量子系統(tǒng)中純態(tài)和混合態(tài)量子芝諾效應(yīng)研究

孫權(quán)海，潘國(guó)柱，吳詩(shī)芬，李凌峰

（1.安徽三聯(lián)學(xué)院 基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，安徽 合肥 230601；2.皖西學(xué)院 材料與化工學(xué)院，安徽 六安 237012）

0 引言

量子信息是由量子力學(xué)和信息科學(xué)相結(jié)合而發(fā)展起來(lái)的新興學(xué)科，主要由量子通信和量子計(jì)算兩部分組成［1-2］.量子信息因其獨(dú)特的優(yōu)越性而受到人們普遍的關(guān)注.其中量子通信由于具有較高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，在量子信息中占有極其重要的地位.近年來(lái),量子芝諾效應(yīng)在量子通信中的應(yīng)用研究引起人們極大的興趣，同時(shí)在此領(lǐng)域中的應(yīng)用已經(jīng)取得了實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，發(fā)揮著比較重要的作用［1-8］.

量子芝諾效應(yīng)即是對(duì)一個(gè)不穩(wěn)定量子系統(tǒng)頻繁的測(cè)量可以凍結(jié)該系統(tǒng)的初始狀態(tài)或者阻止系統(tǒng)的演化［9-12］.如果測(cè)量時(shí)間間隔足夠短，可以把測(cè)量看作是連續(xù)的測(cè)量，正是由于這樣的測(cè)量所引起的波函數(shù)坍縮阻止了量子態(tài)之間的躍遷.然而人們對(duì)量子芝諾效應(yīng)的研究大多數(shù)只是考慮初始態(tài)為純態(tài)的情形.純態(tài)不穩(wěn)定系統(tǒng)的量子芝諾效應(yīng)的存在性已經(jīng)被證實(shí)［11-12］.此外，孫等［13］已提出系統(tǒng)的初始狀態(tài)對(duì)量子芝諾效應(yīng)的發(fā)生有一定的影響.至今為止，有關(guān)初始態(tài)為混合態(tài)的量子芝諾效應(yīng)罕見報(bào)道.眾所周知，大多數(shù)量子系統(tǒng)由于與環(huán)境相互作用而不可避免地處于混合態(tài).因此研究初始時(shí)刻處于混合態(tài)的不穩(wěn)定系統(tǒng)的量子芝諾效應(yīng)將比僅僅考慮純態(tài)的量子芝諾效應(yīng)更加具有實(shí)際意義.故此，對(duì)混合態(tài)系統(tǒng)的量子芝諾效應(yīng)的研究將是本文的主要內(nèi)容，此研究將為量子芝諾效應(yīng)的應(yīng)用提供必要的理論儲(chǔ)備和基礎(chǔ)知識(shí).

1 量子芝諾效應(yīng)及其基本原理

以一個(gè)簡(jiǎn)單的兩能級(jí)原子量子系統(tǒng)為例，研究該系統(tǒng)在被頻繁的投影測(cè)量情況下是如何產(chǎn)生量子芝諾效應(yīng)的.兩能級(jí)系統(tǒng)具有離散的本征態(tài)，這里我們選擇其本征態(tài)作為測(cè)量基，也就是說(shuō)測(cè)量基就是兩能級(jí)量子系統(tǒng)的兩個(gè)本征態(tài)之一.此外，系統(tǒng)的初始狀態(tài)也處于兩個(gè)本征態(tài)之一，然后再執(zhí)行頻繁和重復(fù)的投影測(cè)量.假設(shè)兩能級(jí)系統(tǒng)在相干拉比振蕩下的哈密頓量為：

則在τ時(shí)刻對(duì)應(yīng)的時(shí)間演化算符為：

在總時(shí)間為t測(cè)量相隔時(shí)間為τ的n次投影測(cè)量后，系統(tǒng)初始狀態(tài)的存活概率為：

上式結(jié)果已忽略了高階小項(xiàng)，顯然當(dāng)n→∞時(shí)，P(t)→1，因而式（3）可以表明量子芝諾效應(yīng)的發(fā)生.

總之，我們對(duì)具有離散本征態(tài)的不穩(wěn)定量子系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)單和頻繁的投影測(cè)量，就可以使系統(tǒng)狀態(tài)失去動(dòng)態(tài)演化的機(jī)會(huì)，這正是量子芝諾效應(yīng)現(xiàn)象的發(fā)生.

