結(jié)構(gòu)動(dòng)力彈塑性與倒塌分析(I)*——滯回曲線改進(jìn)、ABAQUS子程序開發(fā)與驗(yàn)證

柳國(guó)環(huán)，練繼建，國(guó) 巍

(1.天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津300072;2.天津大學(xué)水利工程仿真與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300072;3.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410075)

0 前言

當(dāng)今，隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和社會(huì)的不斷進(jìn)步，大跨和超高層等超限結(jié)構(gòu)日益增多。根據(jù)當(dāng)前的規(guī)范要求，超限結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析需要作為一項(xiàng)專門的工作來進(jìn)行，如結(jié)構(gòu)在大震作用下的動(dòng)力彈塑性表現(xiàn)行為(葉獻(xiàn)國(guó)等，2003;宣鋼等，2003;杜修力等，2007)，然后對(duì)計(jì)算結(jié)果是否符合相關(guān)規(guī)范和(或)規(guī)程的相關(guān)具體要求進(jìn)一步審查。一般情況下，對(duì)于這種特殊結(jié)構(gòu)的計(jì)算通常需要用到非線性計(jì)算能力相對(duì)較高級(jí)的大型分析軟件，例如:ABAQUS、MSC.MARC和LSDyna。柳國(guó)環(huán)等(2014a)針對(duì)ABAQUS大型程序，做了滯回規(guī)則改進(jìn)、相關(guān)程序開發(fā)以及試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，并通過帶有大跨—輸電實(shí)際工程計(jì)算進(jìn)一步檢驗(yàn)了相關(guān)程序的可行性、計(jì)算精度與現(xiàn)實(shí)可靠性。

就ABAQUS大型軟件而言，核心程序涉及到隱式和顯式兩種算法，隱式算法需要迭代計(jì)算以滿足相應(yīng)的容差，而顯式算法無需迭代，但一般需要將步長(zhǎng)設(shè)置為比較小(與結(jié)構(gòu)體系中單元尺寸有關(guān))以得到可靠可信的計(jì)算結(jié)果。在ABAQUS中，可以編制子程序并與主程序?qū)觼韺?shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的鋼筋混凝土動(dòng)力彈塑性分析，相應(yīng)隱式和顯式算法的接口子程序頭文件分別為UMAT和VUMAT，采用UMAT和VUMAT中的已有變量參數(shù)直接與程序中需要額外定義變量共同實(shí)現(xiàn)相應(yīng)本構(gòu)子程序的代碼。為此，本文首先根據(jù)已有資料詳細(xì)回顧了鋼材和混凝土材料的單軸本構(gòu)模型，并改進(jìn)了混凝土卸載后再加載曲線的規(guī)則，旨在使滯回曲線避免理論上存在加載曲線與卸載曲線在拐點(diǎn)前相交的可能性，并使得再加載曲線形狀更接近于試驗(yàn)曲線形狀(先凹后凸的曲線狀)。然后，給出了ABAQUS中UMAT與VUMAT之間的區(qū)別與聯(lián)系，并按照UMAT與VUMAT的規(guī)則開發(fā)了直接能夠與ABAQUS主程序保持?jǐn)?shù)據(jù)相互調(diào)用的顯式和隱式算法子程序ABA-Subroutine。最后，將編制的子程序分別用于鋼筋束、素混凝土、鋼筋混凝土、型鋼混凝土以及鋼管混凝土構(gòu)件的彈塑性分析中，并將計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果相對(duì)比，進(jìn)一步考察和驗(yàn)證程序的可行性和準(zhǔn)確性。本文關(guān)于ABAQUS子程序開發(fā)工作具有一定基礎(chǔ)性，與柳國(guó)環(huán)等(2014b)的研究成果共同作為系列性工作，可為后續(xù)工作中計(jì)算結(jié)果的可靠性提供可行可信的前提條件。

1 材料本構(gòu)關(guān)系

1.1 常用鋼材滯回規(guī)則的3種情形

本節(jié)重點(diǎn)詳述常用鋼筋滯回曲線3種情形的加載卸載規(guī)則。骨架曲線與滯回曲線如圖1所示(GB 50010－2010)。對(duì)于如圖1b所示的滯回曲線的滯回規(guī)則如式(1)所示，相關(guān)參數(shù)意義如圖1b中標(biāo)注。

