新舊高中數(shù)學(xué)教材立體幾何部分概念和定理呈現(xiàn)方式的比較分析

潘永會(huì)++++付微++++唐鳴靜

摘 要： 新舊教材在課程內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上有很多不同之處，“大綱”教材更注重概念和定理的簡潔、清晰，以及教學(xué)的實(shí)用性和演繹論證的嚴(yán)謹(jǐn)性；“課標(biāo)”教材更注重概念和定理的簡潔、清晰與連貫，以及論證的可接受性，更加注重學(xué)生的合情推理能力的培養(yǎng)。一線教師應(yīng)該全面而充分地認(rèn)識(shí)立體幾何的教育價(jià)值，注意學(xué)生演繹推理和合情推理能力的平衡發(fā)展。

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué)教材 立體幾何 概念 定理

與《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（以下簡稱“大綱”）相比，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡稱“課標(biāo)”）在課程理念和課程內(nèi)容方面都有很大變化。因此，和大綱教材相比，根據(jù)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)編寫的教材也有了很大的改變。下面以人教版大綱教材（2006年6月第二版）和人教A版課標(biāo)教材（2007年2月第三版）為標(biāo)準(zhǔn)，比較了兩版教材在立體幾何中的概念和定理的呈現(xiàn)方式上異同。

一、個(gè)別概念的不同

和大綱教材相比，課標(biāo)教材中很多概念的呈現(xiàn)方式都有所改變。表1具體列舉了“課標(biāo)”教材與“大綱”教材相比一些概念的具體變化。

表1 課標(biāo)教材某些概念的變化（和大綱教材相比）

注：表中的“√”表示該概念變化的具體表現(xiàn)。

從上表可以看出，和大綱教材相比，課標(biāo)教材的必修部分立體幾何的概念陳述共有十一個(gè)發(fā)生了變化。

首先，有的概念敘述發(fā)生了變化。如棱柱的概念，“大綱”教材的敘述是“如果一個(gè)多面體有兩個(gè)面互相平行，而其余每相鄰兩個(gè)面的交線互相平行，這樣的多面體叫做棱柱”。

“課標(biāo)”教材的敘述是“一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行，由這些面圍成的多面體叫做棱柱”。觀察發(fā)現(xiàn)“大綱”教材對(duì)棱柱概念表述雖然精簡，符合數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，但對(duì)于初學(xué)者來講，課標(biāo)教材的敘述明顯更加清晰，因?yàn)樗鼜?qiáng)調(diào)“其余各面都是四邊形”，使得學(xué)生更加直觀地在腦海中勾勒出棱柱的圖形。高度的抽象性是數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)之一，概念是對(duì)事物的描述，概念的教學(xué)要注意抽象與具體相結(jié)合的原則，形象生動(dòng)的描述值得提倡。

其次，有些概念的表達(dá)方式有所變化，例如球體，“大綱”教材對(duì)球體的描述與球的表達(dá)方式類似，而“課標(biāo)”教材則是利用新增加的旋轉(zhuǎn)軸與旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)上定義的。這種發(fā)生定義方式，比起揭示概念本質(zhì)屬性的定義方式，更能體現(xiàn)新課改“體現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程”的理念。

再者，有的概念被去除了，如斜棱柱等。這些概念被去掉是因?yàn)橛行┒x在教材中并沒有對(duì)其進(jìn)行研究，只是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)該事物而已。還有些定義被去掉是因?yàn)槠浔涣械搅诉x修課程里面，例如正射影等。

最后，有些概念是新增的。這些定義要么是為后面的某些知識(shí)點(diǎn)奠定基礎(chǔ)，如旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)軸；要么是使數(shù)學(xué)更緊密地與學(xué)生的生活相結(jié)合，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)打下知識(shí)基礎(chǔ)，如三視圖等；要么是其成為重點(diǎn)研究對(duì)象如棱臺(tái)與圓臺(tái)。像“多面體”等概念，在敘述概念前，都加上了三個(gè)字“一般地”，重在強(qiáng)調(diào)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性。

二、個(gè)別公理陳述的不同

立體幾何中，公理的增減方面是沒有變動(dòng)的，只是有些公理呈現(xiàn)的先后次序略有改變。我們以“課標(biāo)”教材里面的公理名稱為準(zhǔn)，以此比較“大綱”教材中相應(yīng)公理呈現(xiàn)的不同，如表2：

表2 “課標(biāo)”教材的公理與“大綱”教材相應(yīng)公理呈現(xiàn)的比較

從兩版教材公理1與公理2的陳述中，發(fā)現(xiàn)定理的大體內(nèi)容實(shí)際上并沒有變化，只是公理的呈現(xiàn)形式更簡明。“一條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)”等價(jià)于“這條直線在此平面內(nèi)”，只是前者更加強(qiáng)調(diào)線上的所有點(diǎn)，而后者更加強(qiáng)調(diào)所有點(diǎn)構(gòu)成的直線，重點(diǎn)突出的要素不同，顯然后者更加簡潔。

