大學(xué)物理中矢量函數(shù)的微積分問題

張樂

（武漢工程大學(xué) 郵電與信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430073）

大學(xué)物理中矢量函數(shù)的微積分問題

張樂

（武漢工程大學(xué) 郵電與信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430073）

矢量和微積分是大學(xué)物理中極其重要的數(shù)學(xué)方法，也是一種物理思維能力。本文主要討論矢量和微積分的基本思想以及矢量函數(shù)的微積分的應(yīng)用。

大學(xué)物理；矢量；矢量分析；微積分

一、引言

矢量和微積分的應(yīng)用是學(xué)好大學(xué)物理的前提，它更嚴(yán)格地定義物理概念、表達(dá)物理規(guī)律。大學(xué)物理中，作為變量的物理量通常是以矢量函數(shù)表示。描述物理矢量的連續(xù)性變化問題必須應(yīng)用矢量函數(shù)的微積分，這是大學(xué)物理學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中理解了矢量和微積分的思想和實(shí)質(zhì)，反過來可以系統(tǒng)地掌握物理學(xué)的基本概念和基本規(guī)律，甚至形成整個(gè)物理學(xué)的知識(shí)框架和思維方法。

二、理解矢量的本質(zhì)

在大學(xué)物理中，廣泛應(yīng)用矢量理論來研究物理概念和規(guī)律，它可以幫助人們研究物理量的方向變化問題。矢量理論主要包括矢量代數(shù)和矢量分析。但很多初學(xué)者都不能很好地理解矢量的本質(zhì)，只是單純地把矢量理解為“既有大小，又有方向”的物理量，而忽略矢量代數(shù)和矢量分析的重要含義[1]。矢量代數(shù)的法則主要是平行四邊形法則和矢量的點(diǎn)乘和叉乘。平行四邊形法則是矢量的加法運(yùn)算法則，主要用于離散分布的物理矢量的疊加問題。矢量的點(diǎn)乘可以得到一個(gè)標(biāo)量，它廣泛地應(yīng)用于物理量的定義中，如磁感應(yīng)強(qiáng)度與面積的點(diǎn)乘定義磁通量Φm，數(shù)學(xué)形式為d。矢量的叉乘反映三維空間中矢量的關(guān)系，兩個(gè)矢量通過叉乘得到一個(gè)新的矢量，其方向遵循右手螺旋定則。如角動(dòng)量的定義式物理中連續(xù)性問題用到矢量函數(shù)的定積分形式。

矢量分析就是在坐標(biāo)系中把矢量函數(shù)進(jìn)行正交分解，也就是把矢量函數(shù)轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)軸上的標(biāo)量函數(shù)。這樣，矢量函數(shù)的求導(dǎo)和積分計(jì)算就轉(zhuǎn)換成學(xué)生們所熟知的高等數(shù)學(xué)中標(biāo)量函數(shù)的微積分問題。例如在直角坐標(biāo)系中，位置矢量，則速度

學(xué)生要想學(xué)好大學(xué)物理就必須理解矢量的本質(zhì)，掌握矢量代數(shù)和矢量分析。很多學(xué)生在物理形成標(biāo)量運(yùn)算的定式思維，忽略了矢量問題。主要問題有以下幾點(diǎn)：（1）矢量函數(shù)作為變量，大小和方向都隨時(shí)間變化。而有些學(xué)生在矢量函數(shù)的運(yùn)算中忽略了方向變量所產(chǎn)生的問題。（2）在矢量函數(shù)的微積分計(jì)算中，矢量分析的思想要先把矢量函數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)分解。但部分學(xué)生常常直接對(duì)矢量函數(shù)進(jìn)行微積分運(yùn)算。（3）在矢量點(diǎn)乘或叉乘的運(yùn)算中，學(xué)生容易忘記兩個(gè)矢量的夾角，這個(gè)夾角可能是變量，需要參與導(dǎo)數(shù)或積分的計(jì)算。

三、掌握微積分的思想

微積分廣泛應(yīng)用于物理問題的研究中，許多重要的物理規(guī)律都必須以微積分的形式來表示。微積分的主要思想和方法：把物理問題所研究的對(duì)象在時(shí)間或空間上進(jìn)行分割成小量，對(duì)小量進(jìn)行近似處理，這些近似處理在無限次分割的情況下趨近于物理問題的真實(shí)結(jié)果。這就是微分的思想，由無限分割所得到的小量稱為微分元（微元）。而把這些無限小的微元進(jìn)行連續(xù)性求和，就是積分。把物理對(duì)象分割成微元后，不均勻量變成均勻量，變量可看作常量，這樣復(fù)雜問題就簡單化。例如一般曲線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度→（t）=，實(shí)質(zhì)是把時(shí)間間隔進(jìn)行無限分割，取微元Δt→0的極限，位移的微元Δ→也近似于位置矢量的微元d→。有部分學(xué)生不能正常理解微積分的基本思想和方法，不會(huì)取合理的微分元，不能把微積分應(yīng)用與物理模型結(jié)合起來。