圖1 鋼材本構(gòu)的骨架(a)和滯回(b)曲線示意圖Fig.1 Envelop(a)and hysteristic(b)curves of steel constitutive

加卸載規(guī)則分3種情形說明:

(1)對(duì)于所有卸載:均按照彈性模量斜率計(jì)算。

(2)對(duì)于穿越平衡位置后的反向加載:εa和σa表示卸載后再加載路徑起點(diǎn)的應(yīng)變和應(yīng)力，一般取為滯回曲線與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)，這時(shí)σa=0。

εb和σb表示卸載后再加載路徑終點(diǎn)的應(yīng)變和應(yīng)力(初始值取為初始屈服點(diǎn)對(duì)應(yīng)量值)，如果再加載方向的鋼筋在加載歷史進(jìn)程中尚未發(fā)生過屈服，則εb和σb取鋼筋初始屈服點(diǎn)的應(yīng)變?chǔ)舃和應(yīng)力fy，如果再加載方向的鋼筋曾經(jīng)有過屈服，則取該加載方向鋼筋歷史進(jìn)程中的最大應(yīng)變和應(yīng)力。

(3)對(duì)于在平衡位置一側(cè)的卸載后再加載:

式中，σ和ε表示滯回曲線函數(shù)的因變量(應(yīng)力)和自變量(應(yīng)變)。k表示等效硬化斜率，一般取為峰值強(qiáng)度和屈服強(qiáng)度兩點(diǎn)所確定直線的斜率tanβ(圖1a)。上述處理方法旨在通過確定式(1)～(3)中的參數(shù)來最終確定此函數(shù)的表達(dá)式，以描述接近于實(shí)際鋼材的反復(fù)加載下的物理行為。

1.2 反復(fù)受壓卸載規(guī)則回顧與再加載規(guī)則改進(jìn)

混凝土材料骨架曲線在低周反復(fù)荷載作用下的表現(xiàn)比較穩(wěn)定，且與在單調(diào)荷載作用下的表現(xiàn)有很好的一致性。但是，由于混凝土材料自身的特性與組成相對(duì)復(fù)雜等原因，在低周反復(fù)荷載作用下的滯回曲線的表現(xiàn)與鋼材相比更難以被準(zhǔn)確量化。例如，由于加載過程中混凝土中局部發(fā)生裂紋等損傷現(xiàn)象，而且損傷會(huì)逐漸積累，會(huì)直接導(dǎo)致混凝土隨后表現(xiàn)出來的剛度逐漸減小，即剛度退化。目前描述混凝土滯回曲線的規(guī)則頗為多見，限于一次加載卸載過程試驗(yàn)不能夠考慮到多次反復(fù)荷載作用下混凝土的表現(xiàn)行為，然而這種反復(fù)加載卸載作用下表現(xiàn)行為更符合隨機(jī)荷載作用下(例如:地震)實(shí)際情況。圖2b為混凝土反復(fù)荷載作用下滯回曲線示意圖，圖中σ與ε分別表示應(yīng)力和應(yīng)變，下標(biāo)un，s和un，e表示卸載始點(diǎn)和終點(diǎn)，下標(biāo)l，m表示加載路徑中的拐點(diǎn)，i和j表示第i次由骨架曲線卸載后第j次加載或卸載次數(shù)。

圖2 混凝土單軸本構(gòu)骨架(a)和滯回(b)曲線示意圖Fig.2 Envelop(a)and hysteristic(b)curves of concrete umiaxial constitutive

(1)往復(fù)受壓混凝土的卸載規(guī)則

為能夠體現(xiàn)殘余應(yīng)變隨加卸載次數(shù)增加而逐漸累計(jì)增大以及卸載剛度的逐漸退化(GB 50010－2010;聶建國(guó)，陶慕軒，2011)，按照如下計(jì)算:

