利用Matlab模擬點電荷系的電場線和等勢面

陳 偉，易志俊，丁益民

(湖北大學(xué)，湖北 武漢 430062)

電場線和等勢面是描述電場性質(zhì)的重要的物理量，在物理教學(xué)中，通常需要繪制點電荷系的電場線和等勢面，因此研究用計算機(jī)繪制電場線和等勢面具有重要的現(xiàn)實意義。Matlab是一種廣泛應(yīng)用于科研、工程計算和數(shù)值分析的高級語言，它以矩陣為基本的數(shù)據(jù)操作對象，進(jìn)行高性能的數(shù)值計算和符號計算，并擁有強(qiáng)大的繪圖功能。在物理仿真中具有明顯的優(yōu)勢。

近年來許多老師對用Matlab模擬點電荷電場進(jìn)行了研究。莫照等人通過數(shù)學(xué)建模的過程，將物理問題變成了數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而用Matlab模擬了雙“點電荷”的電場和等位線［1］;王明美也通過Matlab模擬了兩個點電荷體系的電場線和等勢線［2-3］;向羅杰等人結(jié)合電場方程和泰勒展開式，分析電場線的性質(zhì)，利用Mathematica模擬了共線的三個點電荷電場線的分布［4］。

本文首先計算出點電荷系在平面某點的電勢疊加，利用Matlab的命令繪出等勢面，然后結(jié)合電場線和等勢面的垂直關(guān)系，繪出電場線。這里對點電荷的分布以及電荷量沒有特殊要求，由用戶自己根據(jù)實際需要在一定范圍內(nèi)輸入點電荷系的位置和電荷量，即可顯示出其電場線和等勢面，具有良好的普遍性和交互性，便于學(xué)生對點電荷系電場的規(guī)律進(jìn)行探究式的學(xué)習(xí)。

1 基本原理

若平面真空中存在若干點電荷，記為Q1、Q2、Q3……Qn，根據(jù)電勢的疊加原理，可得這個點電荷系所激發(fā)的電場中某點p的電勢為

式中:ri為點電荷Qi到 p點的距離［5］。

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)p點坐標(biāo)為(x，y)，Qi所在位置的坐標(biāo)為(xi，yi)，對于某一確定的p點，可令Up=c，c為某一定值，那么(1)式可改寫為

實際上，滿足(2)式的p點不止一個，因此方程是點電荷系產(chǎn)生電場中電勢恒為c的一個等勢面方程［6］。如果c取不同的值，可以得出不同的等勢面。根據(jù)等勢面的畫法要求，一般按等差數(shù)列的變化對c取值，并由(2)式得到一系列的等勢面方程［7］。

結(jié)合等勢面方程，用Matlab編寫程序繪出等勢面，再根據(jù)電場線垂直于等勢面，對電勢求梯度，即可描繪出電場線。

2 程序設(shè)計

以三個點電荷為例，電荷量分別為 Q1、Q2、Q3，對應(yīng)坐標(biāo)為(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)，于是，由(2)式得到某一點p(x，y)的電勢為

主要思路如下:

(1)按提示依次輸入三個點電荷的位置及電荷量，以電荷1為例:

disp('對電荷1');

rc1=input('輸入電荷1位置［x，y］');

x1=rc1(1);

y1=rc1(2);

q1=input('輸入電荷量(庫倫):');

(2)利用(3)式計算出這三個點電荷在某點p(x，y)的電勢疊加，并運(yùn)用Matlab的繪圖命令contour繪出若干個等勢面［7］。主要代碼如下:

%計算出三個電荷在p點的合電勢

%設(shè)置電勢的等差數(shù)列

%繪制等勢面

(3)繪制電場線，首先找個起點，計算出該點的坐標(biāo)，然后根據(jù)電場線和等勢面的垂直關(guān)系，利用命令 streamline繪出電場線［8］。主要代碼如下:

%對電勢求梯度

%設(shè)置第一個點電荷電場線角度間隔

%電場線的角度范圍

r0=0．1;%電場線起點半徑

x1=r0*cos(th1)+x1;%電場線起點橫坐標(biāo)

y1=r0*sin(th1)+y1;%電場線起點縱坐標(biāo)

streamline(X，Y，Ex，Ey，x1，y1);%畫電場線

該設(shè)計思路簡潔，邏輯清晰。用戶還可以改變電荷的位置和電荷量，從而對電場線和等勢面進(jìn)行對比和分析。

3 模擬結(jié)果及分析

3．1 三個等量、同號點電荷等勢面及電場線的模擬

圖1 同號、等量點電荷的等勢面及電場線

從圖1中可以看出電場線不相交，開始時三個點電荷下面的電場線和等勢面比較密集，但由于下面兩個電荷的靠近以及與上面電荷的遠(yuǎn)離，下面變的稀疏，而上面的變得密集了。

3．2 三個同號、不等量點電荷等勢面及電場線的模擬

圖2 同號、不等量點電荷的等勢面及電場線

由于上面點電荷電荷量的增加，其周圍的電場線變的密集。

3．3 三個等量、異號點電荷的等勢面及電場線的模擬

圖3 等量、異號點電荷的等勢面及電場線

從圖3中看到，電場線從正電荷出發(fā)，到負(fù)電荷終止，而且由于電荷位置的調(diào)整，上面負(fù)電荷的電場線重新分布，變得下密上疏。

3．4 三個不等量、異號點電荷的等勢面及電場線的模擬

圖4 不等量、異號點電荷的等勢面及電場線

由于上面的點電荷電量增加，其電場線變多，而且靠近正負(fù)電荷中間位置的電場線密集，而遠(yuǎn)離中間位置的稀疏。

總之，從以上四種情況的圖中我們可以知道，電場線和等勢面是通過模擬來反應(yīng)電荷性質(zhì)的，電荷量大的電荷周圍的電場線和等勢線密集，而電荷量小的電荷周圍的稀疏;同種點電荷之間的電場線和等勢線稀疏，而異種點電荷之間的密集;同種點電荷距離較近時電場線和等勢線稀疏，而異種點電荷距離較近時電場線和等勢線密集［9］。這些與實際情況相符，所以模擬效果明顯。

4 結(jié) 論

本文用Matlab模擬了三個點電荷電場線和等勢面，并通過改變它們的位置及電荷量，分析比較了不同情況下的分布情況，具有簡單和清晰的特點，并且具有較好的普適性和交互性。該模擬程序不僅能在物理實驗的教學(xué)中起到很好的演示作用，通過調(diào)整輸入的參量，還可觀察多種情況下點電荷系的電場線與等勢面，便于學(xué)生進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)。同時它還可使教學(xué)過程更生動和形象，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

［1］ 莫照，胡奇光．用MATLAB模擬雙“點電荷”的電場和等位線［J］．電腦學(xué)習(xí)，2007(2)．

［2］ 王明美．一對點電荷電場的 MATLAB模擬實驗［J］．合肥師范學(xué)院學(xué)報，2012(3)．

［3］ 劉雅彬，魯曉東．MATLAB對靜電場等勢線的最小二乘描繪［J］．大學(xué)物理實驗，2013，2(26):82-84．

［4］ 向羅杰，王慧，趙釗．平面點電荷體系的電場線模擬［J］．實驗科學(xué)與技術(shù)，2010(6)．

［5］ 丁益民，徐揚(yáng)子．大學(xué)物理實驗［M］．北京:科學(xué)出版社．2008．

［6］ 張毅，丁益民．基于Visua C++的非線性電路實驗?zāi)M［J］．大學(xué)物理實驗，2010(3)．

［7］ 王靜，王亞芳，董愛國，等．利用Matlab模擬靜電場的分布［J］．科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2012(17)．

［8］ 陳宗文，魏秀芳，雒向東．用MATLAB解決電磁學(xué)中的靜電場問題［J］．無線互聯(lián)科技，2012(12)．

［9］ 周江，黃剛，莫濟(jì)成，等．長直平行帶電體靜電場的MATLAB 模擬［J］．科技信息，2009(7)．

［10］江略，丁益民．基于OpenGL的三維電場線模擬［J］．大學(xué)物理實驗，2011(5)．