2 復(fù)合量子系統(tǒng)中混合態(tài)量子芝諾效應(yīng)

下面我們來(lái)研究?jī)审w量子系統(tǒng)中混合態(tài)量子芝諾效應(yīng).頻繁地對(duì)兩體聯(lián)合糾纏純態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行投影測(cè)量將導(dǎo)致子系統(tǒng)量子芝諾效應(yīng)的發(fā)生，而我們所感興趣的子系統(tǒng)的初始狀態(tài)卻處于混合態(tài).我們考慮一個(gè)由子系統(tǒng)A和B組成的兩體復(fù)合量子系統(tǒng)，制備其初始狀態(tài)為糾纏純態(tài)，研究其中一個(gè)子系統(tǒng)初始狀態(tài)的存活概率.分析所得結(jié)果并嘗試獲得與量子芝諾效應(yīng)有關(guān)的具有實(shí)際意義的結(jié)論.總之，我們主要解決的問(wèn)題是：所要考察的初始態(tài)為混合態(tài)的不穩(wěn)定系統(tǒng)（例如子系統(tǒng)A）是如何產(chǎn)生量子芝諾效應(yīng)的.如上所述，我們選擇兩個(gè)兩能級(jí)原子A和B組成一個(gè)復(fù)合系統(tǒng)，制備此復(fù)合系統(tǒng)初始狀態(tài)如下：

其中

簡(jiǎn)單起見，這里的α和β均為實(shí)參數(shù)，且滿足關(guān)系式α2+β2=1.當(dāng)然，復(fù)合系統(tǒng)的初始態(tài)是一個(gè)糾纏純態(tài).現(xiàn)在只考察子系統(tǒng)A的狀態(tài)，可通過(guò)對(duì)子系統(tǒng)B狀態(tài)求跡（trace）得到子系統(tǒng)A狀態(tài)的密度算符：

至此我們可以明顯地看出子系統(tǒng)A的初始狀態(tài)其實(shí)是一混合態(tài).假設(shè)在相互作用繪景中該復(fù)合系統(tǒng)的哈密頓量為：

為了使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單化并且不影響最后結(jié)論的前提下，我們可以取?1=?2=?.相應(yīng)地，復(fù)合系統(tǒng)的時(shí)間演化算符為：

現(xiàn)在我們對(duì)整個(gè)復(fù)合系統(tǒng)執(zhí)行n次投影測(cè)量，而且每次操作都使用相同的投影算符ψ0ABψ0.換言之，在每個(gè)時(shí)間間隔τ結(jié)束的瞬間我們都要將整個(gè)系統(tǒng)投影到其初始狀態(tài)上.完成n次投影測(cè)量后，經(jīng)歷t時(shí)間后子系統(tǒng)A初始狀態(tài)的存活概率為：

在式（9）最后一步計(jì)算中，忽略了高階小項(xiàng).然而我們關(guān)注的是子系統(tǒng)A的演化情況而不是整個(gè)系統(tǒng)的演化.顯然完成上述操作后子系統(tǒng)A的初始混合態(tài)的存活概率是接近于1的，并且隨著測(cè)量次數(shù)n的增大初始態(tài)存活概率也是增大的.總之，這種現(xiàn)象恰恰反映了量子系統(tǒng)中混合態(tài)量子芝諾效應(yīng)的存在.

3 結(jié)論

綜上所述，通過(guò)執(zhí)行頻繁的投影測(cè)量可以阻止純態(tài)和混合態(tài)量子系統(tǒng)的演化.換言之，頻繁的測(cè)量可以使不同狀態(tài)的量子系統(tǒng)保持穩(wěn)定.值得關(guān)注的是，處于式（4）狀態(tài)的復(fù)合量子系統(tǒng)，盡管該系統(tǒng)的初始態(tài)是一個(gè)純態(tài)，但是對(duì)于任意一個(gè)子系統(tǒng)來(lái)說(shuō)其初始態(tài)卻是混合態(tài).總之，當(dāng)我們對(duì)此系統(tǒng)進(jìn)行頻繁的測(cè)量時(shí)，混合初始態(tài)的量子芝諾效應(yīng)就會(huì)發(fā)生.這樣的結(jié)果給我們帶來(lái)了極大的驚喜，同時(shí)希望此結(jié)論為未來(lái)量子芝諾效應(yīng)的相關(guān)研究提供有價(jià)值的理論基礎(chǔ).

在傳統(tǒng)的量子芝諾效應(yīng)解釋中，投影測(cè)量或者波包塌縮是必不可少的前提，但是最近人們研究發(fā)現(xiàn)，投影測(cè)量并不是量子芝諾效應(yīng)發(fā)生的必需條件，它完全可以被一個(gè)幺正測(cè)量動(dòng)力學(xué)過(guò)程所取代，這就使得芝諾動(dòng)力學(xué)過(guò)程不再是非幺正的.因此，量子芝諾效應(yīng)并不依賴于非幺正的投影測(cè)量和波包塌縮，而是可以利用系統(tǒng)與外部自由度的連續(xù)或者分離耦合，這就使得量子芝諾效應(yīng)可以只依賴于幺正的耦合演化［13］.上述量子芝諾效應(yīng)的幺正解釋將為其在量子信息中找到更廣泛的應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)，也使其在實(shí)驗(yàn)中更容易實(shí)現(xiàn).

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