式中，εc0為混凝土的峰值壓應(yīng)變，根據(jù)(GB 50010－2010)取值。

本文未依據(jù)混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范(GB 50010－2010)(GB 50010－2010)中所述直線卸載規(guī)則，而按照式(6)確定的更新割線剛度Eir后直接計(jì)算當(dāng)前的應(yīng)力。根據(jù)聶建國(guó)和陶慕軒(2011)通過卸載初始點(diǎn)應(yīng)力、初始點(diǎn)應(yīng)變、殘余應(yīng)變以及當(dāng)前步的應(yīng)變?chǔ)殴餐瑏砻枋鲂遁d曲線，如式(7)所示。

(2)往復(fù)受壓再加載規(guī)則改進(jìn)

與卸載路徑不同，考慮到卸載后再加載路徑曲線存在拐點(diǎn)(再加載過程中曲線先表現(xiàn)為凹形曲線而后形狀發(fā)生變化的點(diǎn))。本文同樣分段考慮加載規(guī)則，但為了更好描述再加載曲線路徑，這里定義為:第一段曲線凹(非二次曲線)，第二段曲線凸(非直線)，并給出拐點(diǎn)位置的應(yīng)變和應(yīng)力的規(guī)則如下:

式(12)中，κ=0.9i定義為卸載后再加載段拐點(diǎn)之后剛度退化參數(shù)，與由骨架曲線上卸載的次數(shù)i有關(guān)，該值隨i增大而減小。

需強(qiáng)調(diào)的是，編制程序時(shí)需要調(diào)用ABAQUS主程序中參數(shù)，需注意與上述表達(dá)式中物理參數(shù)符號(hào)統(tǒng)一。

2 子程序開發(fā)與實(shí)現(xiàn)

ABAQUS主程序具有用于二次開發(fā)材料接口的子程序，對(duì)應(yīng)于隱式與顯式算法的頭文件為UMAT和VUMAT。用戶可利用相應(yīng)接口編制子程序，并按照本構(gòu)關(guān)系滯回規(guī)則定義變量，通過調(diào)用主程序材料參數(shù)并與主程序狀態(tài)變量實(shí)現(xiàn)無縫對(duì)接。關(guān)于子程序與ABAQUS主程序鏈接的基本框架如圖3所示。

如圖3a所示，對(duì)于采用UMAT的隱式算法需要更新應(yīng)力、應(yīng)變和相關(guān)的狀態(tài)變量，還要更新本構(gòu)的雅克比矩陣(應(yīng)力增量對(duì)應(yīng)變?cè)隽康膶?dǎo)數(shù)(dΔσ/dΔε)，然后通過當(dāng)前更新的雅克比矩陣、應(yīng)變矩陣以及幾何屬性可得到單元?jiǎng)偠染仃嚨脑隽?，可得到?dāng)前步局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?，進(jìn)而結(jié)合單元的局部與整體坐標(biāo)系的關(guān)系形成結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣，隱式運(yùn)算需要迭代以滿足相應(yīng)的容差。

如圖3b所示，對(duì)于采用VUMAT的顯式算法子程序內(nèi)部直接更新的物理量是應(yīng)力和相關(guān)狀態(tài)變量，因此不需要本構(gòu)的雅克比矩陣。顯式算法不需要迭代，但需要事先通過ABAQUS設(shè)置的計(jì)算步長(zhǎng)應(yīng)足夠小以得到可靠可信的計(jì)算結(jié)果。這里需要強(qiáng)調(diào)，適為降低顯式算法的VUMAT子程序可能的數(shù)值誤差，相應(yīng)變量宜被定義為雙精度，同時(shí)使用real*8和include vaba_param.inc定義，若只采用include vaba_param.inc語句不能確保變量被承認(rèn)為雙精度，而與real*8共同使用具有雙保險(xiǎn)意義。此外Job中顯式精度(ABAQUS/Explicit Precision)選為 double。對(duì)于 UMAT或 VUMAT，考慮應(yīng)變率因素對(duì)本構(gòu)動(dòng)態(tài)強(qiáng)度提高影響，均需要通過應(yīng)變?cè)隽緿STRAN與DTIME計(jì)算應(yīng)變率絕對(duì)值DSTRAN/DTIME，然后根據(jù)本構(gòu)動(dòng)態(tài)提高系數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。

