關(guān)于丟番圖方程4-（-2）2=24

王義錦，佟瑞洲

30建平縣高級(jí)中學(xué)，遼寧建平122400；2.朝陽(yáng)師范高等專(zhuān)科學(xué)校，遼寧朝陽(yáng)122000

王義錦1，佟瑞洲2

利用初等方法給出了丟番圖方程px4-（p-2）y2=2z4當(dāng)p=Q2+2為奇素?cái)?shù)時(shí)的全部正整數(shù)解，從而拓展了Mordell等學(xué)者關(guān)于ax4+by4=cz2的結(jié)果.

丟番圖方程；正整數(shù)解；兩兩互素

對(duì)于丟番圖方程

在文獻(xiàn)[1~10]中，Mordell等學(xué)者對(duì)方程（1）進(jìn)行了大量研究，本文研究了（a，b，c）=（p，-2，p-2）時(shí)方程（1）的求解問(wèn)題，即研究了丟番圖方程

px4-（p-2）y2=2z4，（x，y）=1，p為奇素?cái)?shù)（2）的正整數(shù)解問(wèn)題，獲得了p=Q2+2（Q為奇數(shù)）時(shí)方程（2）的全部正整數(shù)解，從而拓展了Mordell等人的結(jié)果.例如p=3時(shí)方程（2）有正整數(shù)解（x，y，z）=（1，1，1），（33，1871，13），….p=11時(shí)方程（2）有正整數(shù)解（x，y，z）=（1，1，1），（241，59439，227），….

1 定理

其中c2，d1滿(mǎn)足且c1，d2滿(mǎn)足

（II）、（III）中c1,c2,d1,d2兩兩互素且均為正整數(shù).

2 證明

為證上述定理，先述如下引理：

引理1[11]設(shè)m無(wú)平方因數(shù)，則當(dāng)m=4k±1時(shí)，丟番圖方程

的所有正的本原解必可表為：

其中：a，b，m1，m2為正整數(shù)，且（a，b）=（m1，b）=（m2，a）=1，m1m2=m.

引理2[12]設(shè)0

其中：a，b，m1，m2為正整數(shù)，且（a，b）=（m1，b）=（m2，a）=1，m1m2=m.

證明因（x，y）=1，p=Q2+2由方程（2）知令，則方程（2）可化為

若l=0則1=（x，y）=（x，x2）=x，即方程（2）有解x= y=z=1.

若l>0由（3）及引理1得

或者

或者

（7）式、（8）式中的e，f滿(mǎn)足

（i）由（6）式、（7）式中的二式有2cd=ef與2?ef矛盾.

（ii）由（6）式、（8）式中的二式有：

令c1=（c，e），c2=（c，f），d1=（d，e），d2=（d，f）則由（9）式有：c=c1c2，d=d1d2，e=c1d1，f=c2d2，

c1，c2，d1，d2兩兩互素且均為正整數(shù)（10）把（6）中一式、（8）中二式代入（8）中三式：

此時(shí)方程（2）有解

或者

（13）式、（14）式中的e，f滿(mǎn)足

（ii）由（12）式、（14）式中的二式知（9）式、（10）式成立。把（14）中二式、三式代入（12）中一式得：

由上式得

此時(shí)方程（2）有解

例如：在定理（II）中取d1=c1=1則D=Q，且c1,d2滿(mǎn)足，即方程（2）有正整數(shù)解

Q為奇數(shù).把Q=1，3代入上式，根據(jù)定理（I）不難得到下面兩個(gè)例子.

例1p=3時(shí)方程（2）有正整數(shù)解（x，y，z）=（1，1，1），（33，1871，13），….

例2p=11時(shí)方程（2）有正整數(shù)解（x，y，z）=（1，1，1），（241，59439，227），….

[1]曹珍富.丟番圖方程引論[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,1989:303.

[2]佟瑞洲.關(guān)于丟番圖方程x8+py2=4z4與x4+16py8=z2[J].渤海大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,27（1）:37-39.

[3]佟瑞洲.關(guān)于丟番圖方程x4+4py4=z2[J].渤海大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,31（1）:48-51.

[4]王洪昌.關(guān)于丟番圖方程x4+py4=z2[J].遼寧科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2009（2）:113-117.

[5]侯萬(wàn)利.關(guān)于丟番圖方程x4+2py4=z2[J].遼東學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,16（1）:44-46.

[6]王洪昌.關(guān)于丟番圖方程x4+py4=z2[J].遼寧大學(xué)學(xué)報(bào),2009, 36（2）:170-172.

[7]佟瑞洲.關(guān)于丟番圖方程ax4+by4=cz2[J].寶雞文理學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,31（2）:1-3,10.

[8]熊麗華,佟瑞洲.丟番圖方程ax4+by4=cz2的解法[J].遼寧大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,38（4）:298-302.

[9]姜信君,佟瑞洲.關(guān)于丟番圖方程px4-（p-1）y2=z4[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,35（2）:168-173.

[10]陳塞月,佟瑞洲.丟番圖方程ax4+by4=cz2的一個(gè)結(jié)果[J].青海師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,29（1）:8-13.

[11]佟瑞洲.廣義費(fèi)馬方程與指數(shù)丟番圖方程[M].沈陽(yáng):遼寧科學(xué)技術(shù)出版社,2011:18.

[12]佟瑞洲.關(guān)于丟番圖方程x2+my2=z2[J].遼寧工學(xué)院學(xué)報(bào), 2005,25（5）:349-350.

責(zé)任編輯：畢和平

Study of Diophantine Equation4-（-2）2=24

WANG Yijin1，TONG Ruizhou2
（1.Jianping Senior Middle School，Jianping 122400，China；2.Chaoyang Teachers College，Chaoyang 122000，China）

When p=Q2+2,p is odd prime,we give all positive integer solutions to the Diophantine equation px4-（p-2）y2= 2z4by the elementary methods.Thereby we expanded the result of equation ax4+by4=cz2which was studied by Mordell etc.

diophantine equation；positive integer solution；prime to each other

O 156.7

A

1674-4942（2014）04-0386-03

2013-07-01