探究時間常量的公式與含義

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

時間常量是高等學(xué)校教材如電子線路、電工基礎(chǔ)和電磁學(xué)中與暫態(tài)電路密切相關(guān)的一個比較重要的物理量.暫態(tài)電路的充電或放電過程屬于瞬態(tài)過程，而時間常量是瞬態(tài)過程的一個特征量，不同的瞬態(tài)過程具有不同的時間常量公式.下面按3種情況舉例分析.

1 在線性力作用下的物體做變速直線運(yùn)動過程的時間常量

包括兩種情形，一是物體受恒定動力和線性阻力共同作用的變加速直線運(yùn)動過程；二是物體只受線性阻力作用的變減速直線運(yùn)動過程，都為瞬態(tài)過程.而線性力是指與速度成正比的力f=kv.

【例1】如圖1所示，光滑U型金屬導(dǎo)軌PQMN水平固定在豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)軌的寬度為l，QM之間接有阻值為R的電阻，其余部分電阻不計.一質(zhì)量為m，電阻也為R的金屬棒ab放在導(dǎo)軌上，給棒一個水平向右的初速度v0使之開始滑行，最后停在導(dǎo)軌上.由以上條件，在此過程中可求出的物理量有[1]

圖1

A.在電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱

B.通過電阻R的總電荷量

C.ab棒的運(yùn)動位移

D.ab棒的運(yùn)動時間

解析[2]：由能量守恒定律可知焦耳熱為

金屬棒所受合外力為安培力

F=Bli

電流隨時間而變化，則安培力對時間的平均值為

由動量定理有

可得總電荷量為

電路中的電流為

金屬棒受到的安培力為

令

則安培力的沖量為

因此由動量定理有

-ks=0-mv0

所以位移為

故答案為選項(xiàng)A，B，C.

那么“選項(xiàng)D”為什么不可求？下面進(jìn)行分析.

由牛頓第二定律列微分方程為

可變形為常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式

穩(wěn)態(tài)速度為v=0，利用瞬態(tài)過程的結(jié)論[3]可得速度與時間的關(guān)系式為

圖2

利用積分公式

可知圖像與坐標(biāo)軸在區(qū)間[0,t]上圍成圖形的面積為

(1)

因此在全區(qū)間的最大面積為

這表明，按指數(shù)規(guī)律遞減的速度圖像的面積即位移等于速度初始值與時間常量之積.

在數(shù)學(xué)上，運(yùn)動時間趨于無窮大，但運(yùn)動位移卻為有限值.這與無窮遞減等比數(shù)列的和相似，如

雖然項(xiàng)數(shù)無限，但其和為定值1[2].

對于

由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可知

(2)

可見式(1)、(2)相似，都為遞減指數(shù)函數(shù)，因此只有當(dāng)自變量無限大時，和才為有限值.由于關(guān)系式中的時間變量在數(shù)學(xué)上為無窮大，所以不可求.

2 暫態(tài)電路充電和放電過程的時間常量

2.1 RL暫態(tài)電路

【例2】如圖3所示為RL串聯(lián)電路，電阻R與純電感線圈串聯(lián)，線圈的自感系數(shù)為L，直流電源內(nèi)電阻不計，那么當(dāng)閉合開關(guān)的瞬時，電路中的電流將如何變化呢[4]？

圖3

解析：當(dāng)開關(guān)S閉合后，由于電路中的電流從無到有，突然增大，則線圈產(chǎn)生自感電動勢為

它將阻礙線圈中電流的增大，使電流不能立刻達(dá)到最大值，而是經(jīng)歷一定的時間才能達(dá)到最大值，所以電流的變化過程是瞬態(tài)過程.由基爾霍夫電壓定律列出回路電壓方程為

E-UR-UL=0

即

變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式

i=i+(i

對函數(shù)關(guān)系式取導(dǎo)數(shù)并將t=0代入，可得過圖像起點(diǎn)切線的斜率為

表明圖像的切線與漸近線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為τ，等于時間常量.

