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    勻強磁場中的通電懸鏈線*

    2014-06-29 09:02:26邱為鋼
    物理通報 2014年6期
    關鍵詞:懸鏈鏈線切角

    邱為鋼

    (湖州師范學院理學院 浙江 湖州 3130 00 )

    經(jīng)典的懸鏈線是指質(zhì)量均勻分布的繩子,在重力場中兩端固定時候的位形[1,2].除重力之外,如果給予繩子某種外力,那么,繩子就會呈現(xiàn)類似懸鏈線形狀.垂直勻強磁場的通電導線所受的安培力就是一個很好的例子.在重力和安培力共同作用下,通電導線(懸鏈線)的形狀,相比通常的懸鏈線,有什么變化?

    1 通電懸鏈線的形狀方程

    首先,我們利用微元分析法推導通電懸鏈線的形狀方程,為簡單起見,通電懸鏈線是對稱放置的.設磁感應強度為B,方向垂直于通電懸鏈線所在平面,電流為I.懸鏈線長度為2l,線密度為ρ.忽略電流元之間的相互作用,弧長坐標在(s,s+ds)的懸鏈線微元在重力G,兩端張力T(s),T(s+ds)和安培力F作用下平衡,如圖1所示.通電懸鏈線微元在x,y軸方向受力平衡

    通電懸鏈線上弧長微元滿足

    把式(1)~(3)無量綱化,張力以ρg l為單位,長度以l為單位,比例參數(shù)

    那么,式(1)、(2)轉化為

    或者

    圖1 勻強磁場中通電導線微元受力分析示意圖

    現(xiàn)在先給出一般邊界情況下懸鏈線形狀方程式(3)~(7)的解.以通電懸鏈線的最低點為原點,在原點處切角是θ0,張力為T0.式(4)和式(5)積分,并利用原點的邊界條件,得到

    式(6)直接積分得到

    聯(lián)立式(8)和式(10 ),得到

    把式(11 )代入式(6),積分得到

    其中

    x的參數(shù)表示由式(9)、(13 )和(14 )給出.懸鏈線端點切角值θ1由a=確定,其中a是懸鏈線的半寬度.當>1時,式(14 )出現(xiàn)的反正切函數(shù)具有多值性,θ1可能取多個值.

    2 通電懸鏈線的形狀

    通電懸鏈線的形狀由比例參數(shù)λ和懸鏈線寬度a確定,分為多類情況.取a=為例來討論.

    第一類情形是λ>-a,θ0=0.

    當λ=1時,懸鏈線形狀的參數(shù)方程是

    懸鏈線形狀如圖2所示,其中虛線是未通電時懸鏈線的形狀.

    第二類情形是λ=-a,θ=arc cos(a).

    此時懸鏈線的形狀就是“V”字形.

    第三類情形是λ<-a,θ0=π.

    此時懸鏈線形狀類似扭結形.當λ=-1時,懸鏈線形狀的參數(shù)方程是

    圖2 比例參數(shù)λ=1時通電懸鏈線形狀

    懸鏈線形狀如圖3所示,其中虛線是未通電時懸鏈線的形狀.

    圖3 比例參數(shù)λ=-1時通電懸鏈線形狀

    第四類情形是λ<-a,θ0=.

    此時懸鏈線底下部分重合,設重合部分長度為s0,分叉點處張力與底下部分重力平衡,即

    T0=s0

    切角為θ0=.仿照以上推導,計算得到分叉部分的參數(shù)方程為

    當λ=-1時,懸鏈線分叉部分形狀的參數(shù)方程是

    懸鏈線形狀如圖4所示,其中虛線是未通電時懸鏈線的形狀.

    圖4 比例參數(shù)λ=-1時通電懸鏈線形狀

    由于懸鏈線端點切角值θ1方程a=是超越方程,沒有解析解,所以,其余比例參數(shù)時的懸鏈線形狀直接數(shù)值求解式(3~5)來畫出.數(shù)值計算發(fā)現(xiàn),當λ=-3時,存在多種形狀,因篇幅所致,只給出6種形狀,如圖5所示.

    圖5 比例參數(shù)λ=-3時通電懸鏈線形狀

    3 結束語

    我們的模型忽略了通電導線本身電流元的相互作用,解析和數(shù)值計算發(fā)現(xiàn),相對于經(jīng)典懸鏈線,通電懸鏈線形狀豐富多彩.當比例參數(shù)λ和懸鏈線寬度2a取不同組合時,由于最底端的幾何條件不一樣(切線水平或垂直),最底端的張力不一樣,以及體系重力勢能和安培力對應的勢能之和不一樣,懸鏈線形狀存在多種可能性.

    1 于鳳軍,崔金玲,李立新.利用平衡原理導出懸鏈線方程.工科物理,1998 ,8(4):14 ~16

    2 李玉良 黃湘茹.勻質(zhì)懸鏈幾何形狀的力學研究.物理與工程,2013 ,23 (1):8~10

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