圖3 ABAQUS主程序與子程序UMAT(a)與VUMAT(b)鏈接基本流程圖Fig.3 The basic flowchart of main program ABAQUS link to subroutine program UMAT(a)and VUAMT(b)

3 試驗(yàn)驗(yàn)證——鋼筋和素混凝土

為檢驗(yàn)上述開發(fā)程序的可靠性，首先需要分別對(duì)鋼筋與混凝土代碼的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。

驗(yàn)證鋼筋計(jì)算結(jié)果:如圖4a所示的鋼筋位移加載制度根據(jù)應(yīng)變—位移加載曲線以及試驗(yàn)樣本標(biāo)距給出(李敏，2012;李敏，李宏男，2010)，用于ABAQUS位移方式加載。分析時(shí)，ABAQUS中的隱式算法為采用靜力分析，顯式算法采用加大阻尼的動(dòng)力計(jì)算方法(顯式算法只有動(dòng)力分析，下同)以得到靜力計(jì)算的效果，與李敏(2012)給出的進(jìn)入屈服階段后三周的滯回環(huán)結(jié)果相對(duì)應(yīng)，相應(yīng)給出了后3周的數(shù)值結(jié)果，兩種算法的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比曲線如圖4b所示。本文中鋼筋與其他算例相比尺寸較小，故顯式算法最大步長(zhǎng)較取為1.0E－7。

圖4 鋼筋束加載制度與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比(a)對(duì)應(yīng)于試驗(yàn)應(yīng)變加載的等幅值位移加載曲線;(b)數(shù)值計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.4 Loading system of steel bar HRB400 and test results comparison(a)amplitude displacement loading curve corresponding to the test strain loading;(b)comparison betweeen numerical calculation and test results

驗(yàn)證素混凝土代碼計(jì)算結(jié)果:以編號(hào)BII－6試件為例，為100 mm×100 mm×300 mm棱柱體(過鎮(zhèn)海，張秀琴，1981)。試驗(yàn)應(yīng)變?cè)隽靠刂茷?.0E－3(每次位移加載的增量為3.0E－1 mm)，每次卸載至應(yīng)力為零結(jié)束后再反向加載，在第9次(應(yīng)變?yōu)?.0E－3)開始卸載至應(yīng)力為零時(shí)結(jié)束。加卸載曲線依據(jù)1.2節(jié)所述規(guī)則。為考察混凝土加卸載規(guī)則以及代碼的計(jì)算精度，應(yīng)力—應(yīng)變曲線(骨架曲線)按照過鎮(zhèn)海和張秀琴(1981)取為

式中，峰值應(yīng)力σ1取值為30.664 MPa，峰值應(yīng)變?chǔ)?取值為1.486E－3;a和α為參數(shù)，據(jù)過鎮(zhèn)海和張秀琴(1981)表2取值分別為1.2和1.64，b=3－2a，c=a－2。

兩種算法的結(jié)果如圖5b所示，兩者結(jié)果相近，與圖5a所示的試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比具有較好的一致性。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證——鋼管/型鋼/鋼混構(gòu)件

圖6a～c依次給出了圓鋼管混凝土、型鋼混凝土以及鋼筋混凝土構(gòu)件的示意圖，并給出了相應(yīng)的邊界條件、幾何參數(shù)與材料參數(shù)(李敏，2012;李敏，李宏男，2010;過鎮(zhèn)海，張秀琴，1981;劉文淵等，2012，周緒紅等(2009)，加載制度如圖6d～f所示。

首先采用SAP2000軟件分別建立上述3種構(gòu)件的有限元模型，然后采用柳國(guó)環(huán)等(2014a)中SAP2ABAQUS接口程序分別ABAQUS的inp文件，文件格式包括相應(yīng)隱式和顯式格式。進(jìn)而應(yīng)用ABAQUS讀入inp文件調(diào)整模型，轉(zhuǎn)換前后的有限元模型與相應(yīng)說明如圖7所示。分別采用隱式和顯式算法分析圖中算例，并將模擬結(jié)果分別與文獻(xiàn)中試驗(yàn)結(jié)果相比較，比較結(jié)果見圖8。應(yīng)該說明，圖7～8和9中模型試驗(yàn)數(shù)據(jù)由提取數(shù)據(jù)的Getdata軟件獲取得到，顯式和隱式方法計(jì)算最大步長(zhǎng)設(shè)置為1.0E－6和0.02。