圖4

對于指數(shù)函數(shù)

x=x+(x0-x

若x=0，則有

如高中的斷電自感實(shí)驗(yàn)，在斷開電源之后，通過線圈的感應(yīng)電流變化規(guī)律為

其中

可見，放電電流隨著時間變化的關(guān)系為單調(diào)遞減，其圖像與圖2相似.從數(shù)學(xué)角度來看，斷電后感應(yīng)電流持續(xù)的時間無限長；而在實(shí)際上，經(jīng)過時間5τ時，感應(yīng)電流i=0.006 7i0，一般就可以認(rèn)為電流已減弱為零了，即感應(yīng)時間也是有限的，所以物理上把這一過程稱之為暫態(tài)過程[1].

對于指數(shù)函數(shù)

x=x+(x0-x

若

x0-x=b>0

則

x=x

表明圖像起點(diǎn)的切線與漸近線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時間常量τ.

圖5

所以，瞬態(tài)過程的變量隨時間呈指數(shù)規(guī)律變化的圖像是以x=x=f()為漸近線的指數(shù)曲線，指數(shù)曲線起點(diǎn)的切線與漸近線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時間常量τ.若從變化率的角度而言，則初始變化率等于變化量的最大值與時間常量之比.

如圖4中的A點(diǎn)，當(dāng)t=τ時，有

則iA=0.63i.這表明，時間常量是表示瞬態(tài)過程的變量已經(jīng)變化了總量(瞬態(tài)過程變化量的最大值)的63%所經(jīng)歷的時間[4].

由于最大變化量x，x0或b=x0-x是一定的，則時間常量τ越小，指數(shù)曲線就越陡直，變量的變化就越快；反之，時間常量τ越大，指數(shù)曲線就越平緩，變量的變化就越慢.因此時間常量是反映瞬態(tài)過程變化快慢的物理量.

以上幾方面是暫態(tài)電路時間常量的含義，也是瞬態(tài)過程中時間常量的含義.

2.2 RC暫態(tài)電路

【例3】如圖6所示的閃光燈電路中，電源的電動勢為E，電容器的電容為C，當(dāng)閃光燈兩端電壓達(dá)到擊穿電壓U時，閃光燈才有電流通過并發(fā)光，正常工作時，閃光燈周期性短暫閃光，求電容器兩端的電壓uC如何變化.試畫出uC-t圖像[5].

圖6

解析：(1)在電容器充電過程中，閃光燈相當(dāng)于開路，電容器與電阻R串聯(lián)，組成RC串聯(lián)電路.

已知電容器電壓的初始值為u0=0，當(dāng)瞬時值為uC時，電容器中增加的電荷量為q=CuC，則充電電流為

對RC串聯(lián)電路由閉合電路的歐姆定律有E=iR+uC.即

這是關(guān)于uC的一階常系數(shù)微分方程.由此可知電壓穩(wěn)態(tài)值為u=E，時間常量為τ=RC，而電容器電壓的初始值為u0=0，利用瞬態(tài)過程的結(jié)論可知電容器兩端電壓隨時間的變化規(guī)律為

表明在充電過程中電容器兩端電壓隨時間按指數(shù)規(guī)律變化.

那么電壓的最大值和最小值分別是多少呢？下面通過圖像來說明.

閃光燈與電容器并聯(lián)，其兩端電壓等于電容器兩端電壓.在RC串聯(lián)電路充電過程中，當(dāng)電容器兩端電壓升高到一定值U2時，閃光燈開始導(dǎo)通，相當(dāng)于開關(guān)閉合，電容器開始放電，因此電壓的最大值為U2.