此外，“課標(biāo)”教材將“大綱”教材中講述公理部分中的三個(gè)推論（page：6-7）去除了。在“課標(biāo)”教材的教學(xué)過程中，雖然這三個(gè)推論不在課本中出現(xiàn)，但是有經(jīng)驗(yàn)的教師為了拓寬學(xué)生的知識(shí)視野，給后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，讓學(xué)生能夠更深刻地理解公理“不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”，會(huì)羅列并講述三個(gè)推論的內(nèi)容，例如對(duì)推論1即“經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面”的講述，就是對(duì)上述公理的拓展和具體化，推論2與推論3同樣如此，鑒于這三個(gè)推論在立體幾何中的重要性，筆者認(rèn)為，為了方便老師教學(xué)及學(xué)生自學(xué)，將這三個(gè)推論呈現(xiàn)在教材中是有必要的。

三、個(gè)別重要定理的不同

對(duì)于立體幾何里面重要定理的呈現(xiàn)比較與分析，筆者發(fā)現(xiàn)其中有新增的定理，例如定理（page：69）：“一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直”。這個(gè)定理的內(nèi)容對(duì)于新學(xué)者是很容易理解的，同時(shí)增加這個(gè)定理為判定兩個(gè)平面垂直提供有效的“工具”，從而增加這個(gè)定理是可行且必要的。

和“大綱”教材相比，“課標(biāo)”教材在立體幾何定理方面，同樣將“大綱”教材中的推論（page：20）“如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行”刪去了。對(duì)于這一改動(dòng)，筆者有異議，因?yàn)檫\(yùn)用這個(gè)推論的內(nèi)容判定兩個(gè)平面平行，很多情況下比其相應(yīng)的判定定理判定兩個(gè)平面平行更加簡單、方面，而且思路更加清晰。同時(shí)，由于課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，判定定理都應(yīng)該通過直觀感知、操作確認(rèn)等方式得來，這個(gè)判定定理也是根據(jù)該推論的結(jié)論得來的，顯然根據(jù)這個(gè)推論的重要性，刪除該推論沒有絲毫意義，不僅不利于教師教學(xué)和學(xué)生自學(xué)，而且不利于學(xué)生靈活地掌握知識(shí)，筆者不認(rèn)同這個(gè)推論應(yīng)該刪去。

有些定理改變條件敘述使得定理的結(jié)論更加完整，例如：

“大綱”（page：13）：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。

“課標(biāo)”（page：46）：空間中，如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

在“大綱”教材中講解這個(gè)定理時(shí)，幾乎每個(gè)教師都會(huì)講解兩個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)平行的兩種情況，所以新教材用簡潔的語言陳述了定理的兩種情況有事半功倍的效果。endprint

當(dāng)然，數(shù)學(xué)是簡潔的，如果在定理中有些文字在去掉之后并不影響定理的表達(dá)，那么就應(yīng)該毫不猶豫地去掉，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔美。這樣可以使學(xué)生更容易理解，例如：

“大綱”（page：19）：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

“課標(biāo)”（page：57）：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

這里，“分別”兩個(gè)字去得恰當(dāng)而又得體，既不影響內(nèi)容的理解，又為學(xué)生學(xué)習(xí)減輕了負(fù)擔(dān)。

此外，有些定理在原來的基礎(chǔ)上呈現(xiàn)得更清晰，使學(xué)生更易理解，例如：

“大綱”（page：18）：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。

“課標(biāo)”（page：59）：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該平面平行。

對(duì)于新接觸這一知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生而言，顯然是很難理解的，因?yàn)閷W(xué)生很難理解結(jié)論中的“這條直線”究竟是哪一條直線，是“經(jīng)過這條直線”的直線，還是兩平面相交而形成的直線呢？經(jīng)比較我們發(fā)現(xiàn)，“課標(biāo)”教材的敘述要清楚得多。

四、給一線教師的建議與意見

新一輪課程改革在課程基本理念方面發(fā)生了很大的變化。一線教師首先要進(jìn)一步深入理解新課程改革的理念，并且自覺地將這些理念落實(shí)到教學(xué)實(shí)際中。在立體幾何教學(xué)中，要全面而充分地認(rèn)識(shí)立體幾何的教育價(jià)值，注意把握過程教學(xué)，注意學(xué)生演繹推理和合情推理能力的平衡發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]十三院校協(xié)編組.中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法[M].高等教育出版社，2010.

[3]人民教育出版社.全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）[M]數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下B），2006年第二版.

[4]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書教科書數(shù)學(xué)2（必修）[M]數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下B），2007年2月第三版.

[5]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.數(shù)學(xué)（A版）（必修1～必修5）培訓(xùn)資料（修訂版）[M].人民教育出版社，2009.

