KUKA 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)仿真與實(shí)驗(yàn)研究*

陳 桂，王建紅，湯玉東

(南京工程學(xué)院 自動化學(xué)院，南京 211167)

0 引言

機(jī)器人的運(yùn)動仿真是機(jī)器人技術(shù)的一個(gè)重要組成部分。通過建立機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型，進(jìn)行機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)分析，逆運(yùn)動學(xué)解算和軌跡規(guī)劃，從而分析機(jī)器人的運(yùn)動性能，是機(jī)器人研究與應(yīng)用的一個(gè)重要手段和工具。利用計(jì)算機(jī)可視化和面向?qū)ο蟮氖侄?，通過仿真來模擬機(jī)器人的動態(tài)特性，幫助研究人員了解機(jī)器人工作空間的形態(tài)及極限，驗(yàn)證控制方案和算法的合理性，及時(shí)找出缺點(diǎn)和不足，進(jìn)行改進(jìn)，避免了直接操作實(shí)體可能造成的事故和不必要的損失，這必將使得機(jī)器人的研究、生產(chǎn)和研究進(jìn)入一個(gè)可預(yù)知的新時(shí)代。

對于機(jī)器人運(yùn)動學(xué)的研究，國內(nèi)外相關(guān)的文獻(xiàn)［1-3］中，大多停留在仿真研究階段。本文則選用目前在工業(yè)機(jī)器人中最常用的KUKA 六軸機(jī)器人作為模型對象，在MATLAB 環(huán)境下進(jìn)行仿真，不僅以圖形和曲線直觀展示機(jī)器人各關(guān)節(jié)軸的運(yùn)動狀態(tài)，而且將仿真結(jié)果應(yīng)用于KUKA KR6-2 機(jī)器人實(shí)際的運(yùn)動控制，從而驗(yàn)證控制方案和算法的有效性。

1 KUKA 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)建模

1.1 機(jī)器人D-H 模型

為了描述機(jī)器人相鄰桿件之間的旋轉(zhuǎn)和移動關(guān)系，Denvit 和Hartenberg 于1955 年提出了一種為關(guān)節(jié)鏈中的每一個(gè)桿件建立附體坐標(biāo)系的矩陣方法― D-H方法。該方法是為每個(gè)關(guān)節(jié)處的桿件坐標(biāo)系建立4 ×4 的齊次變換矩陣，以表示它與前一桿件坐標(biāo)系的關(guān)系［4］。對于剛性桿件，其D-H 表示法取決于桿件的以下4 個(gè)參數(shù):繞Zi-1軸(按右手規(guī)則)由Xi-1軸轉(zhuǎn)向Xi軸的關(guān)節(jié)角θi;從Xi-1軸到Xi軸沿Zi-1軸的偏置距離di;從Zi-1軸到Zi軸沿Xi軸的偏置距離(連桿的長度)ai;以及繞Xi軸(按右手規(guī)則)由Zi-1軸轉(zhuǎn)向Zi軸的偏角(連桿的扭轉(zhuǎn)角)αi。

KUKA KR 6-2 機(jī)器人是德國庫卡公司生產(chǎn)的一種六軸工業(yè)機(jī)器人，由于它的靈活性，可以廣泛應(yīng)用于搬運(yùn)、組裝、機(jī)加工等多種領(lǐng)域。其結(jié)構(gòu)簡圖和相關(guān)參數(shù)如圖1。根據(jù)圖1 所示的結(jié)構(gòu)簡圖，依據(jù)機(jī)器人后置坐標(biāo)的D-H 參數(shù)表示法，可得出該機(jī)器人的D-H 參數(shù)見表1。

圖1 KUKA KR6-2 機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡圖及參數(shù)

表1 KUKA KR 6-2 機(jī)器人D-H 參數(shù)

根據(jù)表1 中的D-H 參數(shù)，首先分別建立6 個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)模型:然后組合成含有此6 個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的機(jī)器人，并命名為’kr6’。設(shè)定初始位置為(0，pi/2，0，0，pi，0)，可以畫出表示該機(jī)器人位置的三維圖，如圖2。

圖2 KUKA KR6-2 機(jī)器人三維結(jié)構(gòu)圖

2 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)求解與軌跡規(guī)劃

MATLAB 作為一種仿真工具，其強(qiáng)大的數(shù)值分析、矩陣計(jì)算能力和豐富的圖形界面功能，為在眾多科學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)提供了全面的解決方案。同時(shí)Peter Corke 開發(fā)的基于MATLAB 環(huán)境的Robotics Toolbox 工具箱更為機(jī)器人的建模分析和仿真研究提供了更為便利的手段［6］。

2.1 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)正解

根據(jù)機(jī)器人后置坐標(biāo)變換法定義，相鄰兩個(gè)坐標(biāo)系的變換可以分解成下列4 個(gè)子變換:

(1)繞Zi軸轉(zhuǎn)動θi;

(2)沿Zi軸移動di;

(3)沿Xi-1軸移動ai;

(4)繞Xi-1軸轉(zhuǎn)動αi;

運(yùn)用矩陣變換的公式則可以表示為:

根據(jù)表1 中的ai，αi，di，θi四個(gè)參數(shù)，由于該機(jī)器人關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，因此θi為關(guān)節(jié)變量，ai，αi，di，為常量，由具體的機(jī)器人參數(shù)確定。從而，可以推導(dǎo)出相鄰兩個(gè)坐標(biāo)系的齊次變換矩陣:

對于具有6 個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的KUKA KR6-2 機(jī)器人而言，其末端執(zhí)行器的位置可以通過如下的變化得到:

如果已知機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動參數(shù)(θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6)，代入式(2)和(3)中，得到如式(4)所示的齊次矩陣，即可得出機(jī)器人的末端執(zhí)行器所在的姿態(tài)R(nx，ny，nz，ox，oy，oz，ax，ay，az)和位置P(px，py，pz)，從而可以進(jìn)行機(jī)器人運(yùn)動的分析，這是機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)正解問題。

在MATLAB 中，給定關(guān)節(jié)角度，運(yùn)行運(yùn)動學(xué)正解函數(shù)fkine()，可得機(jī)器人的空間位姿。如設(shè)關(guān)節(jié)角度為(pi/4，pi/2，pi/8，pi/2，7*pi/6，pi/2)，則求得空間位姿矩陣T2 如下:

表示機(jī)器人的位置為(0.6365，0.7178，1.6818)，姿 態(tài) 是(- 0.2706，- 0.2706，0.9239，0.9390，-0.2857，0.1913，0.2122，0.9193，0.3314)。

2.2 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)逆解

從上面分析可知，機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)逆解問題就是已知機(jī)器人末端執(zhí)行器的位姿(nx，ny，nz，ox，oy，oz，ax，ay，az，px，py，pz)，求出機(jī)器人各關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量(θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6)。也就是由笛卡爾空間到關(guān)節(jié)空間的非線性映射問題。求解運(yùn)動學(xué)逆解問題的方法有幾何法、反變換法、數(shù)值迭代法以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等。在運(yùn)動學(xué)逆解的求取過程中，要考慮到機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動的奇異位形問題。

對于機(jī)器人位姿矩陣，運(yùn)行MATLAB 運(yùn)動學(xué)逆解函數(shù)ikine()，可以得到在該位姿下機(jī)器人的各關(guān)節(jié)角度。如設(shè)機(jī)器人的空間位姿如圖2 所示，則其位姿齊次變換矩陣T 為:

運(yùn)動學(xué)逆解后求得的關(guān)節(jié)角度為(以弧度為單位):

這個(gè)結(jié)果與圖2 設(shè)定的初始位置的關(guān)節(jié)角度(0，pi/2，0，0，pi，0)是一致的。

由于在運(yùn)動學(xué)逆解的求取過程中，用到矩陣的逆運(yùn)算和反三角函數(shù)運(yùn)算，因此運(yùn)動學(xué)逆解可能不唯一。同時(shí)，因?yàn)镽obotics Toolbox 運(yùn)用數(shù)值迭代法求解運(yùn)動學(xué)逆問題，會出現(xiàn)迭代不收斂的情況，從而無法得出某一位姿下的機(jī)器人關(guān)節(jié)角度。運(yùn)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法等智能算法進(jìn)行機(jī)器人運(yùn)動學(xué)逆解的求取也是近年來的研究趨勢［7-8］。

2.3 軌跡規(guī)劃

機(jī)器人的軌跡規(guī)劃是根據(jù)機(jī)器人要完成的任務(wù)，根據(jù)一定的約束條件，設(shè)計(jì)機(jī)器人在起點(diǎn)和終點(diǎn)之間各關(guān)節(jié)的運(yùn)動規(guī)律，包括位姿、速度和加速度等，它是運(yùn)動學(xué)反解(位姿反解、速度、加速度反解)的實(shí)際應(yīng)用［4］。機(jī)器人的軌跡優(yōu)化是用樣條函數(shù)來擬合機(jī)器人的軌跡運(yùn)動策略，也是研究的熱門領(lǐng)域［9-10］。

軌跡規(guī)劃主要有兩種形式:點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動(PTP)的軌跡規(guī)劃和連續(xù)點(diǎn)運(yùn)動(CP)的軌跡規(guī)劃。軌跡規(guī)劃既可在關(guān)節(jié)變量空間中進(jìn)行，也可在笛卡爾空間進(jìn)行［11］。對于關(guān)節(jié)變量空間的規(guī)劃，要規(guī)劃關(guān)節(jié)變量的時(shí)間函數(shù)及其一階、二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)，以便描述末端執(zhí)行器的預(yù)定運(yùn)動。在笛卡爾空間規(guī)劃中，要規(guī)劃機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置、速度和加速度的時(shí)間函數(shù)，而相應(yīng)的關(guān)節(jié)位置、速度和加速度可根據(jù)末端執(zhí)行器的信息導(dǎo)出。