圖6 模型示意圖與加載歷程(a)圓鋼管;(b)型鋼;(c)鋼筋;(d)圓鋼管混凝土構(gòu)件加載曲線;(e)型鋼混凝土構(gòu)件加載曲線圖;(f)鋼筋混凝土構(gòu)件加載曲線Fig.6 Model diagrammatic sketch and its corresponding loading history(a)circular steel tube;(b)section reinforced;(c)reinforced;(d)loading curve of concrete filled steel tube column;(e)loading curve of SRC column;(f)loading cauve of RC beam

圖7 SAP模型(a)與采用SAP2ABAQUS轉(zhuǎn)化后的ABAQUS模型(b)Fig.7 Comparison between SAP model(a)and ABAQUS model obtained by using SAP2ABAQUS(b)對(duì)比

從圖8a、9a和10a中可以看出:采用顯式與隱式方法的計(jì)算結(jié)果比較一致，說明在合理選擇步長(zhǎng)情況下，不同算法對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響較小。從圖8b、9b和10b中，可以看出:數(shù)值計(jì)算與試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)結(jié)果接近程度令人滿意。需要說明的是，考慮到李敏和李宏男(2010)研究中型鋼混凝土給出了位移加載曲線周期數(shù)(6周)和重復(fù)循環(huán)次數(shù)(每2周采用同一等幅加載)，因此在提取其試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)也只提取至位移加載的第6周(所顯示的第3個(gè)滯回環(huán))加載結(jié)束。

圖8 圓鋼管混凝土構(gòu)件計(jì)算結(jié)果(a)顯式與隱式結(jié)果對(duì)比;(b)顯式、隱式與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.8 Calculation results for concrete filled circular steel-tube column(a)comparison between explicit and implicit results;(b)comparison among explicit，inplicit and test results

圖9 型鋼混凝土構(gòu)件計(jì)算結(jié)果(a)顯式與隱式結(jié)果對(duì)比;(b)顯式、隱式與試驗(yàn)結(jié)果三者對(duì)比Fig.9 Calculation results for SRC column(a)comparison between explicit and implicit results;(b)comparison among explicit，inplicit and test results

圖10 鋼筋混凝土構(gòu)件分析結(jié)果對(duì)比(a)顯式與隱式結(jié)果對(duì)比;(b)顯式、隱式與試驗(yàn)結(jié)果三者對(duì)比Fig.10 Comparison of analysis results for RC beam(a)comparison between explicit and implicit results;(b)comparison among explicit，inplicit and test results

5 結(jié)語

本文作為系列研究的第I部分工作，主要涉及本構(gòu)與子程序開發(fā)等方面內(nèi)容，簡(jiǎn)要總結(jié)如下:

(1)改進(jìn)了混凝土卸載再加載曲線規(guī)則并給出具體表達(dá)式，定義了再加載段拐點(diǎn)之后剛度退化參數(shù)。

(2)給出并重點(diǎn)論述了UMAT和VUMAT與ABAQUS鏈接的框架示意圖，并給出相關(guān)注記。

(3)開發(fā)并實(shí)現(xiàn)了適用于隱式算法UMAT的子程序以及適用于顯式算法的雙精度VUMAT的子程序。

(4)驗(yàn)證了本文改進(jìn)的混凝土再加載規(guī)則與所開發(fā)程序的可行性和計(jì)算精度。首先考察了兩種算法(隱式和顯式法)對(duì)單一材料(鋼筋和素混凝土)構(gòu)件的計(jì)算結(jié)果，進(jìn)而考察了對(duì)混合材料(鋼筋混凝土、鋼管混凝土和型鋼混凝土)的計(jì)算結(jié)果，并與試驗(yàn)結(jié)果相對(duì)比。

本文的理論基礎(chǔ)和本構(gòu)改進(jìn)、程序開發(fā)以及試驗(yàn)驗(yàn)證，可為實(shí)際工程計(jì)算提供可靠性保證。

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GB 50010－2010，混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.