課題項(xiàng)目：2012年貴州省基礎(chǔ)教育科學(xué)研究、教育教學(xué)實(shí)驗(yàn)課題——對(duì)新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)不同版本教材的比較分析研究（2012B280）；2010年遵義師范學(xué)院基礎(chǔ)教育研究項(xiàng)目——《高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)下不同版本教材的比較分析研究》（10ZYJ029）；2010年遵義師范學(xué)院基礎(chǔ)教育研究項(xiàng)目——《新課程背景下初等幾何的教育價(jià)值研究》（10ZYJ028）。endprint

當(dāng)然，數(shù)學(xué)是簡潔的，如果在定理中有些文字在去掉之后并不影響定理的表達(dá)，那么就應(yīng)該毫不猶豫地去掉，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔美。這樣可以使學(xué)生更容易理解，例如：

“大綱”（page：19）：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

“課標(biāo)”（page：57）：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

這里，“分別”兩個(gè)字去得恰當(dāng)而又得體，既不影響內(nèi)容的理解，又為學(xué)生學(xué)習(xí)減輕了負(fù)擔(dān)。

此外，有些定理在原來的基礎(chǔ)上呈現(xiàn)得更清晰，使學(xué)生更易理解，例如：

“大綱”（page：18）：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。

“課標(biāo)”（page：59）：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該平面平行。

對(duì)于新接觸這一知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生而言，顯然是很難理解的，因?yàn)閷W(xué)生很難理解結(jié)論中的“這條直線”究竟是哪一條直線，是“經(jīng)過這條直線”的直線，還是兩平面相交而形成的直線呢？經(jīng)比較我們發(fā)現(xiàn)，“課標(biāo)”教材的敘述要清楚得多。

四、給一線教師的建議與意見

新一輪課程改革在課程基本理念方面發(fā)生了很大的變化。一線教師首先要進(jìn)一步深入理解新課程改革的理念，并且自覺地將這些理念落實(shí)到教學(xué)實(shí)際中。在立體幾何教學(xué)中，要全面而充分地認(rèn)識(shí)立體幾何的教育價(jià)值，注意把握過程教學(xué)，注意學(xué)生演繹推理和合情推理能力的平衡發(fā)展。

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[3]人民教育出版社.全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）[M]數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下B），2006年第二版.

[4]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書教科書數(shù)學(xué)2（必修）[M]數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下B），2007年2月第三版.

[5]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.數(shù)學(xué)（A版）（必修1～必修5）培訓(xùn)資料（修訂版）[M].人民教育出版社，2009.

課題項(xiàng)目：2012年貴州省基礎(chǔ)教育科學(xué)研究、教育教學(xué)實(shí)驗(yàn)課題——對(duì)新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)不同版本教材的比較分析研究（2012B280）；2010年遵義師范學(xué)院基礎(chǔ)教育研究項(xiàng)目——《高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)下不同版本教材的比較分析研究》（10ZYJ029）；2010年遵義師范學(xué)院基礎(chǔ)教育研究項(xiàng)目——《新課程背景下初等幾何的教育價(jià)值研究》（10ZYJ028）。endprint

當(dāng)然，數(shù)學(xué)是簡潔的，如果在定理中有些文字在去掉之后并不影響定理的表達(dá)，那么就應(yīng)該毫不猶豫地去掉，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔美。這樣可以使學(xué)生更容易理解，例如：

“大綱”（page：19）：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

“課標(biāo)”（page：57）：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

這里，“分別”兩個(gè)字去得恰當(dāng)而又得體，既不影響內(nèi)容的理解，又為學(xué)生學(xué)習(xí)減輕了負(fù)擔(dān)。

此外，有些定理在原來的基礎(chǔ)上呈現(xiàn)得更清晰，使學(xué)生更易理解，例如：

“大綱”（page：18）：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。

“課標(biāo)”（page：59）：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該平面平行。

對(duì)于新接觸這一知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生而言，顯然是很難理解的，因?yàn)閷W(xué)生很難理解結(jié)論中的“這條直線”究竟是哪一條直線，是“經(jīng)過這條直線”的直線，還是兩平面相交而形成的直線呢？經(jīng)比較我們發(fā)現(xiàn)，“課標(biāo)”教材的敘述要清楚得多。

四、給一線教師的建議與意見

新一輪課程改革在課程基本理念方面發(fā)生了很大的變化。一線教師首先要進(jìn)一步深入理解新課程改革的理念，并且自覺地將這些理念落實(shí)到教學(xué)實(shí)際中。在立體幾何教學(xué)中，要全面而充分地認(rèn)識(shí)立體幾何的教育價(jià)值，注意把握過程教學(xué)，注意學(xué)生演繹推理和合情推理能力的平衡發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

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[3]人民教育出版社.全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）[M]數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下B），2006年第二版.

[4]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書教科書數(shù)學(xué)2（必修）[M]數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下B），2007年2月第三版.

[5]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.數(shù)學(xué)（A版）（必修1～必修5）培訓(xùn)資料（修訂版）[M].人民教育出版社，2009.

課題項(xiàng)目：2012年貴州省基礎(chǔ)教育科學(xué)研究、教育教學(xué)實(shí)驗(yàn)課題——對(duì)新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)不同版本教材的比較分析研究（2012B280）；2010年遵義師范學(xué)院基礎(chǔ)教育研究項(xiàng)目——《高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)下不同版本教材的比較分析研究》（10ZYJ029）；2010年遵義師范學(xué)院基礎(chǔ)教育研究項(xiàng)目——《新課程背景下初等幾何的教育價(jià)值研究》（10ZYJ028）。endprint