具有無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)的Z2－等變平面七次哈密頓向量場的全局相圖及其分類 (Ⅰ)

李艷梅

(楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 楚雄 675000)

極限環(huán)的數(shù)量和分布問題一直是微分方程定性理論研究的一個重要內(nèi)容，而擾動方法是研究極限環(huán)問題的一個常用的方法。但是，用擾動的方法研究極限環(huán)的數(shù)量和分布時，需要先得到未擾動系統(tǒng)的相圖。最近幾年來，關(guān)于七次平面哈密頓向量場的研究結(jié)果在逐漸增多［1—7］，但仍然有許多系統(tǒng)尚待研究。本文將對如下的具有Z2－等變性質(zhì)的七次哈密頓向量場的相圖進(jìn)行分類

得到一些新的相圖，其中α＞0是一個參數(shù)。

1 系統(tǒng)(1)的奇點(diǎn)及其性質(zhì)

系統(tǒng)(1)的雅可比行列式是

其中

關(guān)于系統(tǒng)(1)，我們有以下的相關(guān)結(jié)果:

引理 1［7］對正數(shù) a，b，c，l，m，n，系統(tǒng)

在一、二象限內(nèi)有兩個無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)。

由(2)式及引理1，我們得到

定理1 在上半平面內(nèi)，奇點(diǎn)(0，0)，(± b，0)，(0，m)，(± a，l)，(± c，l)，(± b，m)，(± a，n)和(±c，n)是系統(tǒng)(1)的鞍點(diǎn)，其他奇點(diǎn)是系統(tǒng)(1)的中心。此外，系統(tǒng)(1)有四個無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)。

2 系統(tǒng)(1)的相圖及其分類

系統(tǒng)(1)的哈密頓量是

不難看出，函數(shù) H(x，y)滿足等式 H(x，y)=H(x，0)+H(0，y)并且有

若分別記 H(0，0)，H(± a，0)，H(± b，0)，H(± c，0)，H(0，l)，H(0，m)，H(0，n)為 h00，ha0，hb0，hc0，h0l，h0m，h0n，則有

顯然，hb0＜ ha0，h0l＜ h0m，h0n＜ h0m.

比較奇點(diǎn)處的哈密頓量，可以得到下列結(jié)果:

定理2

(1)當(dāng)0＜α＜0.05時，系統(tǒng)(1)的相圖為1(1)。

(2)當(dāng)α=0.05時，系統(tǒng)(1)的相圖為1(2)。

(3)當(dāng)0.05＜α＜0.318542時，系統(tǒng)(1)的相圖為1(3)。

(4)當(dāng)α=0.318542時，系統(tǒng)(1)的相圖為1(4)。

(5)當(dāng)0.318542＜α＜0.391746時，系統(tǒng)(1)的相圖為1(5)。

(6)當(dāng)α=0.391746時，系統(tǒng)(1)的相圖為1(6)。

(7)當(dāng)0.391746＜α＜1.21859時，系統(tǒng)(1)的相圖為1(7)。

(8)當(dāng)α=1.21859時，系統(tǒng)(1)的相圖為1(8)。

(9)當(dāng)1.21859＜α＜1.65258時，系統(tǒng)(1)的相圖為1(9)。

(10)當(dāng)α=1.65258時，系統(tǒng)(1)的相圖為1(10)。

(11)當(dāng)1.65258＜α＜1.75389時，系統(tǒng)(1)的相圖為1(11)。

(12)當(dāng)α=1.75389時，系統(tǒng)(1)的相圖為1(12)。

(13)當(dāng)α＞1.75389時，系統(tǒng)(1)的相圖為1(13)。

證明 為了節(jié)省篇幅，下面只證明(2)、(4)、(6)、(8)、(10)和(12)幾種情形，其它情形的證明類似。

(2)當(dāng)α=0.05時，h0l=h0n，且奇點(diǎn)處的哈密頓量滿足不等式h0l=h0n＜hbl=hbn＜hal=han=hcl=hcn＜h00＜hb0＜ha0=hc0＜h0m＜hbm＜ham=hcm，由此得到系統(tǒng)(1)的相圖1(2)。

(4)當(dāng)α=0.318542時，相應(yīng)地有hcn=h0m，且奇點(diǎn)處的哈密頓量滿足不等式h0l＜hbl＜hal=hcl＜h0n＜hbn＜han=hcn=h0m＜hbm＜ham=hcm＜h00＜hb0＜ha0=hc0，由此得到系統(tǒng)(1)的相圖1(4)。

(6)當(dāng)α=0.391746時，hal=h0m，且奇點(diǎn)處的哈密頓量滿足不等式h0l＜h0n＜hbl＜hal=hcl=h0m＜hbn＜han=hcn＜hbm＜ham=hcm＜h00＜hb0＜ha0=hc0，由此得到系統(tǒng)(1)的相圖1(6)。

(8)當(dāng)α=1.21859時，han=hbm，且奇點(diǎn)處的哈密頓量滿足不等式h0l＜h0n＜h0m＜hbl＜hal=hcl＜hbn＜han=hcn=hbm＜ham=hcm＜h00＜hb0＜ha0=hc0，由此得到系統(tǒng)(1)的相圖1(8)。

(10)當(dāng)α=1.65258時，hal=h00，且奇點(diǎn)處的哈密頓量滿足不等式h0l＜h0n＜h0m＜hbl＜hal=hcl=h00＜hbn＜hbm＜han=hcn＜ham=hcm＜hb0＜ha0=hc0，由此得到系統(tǒng)(1)的相圖1(10)。

(12)當(dāng)α=1.75389時，hal=hbm，且奇點(diǎn)處的哈密頓量滿足不等式h0l＜h0n＜h0m＜h00＜hbl＜hbn＜hal=hcl=hbm＜han=hcn＜ham=hcm＜hb0＜ha0=hc0，由此得到系統(tǒng)(1)的相圖1(12)。

圖1 (1)～(13)系統(tǒng)(1)的相圖

本文所得到的相圖與其他文章所得到的都不一樣，是關(guān)于七次哈密頓系統(tǒng)相圖研究的新結(jié)果。

［1］李艷梅.具有Z8－等變性質(zhì)的平面七次哈密頓向量場的一般形式及其相圖 ［J］.楚雄師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，25(12):32—35.

［2］Li Jibin.Hilbert’s 16thproblems and Bifurcations of Planar Polynomial Vector Fields ［J］.International Journal of Bifurcations and Chaos，2003，13(1):47—106.

［3］Li Jibin et al.Bifurcations of Limit Cycles in a Z2－ equivariant Planar Polynomial Vector Field of Degree 7 ［J］.International Journal of Bifurcations and Chaos，2006，16(4):925—943.

［4］Li Yanmei.The Phase Portraits of a type of Planar Septic Hamiltonian Vector Field with Z2－Equivariant Property［J］.Journal of Chuxiong Normal University，2011，26(9):47—50.

［5］Li Yanmei.Classification of Phase Portraits of a Z2－ Equivariant Planar Hamiltonian Vector Field of Degree 7(Ⅰ)［J］.Journal of Chuxiong Normal University，2012，27(6):1—5.

［6］Li Yanmei.Classification of Phase Portraits of a Z2－ Equivariant Planar Hamiltonian Vector Field of Degree 7(Ⅱ)［J］.Journal of Chuxiong Normal University，2012，27(9):1—5.

［7］李艷梅.一類具有Z2－等變性質(zhì)的平面七次哈密頓向量場的全局相圖及其分類 ［J］.井岡山大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，34(2):7—12.