矩陣空間一類保持矩陣的秩1且保持體積不變的線性變換

陳榮群

（莆田學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，福建莆田351200

矩陣空間一類保持矩陣的秩1且保持體積不變的線性變換

陳榮群

矩陣體積是矩陣行列式絕對值的推廣，也是向量長度的推廣.在理解矩陣體積定義的基礎(chǔ)上，研究了矩陣空間一類保持矩陣的秩1且保持體積不變的線性變換所滿足的條件.

矩陣體積；保持秩1；線性變換；矩陣代數(shù)

矩陣體積的定義是在1992年由Adi Ben-Israel第一次提出，文[1]提出了每個(gè)矩陣都有相應(yīng)的體積，并且應(yīng)用矩陣體積來解決廣義逆中的一些問題；在文[2-3]中利用矩陣體積的概念來處理各類曲線、曲面積分的計(jì)算問題，并給出了其在推廣勾股定理、n維球面面積的計(jì)算以及概率中的應(yīng)用．

線性保持問題主要是刻畫保持一些不變量的線性算子的形式，在文[4-6]中，涉及到線性保持問題.現(xiàn)在來考慮保持矩陣體積不變的問題.那么對任意一個(gè)矩陣是否存在一個(gè)保持它的體積不變的線性變換？本文探討矩陣空間一類保持矩陣的秩1且保持體積不變的線性變換所具備的形式.

1 預(yù)備知識

首先介紹矩陣體積及其相關(guān)的一些概念與符號.

設(shè)A∈Rm×nr（表示秩為r的m×n矩陣），r>0，約定：

Qr，m={I={i1，…，ir}∶1≤i1

I∈Qr,m∶rankAI*=r表示A中最大的行線性無關(guān)集合的指標(biāo)集．表示A中最大的列線性無關(guān)集合的指標(biāo)集．表示A中最大的非退化子矩陣集合的指標(biāo)集記Eij為（i，j）位置為1，其他位置均為0的n階基本矩陣．Mn（F）是域上所有n階矩陣構(gòu)成的F一代數(shù).定義1設(shè)矩陣的體積volA定義為：若r=0，volA=0；若r>0，則，約定.即表示A的所有非零r階子式的平方和[1].定義2設(shè)（表示秩為r的復(fù)m×n矩陣集合），矩陣A的體積volA定義為：若r=0，則volA=0；若r>0，為了方便，約定.即表示A的所有非零r階子式及其共軛乘積的和.

引理1對特征為0的代數(shù)封閉域C上矩陣代數(shù)Mn（C），如果φ是保持秩1的線性映射，那么任意一個(gè)矩陣A∈Mn() C，都存在可逆矩陣P,Q∈Mn() C，使或（A′是A的轉(zhuǎn)置矩陣）[6].

假設(shè)n是正整數(shù)n1，n2，…，nt也是正整數(shù)，使得n1+n2+…+nt=n，則稱C={n1，n2，…，nt}是n的一個(gè)分解．

設(shè)F是一個(gè)域，對于n的每一個(gè)分解C，都對應(yīng)著F中一個(gè)具有如下形式的n階分塊三角矩陣，這樣的矩陣可構(gòu)成一個(gè)F一代數(shù)Ω（C）：

其中Aij是ni×nj矩陣塊．

設(shè)C={n1，n2，…，nt}是n的一個(gè)分解，令C={nt，nt-1，…，n1}.如果σ是下標(biāo)集合{1，2，…，t}的一個(gè)置換，令σ（C）={nσ（1），nσ（2），…，nσ（t）}．

引理3設(shè)C={n1，n2，…，nt}，分別為n，m的分解，φ：分塊三角矩陣Ω() C→Ω() C′是一個(gè)保持秩1的線性滿射，那么n=m并且下列兩種情況之一成立：

（2）C=σ（C+）且，其中，其中

（a）A，B是Ω（C）中的滿秩矩陣；

（b）J是次對角線位置上的元素全是1，其它位置上的元素全是0的n階矩陣；

（c）σ是下標(biāo)集合{1，2，…，t}滿足下列條件的一個(gè)置換：σ（1）=1，σ（t）＝t，nσ（i）=ni；

（d）Dσ是由n確定的一個(gè)由t×t個(gè)矩陣塊構(gòu)成的n階分塊矩陣，其第σ（i）行第i列的塊是一個(gè)nσ（i）階單位矩陣，i=1，2，…，t，其余的塊是零矩陣[6]．

2 主要結(jié)論及證明

定理1若φ是特征為0的代數(shù)封閉域C上矩陣代數(shù)Mn（C）的保持秩1的線性映射，則存在非奇異矩陣P,Q∈Mn() C，且P，Q滿足兩個(gè)條件：（1）P的每一列元素的平方和與Q的每一行元素的平方和的積都等于1；或P的每一行元素的平方和與Q的每一列元素的平方和的積都等于1；（2）P的任意不同的兩列（行）的內(nèi)積都等于0.使下面命題成立：

（1）對任意的矩陣A∈Mn() C，有φ（A）=PAQ且volA=vol（PAQ）或φ（A）=PA′Q且volA=vol() PA′Q.

