一類統(tǒng)計(jì)量乘積的幾乎處處中心極限定理

鄒廣玉

（長(zhǎng)春工程學(xué)院理學(xué)院，長(zhǎng)春130012）

0 引言及主要結(jié)論

設(shè)｛Xn，n≥1｝是一隨機(jī)變量列，記設(shè)Tn是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量（或隨機(jī)函數(shù)），可以表示成

其中an＞0是常數(shù)列，Rn稱為余項(xiàng)。很多常用的統(tǒng)計(jì)量（或隨機(jī)函數(shù)）可被表示成式（1）的形式，例如U統(tǒng)計(jì)量、線性過程、線性模型的誤差方差估計(jì)量等。本文將討論這類統(tǒng)計(jì)量的乘積的某些極限性質(zhì)。

幾乎處處中心極限定理（ASCLT）是近幾十年來(lái)概率論研究的一個(gè)熱門方向，由Schatte（1988）在文獻(xiàn)［1］中最早開始研究，在獨(dú)立同分布情況下，在比EX1＝0，EX＝1稍強(qiáng)的條件下證明了

式中：Φ（x）為服從 N（0，1）的隨機(jī)變量的分布函數(shù)；I（·）為示性函數(shù)，下同。

這一結(jié)果后來(lái)被稱為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量列的幾乎處處中心極限定理，此后眾多學(xué)者對(duì)幾乎處處中心極限定理進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［2］討論了當(dāng)｛Xn，n≥1｝為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量列時(shí)Tn的乘積的幾乎處處中心極限定理，本文在此基礎(chǔ)上得到了｛Xn，n≥1｝為嚴(yán)平穩(wěn)NA序列時(shí)Tn的乘積的幾乎處處中心極限定理。

定義1 稱隨機(jī)變量序列｛Xi，i∈I｝是負(fù)相伴（簡(jiǎn)稱NA）的，如果對(duì)于任何兩個(gè)使得協(xié)方差存在且對(duì)每個(gè)變?cè)墙档暮瘮?shù)G與H，都有

式中I＝ ｛1，…，n｝，A、B為I的兩個(gè)不交子集。

稱隨機(jī)變量序列｛Xi，i∈N｝是NA的，如果對(duì)任何n≥2，X1，…，Xn都是NA的。

NA序列的定義是20世紀(jì)80年代由Alam和Saxena在文獻(xiàn)［3］給出的，它是包含獨(dú)立隨機(jī)變量序列在內(nèi)的更為廣泛的相依隨機(jī)變量類型，在可靠性理論、滲透性理論及多元分析中有重要作用，因此研究其極限性質(zhì)具有重要意義。本文的結(jié)論如下。

定理1 設(shè)｛Xn，n≥1｝是正的嚴(yán)平穩(wěn)的NA隨機(jī)變量列，滿足EX1＝μ＞0和VarX1＝σ2＜∞，記變異系數(shù)其中an＞0是常數(shù)列，并假設(shè)下面條件成立

（1）對(duì) 某 個(gè) ε ＞ 0，｜ Cov（X1，Xn＋1）｜＝O（n－1（logn）－2－ε），

那么

1 若干引理

引理2［4］設(shè)｛Xn，n≥1｝是嚴(yán)平穩(wěn)的NA隨機(jī)變量列，滿足EX1＝0和，且下文中的C在不同地方代表不同的常數(shù)。我們?cè)谧C明過程中需要下面幾個(gè)引理。

引理1［4］在定理的假設(shè)條件下，有｜Cov（X1，Xj）｜＜ ∞，則對(duì)任意的0＜p＜2，有

Sn／n1／p→0，a.s. 當(dāng)n→ ∞ 時(shí)。

引理3 在定理的假設(shè)條件下，有

證明：

由引理1，有

于是，對(duì)幾乎所有的樣本點(diǎn)ω和任意小的ε＞0，存在正整數(shù)N1＝N1（ω，ε，x），使得當(dāng)k＞N1時(shí)有

這樣由式（4）可知式（3）成立，于是證明了引理3。

2 定理的證明

注意到式（2）等價(jià)于

又由引理1知，對(duì)于充分大的j，有

于是，對(duì)于充分大的j，有

且當(dāng)x→0時(shí)，log（1＋x）＝x＋O（x2），故有

于是，對(duì)幾乎所有的樣本點(diǎn)ω和任意小的ε＞0，存在正整數(shù)N2＝N2（ω，ε，x），使得當(dāng)k＞N2時(shí)有

由引理3即知式（5）成立，這樣就證明了定理。

［1］Schatte P.On strong versions of the central limit theorem［J］.Math.Nachr.，1988，137：249－256.

［2］邱瑾，陸傳榮.一類統(tǒng)計(jì)量的乘積的漸近性質(zhì)和幾乎處處中心極限定理［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2013，33（A）：3，475－482.

［3］Alam K，Saxena K M L.Positive dependence in multivariate distributions［J］.Comm.Statist.Theory Math，1981，A10（12）：1183－1196.

［4］LI Yun－xia，WANG Jian－feng.An almost sure limit theorem for products of sums under association［J］.Statist.Probab.Lett.，2008，78（4）：367－375.