2.4 軌跡規(guī)劃仿真

本仿真以點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動(PTP)的軌跡規(guī)劃為例，選用機(jī)器人的初始位姿A點(diǎn)為軌跡起始點(diǎn)，位姿矩陣為TA，B點(diǎn)為終點(diǎn)，位姿矩陣為TB。機(jī)器人在起始點(diǎn)的各關(guān)節(jié)角度如圖2 所示。在軌跡規(guī)劃時(shí)，需要得出機(jī)器人從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的過程中，各關(guān)節(jié)的角度、速度、加速度的變化情況以及機(jī)器人末端執(zhí)行器的運(yùn)動軌跡。選取軌跡起點(diǎn)的初始位姿如圖2 所示，其位姿矩陣TA=T，軌跡終點(diǎn)的位姿矩陣TB=T2。

首先根據(jù)機(jī)器人的初始位姿TA運(yùn)用運(yùn)動學(xué)逆解算法，得出初始關(guān)節(jié)角度q0，再根據(jù)終點(diǎn)位姿TB得到終點(diǎn)關(guān)節(jié)角度qf，然后綜合考慮機(jī)器人運(yùn)動中的一系列約束條件進(jìn)行插值計(jì)算，可以得出機(jī)器人各關(guān)節(jié)的角度變化軌跡，分別進(jìn)行一階和二階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可以得出各關(guān)節(jié)的速度和加速度變化曲線。假設(shè)機(jī)器人自q0 到qf的時(shí)間為4.5s，插值步長取50ms。各關(guān)節(jié)角度、速度和加速度變化曲線分別如圖3，圖4 和圖5 所示。同理，若要在笛卡爾空間進(jìn)行軌跡規(guī)劃，則用節(jié)點(diǎn)間的最簡單路徑法即在空間的一個(gè)直線移動和繞某定軸的轉(zhuǎn)動表示，從而得出機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置變化軌跡如圖6。

圖3 各關(guān)節(jié)角度變化曲線

圖3 中的各關(guān)節(jié)角度變化曲線只有5 條，表明在該點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡運(yùn)動中，有兩個(gè)關(guān)節(jié)的角度變化相同，根據(jù)初始位姿和終點(diǎn)位置的運(yùn)動學(xué)逆解可知，關(guān)節(jié)4和關(guān)節(jié)6 的角度變化相同。

圖4 各關(guān)節(jié)速度變化曲線

圖5 各關(guān)節(jié)加速度變化曲線

圖6 末端執(zhí)行器的運(yùn)動軌跡

圖4 的各關(guān)節(jié)速度變化曲線和圖5 的加速度變化曲線都是連續(xù)的，表明機(jī)器人在從A點(diǎn)到B點(diǎn)的運(yùn)動過程中，速度和加速度沒有突變，在整個(gè)軌跡運(yùn)動過程中不存在奇異點(diǎn)。

3 機(jī)器人軌跡運(yùn)動實(shí)驗(yàn)

在實(shí)驗(yàn)室設(shè)置KUKA KR6-2 機(jī)器人按照上述仿真的初始點(diǎn)和終點(diǎn)進(jìn)行實(shí)際的運(yùn)動控制。將機(jī)器人的位置信息保存在‘. dat’文件中，在MATLAB 中讀取該文件，將實(shí)際機(jī)器人進(jìn)行點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動的空間位置變化情況用曲線表現(xiàn)出來，并與MATLAB 中建立的模型軌跡運(yùn)動進(jìn)行比較。如圖7，黑色曲線表示仿真規(guī)劃中的運(yùn)動軌跡，該規(guī)劃算法采用最短路徑規(guī)劃。紅色曲線則表示機(jī)器人實(shí)際運(yùn)動軌跡。

圖7 模型與實(shí)際機(jī)器人的運(yùn)動軌跡

由圖7 可知，機(jī)器人末端執(zhí)行器在初始位置和終點(diǎn)位置時(shí)刻仿真結(jié)果和實(shí)際機(jī)器人的位置完全一致，從而也驗(yàn)證了機(jī)器人點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡跟蹤運(yùn)動只是在給定的路徑點(diǎn)上能夠保證機(jī)器人末端到達(dá)期望位姿，而在各個(gè)路徑點(diǎn)之間不能保證機(jī)器人末端到達(dá)期望位姿。

4 結(jié)論

機(jī)器人運(yùn)動學(xué)的研究與仿真技術(shù)一直是機(jī)器人領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題，本文在MATLAB 環(huán)境下，運(yùn)用Robotics Toolbox 工具箱構(gòu)建KUKA 機(jī)器人模型，進(jìn)行運(yùn)動學(xué)仿真、逆運(yùn)動學(xué)求解和軌跡規(guī)劃，并且以圖形方式顯示機(jī)器人在笛卡爾空間和關(guān)節(jié)空間的運(yùn)動規(guī)律，能夠在計(jì)算機(jī)上驗(yàn)證機(jī)器人是否準(zhǔn)確按照期望軌跡運(yùn)動。通過實(shí)驗(yàn)證明，所建立的機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程正確，采用仿真分析的方法對減少機(jī)器人產(chǎn)品開發(fā)成本，縮短開發(fā)周期，具有非常高的現(xiàn)實(shí)意義。

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