（2）φ∶Mn（C）→Mn（C），A?PAQ或A?PA′Q是保持體積不變的線性變換．

證明（1）由引理1得：對矩陣代數(shù)Mn（C），如果φ是保持秩1的線性映射，那么任意一個(gè)矩陣A∈Mn() C,存在非奇異矩陣P,Q∈Mn() C,使φ（A）= PAQ或φ（A）=PA′Q.

下面對φ（A）=PAQ的情況進(jìn)行討論，對φ（A）= PA′Q的情況利用矩陣的性質(zhì)也可得到相應(yīng)的結(jié)論.

一方面，設(shè)

則易知P，Q不為零矩陣.由于rank（PAQ）=rank（A）= 1，令A(yù)=Eij，所以

另一方面，

故

上面只對矩陣的行式的情況進(jìn)行討論，利用矩陣列式的性質(zhì)也可得到相應(yīng)的結(jié)論.

將（1）用線性變換來刻畫，即得到（2）．

所以上述命題成立.證畢.

推論若φ是域C上n階上三角矩陣空間Tn（C）的保持秩1的線性變換，則上述結(jié)論對n階上三角矩陣空間Tn（C）也成立．

定理2設(shè)φ是分塊三角矩陣Ω() C→Ω() C′是一個(gè)保持秩1的線性滿射，對任意的分塊三角矩陣T∈Ω() C，volT=1，則存在非奇異矩陣A,B∈Ω() C且A，B滿足兩個(gè)條件：

（1）Aii的每一列元素的平方和與Bii的每一行元素的平方和的積都等于1；或Aii的每一行元素的平方和與Bii的每一列元素的平方和的積都等于1；

（2）Aii的任意不同的兩列（行）的內(nèi)積都等于0（1，2，…，t）；當(dāng)n=m時(shí)，下面命題成立.

證明（1）由引理3得：若φ是矩陣代數(shù)Ω（C）的保持秩1的線性映射，則對任意的分塊三角矩陣T∈Ω() C，存在非奇異矩陣A,B∈Ω() C，使φ（T）=或

一方面，設(shè)

則易知A，B不為零矩陣．

其中Dii是ni×ni單位矩陣塊，即其

中Tii是ni×ni矩陣塊.

由于

由定理1得，Aii與Bii必須滿足兩個(gè)條件（1）Aii的每一列元素的平方和與Bii的每一行元素的平方和的積都等于1；（2）Aii的任意不同的兩列的內(nèi)積都等于0；

上面只對矩陣的行式的情況進(jìn)行討論，利用矩陣列式的性質(zhì)也可得到相應(yīng)的結(jié)論.

將（1）用線性變換來刻畫，即得到（2）．

所以上述命題成立.證畢.

[1]Ben-Israel A.A volume associated withmatrices[J].Lin?ear Algebra and its Applications,1992（167）:87-111.

[2]Ben-Israel A. The change of variables formula using matrixvolume[ J ]. SIAM. J. Matrix Analysis,1999（21）:300-312.

[3]Ben-Israel A. An application of the matrix volume in proba?bility[ J ]. Linear Algebra and its Applications,2001（321）:9-25.

[4]Ben- Israel B. Generalized inverses:theory and applications[M]. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag,2002.

[5]Botta P. Linear maps preserving rank less than or equal toone[ J ]. Linear and Muhilinear Algebra,1987,20:197-201．

[6]黃沖,曹佑安. 一類分塊三角矩陣代數(shù)的保持秩1 的線性滿射[ J ]. 湘潭大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2003,25(3):6-11.

[7]李明,方宜. 矩陣的體積及其應(yīng)用[ J ]. 西北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,41(6):86-90.

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7] Ben-Israel A.The change of variables formula using matrix volume[J].SIAM.J.Matrix Analysis,1999（21）:300-312. Ben-Israel A.An application of the matrix volume in proba?bility[J].Linear Algebra and its Applications,2001（321）:9-25. Ben-Israel B.Generalized inverses:theory and applications [M].Berlin-Heidelberg-New York:Springer-Verlag,2002. Botta P.Linear maps preserving rank less than or equal to one[J].Linear and Muhilinear Algebra,1987,20:197-201．黃沖,曹佑安.一類分塊三角矩陣代數(shù)的保持秩1的線性滿射[J].湘潭大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2003,25(3):6-11.李明,方宜.矩陣的體積及其應(yīng)用[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,41(6):86-90.

責(zé)任編輯：畢和平

The Linear Transformation of Preserving Matrix Rank One and Constant Volume on Matrix Space

CHEN Ronqun
（College of Basic Education，Putian University，Putian 351200，China）

The volume of matrix is a generalization of the determinant,also a generalization of the vector length.Based on the understanding of the definition of the matrix volume,the linear transformation with the conditions of preserving matrix rank 1 and constant volume is studied on matrix space.

volume of matrix；preserving matrix rank 1；linear transformation；matrix of algebra

O 151.21

A

1674-4942（2014）04-0373-04

2014-06-19