn)ternary插值細(xì)分法，利用生成多項(xiàng)式等方法對(duì)細(xì)分法的收斂性和連續(xù)性進(jìn)行了分析。可以通過調(diào)節(jié)形狀參數(shù)取值來實(shí)現(xiàn)對(duì)細(xì)分曲線形狀的調(diào)控，并達(dá)到一致收斂，C1或C2連續(xù)。

2 預(yù)備知識(shí)

其中?={?j|j∈Z}?R，其中J0為有限下標(biāo)集，?j中只有有限個(gè)數(shù)不為零，稱為該細(xì)分法的mask，將此細(xì)分法表示為S，因此有Pk+1=SPk，S為線性算子，表示從Pk到Pk+1的線性變換。一般地，有Pk+1=SPk=Sk+1P0。

定義1對(duì)于ternary細(xì)分法S和初始控制點(diǎn)集f0=為第k次細(xì)分后的控制點(diǎn)集，且對(duì)應(yīng)的參數(shù)為（h為初始值的步長），若存在定義在R或R子集上的不恒為零的連續(xù)函數(shù)f(x)，滿足則稱細(xì)分法S一致收斂，記S∈C0，并記f(x)=S∞f0。若S∞f0∈CK，則稱細(xì)分法S為CK連續(xù)的，簡記為S∈CK。

定理1[4，8]若由式（1）定義的ternary細(xì)分法S一致收斂，則其mask?={?j}滿足：

定理2[4，7]設(shè)ternary細(xì)分法S的mask?={?j}滿足式（2），則存在一個(gè)細(xì)分法S1，滿足：dfk+1=S1dfk。fk= Skf0且記Sn的mask為?(n)={?}，其生成多項(xiàng)式為：

定理3[4，8]ternary細(xì)分法S一致收斂當(dāng)且僅當(dāng)細(xì)分法S1對(duì)任何初始數(shù)據(jù)f0一致收斂于零，即

定理4[4，8]設(shè)ternary細(xì)分法S一致收斂，則S決定了一個(gè)緊支集上唯一的連續(xù)函數(shù)S∞f0。

3 雙參數(shù)五點(diǎn)ternary插值細(xì)分法

其中ω，μ為形狀參數(shù)。

上述規(guī)則可改寫為：

ω，μ的幾何意義如圖1所示。

圖1 參數(shù)μ，ω的幾何意義

4 雙參數(shù)五點(diǎn)ternary插值細(xì)分的收斂性和連續(xù)性分析

定理6當(dāng)參數(shù)μ，ω滿足：

時(shí)，此細(xì)分法一致收斂，即存在惟一緊支集的連續(xù)函數(shù)S∞P0∈C0[0，n]為其極限函數(shù)。

時(shí)，此細(xì)分法是C2連續(xù)的。形狀參數(shù)取值域如圖2所示。

圖2 雙參數(shù)五點(diǎn)插值法的參數(shù)取值域

5 結(jié)論與數(shù)值算例

在Hassan四點(diǎn)插值細(xì)分法的基礎(chǔ)上提出了雙參數(shù)五點(diǎn)ternary插值細(xì)分法。算法中引入了兩個(gè)控制參數(shù)，增強(qiáng)了對(duì)極限曲線的可控性。且由于五點(diǎn)法相對(duì)于四點(diǎn)法增加了控制頂點(diǎn)，產(chǎn)生的曲線整體上與控制點(diǎn)的關(guān)系更加密切。圖3-1所示為采用本文方法，經(jīng)過5次細(xì)分所得到的C1～C2連續(xù)的細(xì)分曲線圖形（虛線為初始控制多邊形，實(shí)線為利用本文方法生成的極限曲線）。

圖3 -1雙參數(shù)五點(diǎn)插值法C1和C2細(xì)分曲線

圖3-2（a）是文獻(xiàn)[4]方法經(jīng)過10次細(xì)分后生成的極限曲線，圖3-2（b）是本文方法經(jīng)過5次細(xì)分后生成的極限曲線。比較可知，本文方法經(jīng)過較少的細(xì)分次數(shù)可以得到與文獻(xiàn)[4]方法相同效果的極限曲線。

圖3 -2文獻(xiàn)[4]方法細(xì)分曲線和本文方法細(xì)分曲線

圖4以固定μ值（μ取0.35）為例說明了形狀參數(shù)ω的取值對(duì)細(xì)分曲線形狀的影響?？梢钥闯?，固定形狀參數(shù)μ另一形狀參數(shù)ω在一定范圍內(nèi)從小到大逐漸增加時(shí)，極限曲線先“向外插值”，再“向內(nèi)插值”，同時(shí)向內(nèi)微縮。圖5以ω取定-0.045為例說明形狀參數(shù)μ的取值對(duì)細(xì)分曲線也有類似影響。

圖4 參數(shù)ω對(duì)細(xì)分曲線形狀的影響

如果選取某些特殊的參數(shù)值會(huì)使極限曲線產(chǎn)生如圖6所示的分形現(xiàn)象。

圖5 參數(shù)μ對(duì)細(xì)分曲線形狀的影響

圖6 分形現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)表明，多點(diǎn)數(shù)的三重細(xì)分法具有分形性質(zhì)，但除經(jīng)典的細(xì)分法外（文獻(xiàn)[13-15]給出證明），并沒有完整的關(guān)于多點(diǎn)數(shù)細(xì)分法的分形性質(zhì)的理論證明。這方面有待于進(jìn)一步研究。

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ZHANG Yanyan,TAN Jieqing

School of Mathematics,Hefei University of Technology,Hefei 230009,China

A new scheme is presented to design subdivision curves by introducing two control parameters in the ternary subdivision scheme.The sufficient conditions of the uniform convergence property andCKcontinuity properties of the five-point ternary subdivision scheme with two parameters are proved.It can generateC2limit functions by choosing two parameters appropriately.Some examples of the curve design are given to show the efficiency of the proposed subdivision scheme.

ternary subdivision scheme;interpolation;uniform convergence;CK-continuity

A

TP391.72

10.3778/j.issn.1002-8331.1211-0081

ZHANG Yanyan,TAN Jieqing.Five-point interpolating subdivision scheme with two parameters.Computer Engineering and Applications,2014,50（6）：135-138.

國家自然科學(xué)基金（No.60773043，No.61070227）；教育部科學(xué)技術(shù)研究重大項(xiàng)目（No.309017）；國家自然科學(xué)基金-廣東聯(lián)合基金重點(diǎn)項(xiàng)目（No.U1135003）。

張艷艷（1989—），女，碩士研究生，主要研究方向：計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)；檀結(jié)慶（1962—），男，教授，博導(dǎo)，主要研究方向：非線性數(shù)值逼近理論與方法、科學(xué)計(jì)算、計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、圖像處理技術(shù)。E-mail：hfutzhyy@sina.com

2012-11-06

2013-01-15

1002-8331（2014）06-0135-04

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2013-01-29，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130129.1539.010.html