另外，矢量函數(shù)的微積分問題，必須結(jié)合微積分方法和矢量分析，這使得物理問題中的微積分的應(yīng)用更有難度。這需要在大學(xué)物理教學(xué)中，通過具體物理模型的分析，使學(xué)生熟練地應(yīng)用微積分方法分析物理問題，包括矢量問題。接下來，我們將以實(shí)例分析講解大學(xué)物理中矢量函數(shù)的微積分的應(yīng)用。

四、矢量函數(shù)的微積分的應(yīng)用

大學(xué)物理中矢量函數(shù)的微積分問題雖然涉及的物理內(nèi)容不同，但是利用數(shù)學(xué)方法解決問題的思維方式相同。其主要思路是：（1）根據(jù)物理問題，確定相應(yīng)的微元；（2）建立合理的坐標(biāo)系，用矢量分析的方法處理需要處理的矢量函數(shù)；（3）結(jié)合物理規(guī)律和公式，將物理模型轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型（在積分問題中，還需要確定積分上、下限）；（4）應(yīng)用微積分的性質(zhì)統(tǒng)一變量，進(jìn)行計(jì)算。

矢量函數(shù)的微積分從選取的微元上來看可以分為兩類形式：一是時(shí)間微元。這類問題較簡單，其核心思想是矢量分析。因?yàn)楦鶕?jù)物理學(xué)公式，很容易確定時(shí)間微元dt。例如沖量是力在時(shí)間上的累積效果。這些問題只需要學(xué)生們掌握物理公式的含義，并能選取合適的坐標(biāo)系分解矢量函數(shù)，再解標(biāo)量函數(shù)的微積分式。最后，對(duì)新得到物理量的各個(gè)分量式以平行四邊形法則合成即可。二是空間微元。這類問題形式較多?？臻g微元分為線元、面元、體元，需要選擇合理的微元。而且這類問題一般變量較多，需要統(tǒng)一變量。因此，解決這類問題必須綜合利用矢量分析和微積分。以空間微元形式的微分問題，主要是以下三種運(yùn)算法則：梯度、散度和旋度，在大學(xué)物理中的應(yīng)用較少。而積分問題在力學(xué)和電磁學(xué)中都有很重要的應(yīng)用，是學(xué)習(xí)大學(xué)物理的重難點(diǎn)。積分問題分為線積分、面積分和體積分。要想解決這類問題，學(xué)生必須具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和物理思維能力。因此，在課堂上充分利用經(jīng)典物理模型，給學(xué)生總結(jié)解決問題的步驟和方法。加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的思維方法和能力的培養(yǎng)，包括解決問題的數(shù)學(xué)能力。下面以動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的經(jīng)典模型為例介紹矢量函數(shù)的微積分的思維步驟和方法。

例[2]：如圖所示，一長直導(dǎo)線中通有向上的穩(wěn)恒電流I，在長直導(dǎo)線旁平行放置一線圈ABCD，AB邊可在兩導(dǎo)軌CE、DF上滑行，線圈靠近直導(dǎo)線的一邊到直導(dǎo)線的距離為d，AB邊長為a，當(dāng)AB邊以速度v勻速向下運(yùn)動(dòng)。求線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

解：首先，BA邊處于非均勻磁場中，空間磁感應(yīng)強(qiáng)度分布由無限長通電直導(dǎo)線產(chǎn)生：根據(jù)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的定義式：，在BA導(dǎo)線上選取無限小的微線元d，其方向從B指向A。這樣每個(gè)線元上d→的磁感應(yīng)強(qiáng)度都可以視作均勻的。

其次，選取沿導(dǎo)線BA方向作x坐標(biāo)軸，坐標(biāo)原點(diǎn)在長直導(dǎo)線上。則線元d→上產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)dε的大小表示為：其中，為矢量→和的夾角，θ2=0為矢量和線元的夾角。

第三步，在x坐標(biāo)軸中，統(tǒng)一變量，并對(duì)整個(gè)BA導(dǎo)線在x軸上進(jìn)行積分。確定積分上下限。綜上分析，BA邊上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的數(shù)學(xué)公式表示為：最后，計(jì)算得到。并確定電動(dòng)勢(shì)的方向是從B指向A的。

在分析和求解這道題的過程中，重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握將物理模型轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型的思維步驟和方法。學(xué)生在高等數(shù)學(xué)中掌握的微積分知識(shí)，只能解決最后一步。前面三步的物理思維能力，是大學(xué)物理課程的重點(diǎn)。教師要在課程上引導(dǎo)學(xué)生從矢量分析和微積分的基本思想出發(fā)分析和解決物理模型。

矢量和微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用是學(xué)習(xí)大學(xué)物理的一種思維能力。本文首先分析了矢量和微積分的基本思想和方法，再通過實(shí)例分析介紹大學(xué)物理中矢量函數(shù)的微積分問題的思維步驟和方法。以供學(xué)習(xí)者參考借鑒。

[1]熊青玲.大學(xué)物理中關(guān)于矢量的應(yīng)用問題探討[J].高校之窗，2008，（3）.

[2]黃祝明，吳鋒.簡明大學(xué)物理[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2013.

G642.4

A

1674-9324（2014）11-0108-02