當(dāng)閃光燈導(dǎo)通時，電容器開始放電，相當(dāng)于整個電路有兩個電源，但由于導(dǎo)通電阻r比分壓電阻R小得多，因此可近似認(rèn)為電阻R起斷路作用，將電源E與電容器隔離，那么電容器與閃光燈組成rC串聯(lián)電路，在閃光燈中產(chǎn)生放電電流，即

則由閉合電路的歐姆定律有uC=ir，即

可知時間常量為τ=rC，而放電初始電壓為U2，所以電容器兩端電壓隨時間的變化規(guī)律為

圖7

3 原子核衰變過程的時間常量

【例4】放射性強(qiáng)度定義為放射性物質(zhì)在單位時間內(nèi)發(fā)生衰變的原子核的數(shù)目，由統(tǒng)計規(guī)律可知，當(dāng)原子核數(shù)目足夠大時，在衰變過程中，放射性強(qiáng)度跟當(dāng)時存在的原子核數(shù)目成正比，其比例常數(shù)用λ表示，稱為衰變常量.天然銣由穩(wěn)定同位素85Rb(占72.15%)和放射性同位素87Rb(占27.85%)組成，具有放射性，已知RbCl的分子量為120.92，由阿伏伽德羅常數(shù)可推出1 g的RbCl含有87Rb的初始原子核數(shù)N0.若實(shí)驗(yàn)測得質(zhì)量為1 g的RbCl的放射性強(qiáng)度是I0，試求87Rb在衰變過程中的衰變常量λ,時間常量τ,半衰期T和平均壽命t0(都用N0和I0表示)[6].

解析：設(shè)某時刻未衰變的放射性原子核總數(shù)為N，在很短時間dt內(nèi)，原子核的變化量為dN，因衰變時原子核數(shù)目減少，則增量dN為負(fù)值，帶上負(fù)號為正值，故原子核數(shù)變化率應(yīng)為

可得關(guān)于變量N的一階常系數(shù)線性微分方程為

可知穩(wěn)態(tài)值為f()=0，時間常量等于衰變常量的倒數(shù).

設(shè)初始值為f(0)=N0，利用瞬態(tài)過程的結(jié)論可知微分方程的解為

這就是原子核剩余量N隨時間t變化的關(guān)系即衰變規(guī)律的表達(dá)式，稱為衰變定律[7]，圖像如圖8所示.

圖8

放射性強(qiáng)度即放射性原子核數(shù)目的變化率為

即I0=λN0.已知實(shí)驗(yàn)測得質(zhì)量為1 g的RbCl的放射性強(qiáng)度是I0，只有其中的87Rb具有放射性，因此87Rb的初始放射性強(qiáng)度是I0.而1 g的RbCl含有87Rb的初始原子核數(shù)N0，所以87Rb在衰變過程中的衰變常量為

那么時間常量為

每經(jīng)過一個半衰期的時間，原子核數(shù)量衰變一半，則剩余量為

可得87Rb的半衰期為

從衰變圖像可知，對于一定數(shù)量的原子核，在整個衰變過程中，有的一開始就衰變了，存在的時間為零，則其壽命為零；有的經(jīng)過時間為τ時發(fā)生衰變，存在的時間為τ，則其壽命為τ；有的很久才衰變，存在的時間很長，則壽命很長；有極少數(shù)的經(jīng)過無限長的時間發(fā)生衰變，則壽命為無限長.把各原子核衰變前存在時間的平均值，即放射性元素組成物質(zhì)的原子核壽命的平均值，稱為放射性元素的平均壽命[7].從物理量的角度而言，對一個研究對象的過程量取平均值沒有意義，但這里的時間是各原子核對應(yīng)的時間，因此可以取平均值，即為整個衰變過程中各原子核存在時間的平均值.

在圖8中，遞減指數(shù)圖像與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積為S=N0τ，而矩形面積為S=N0t0，由二者相等可得時間的平均值為t0=τ，所以原子核的平均壽命在數(shù)值上等于衰變過程的時間常量，即

雖然衰變時間為無窮大，但圖像面積卻為定值，即原子核衰減圖像的面積等于初始值與時間常量之積.

以上幾方面是原子核衰變過程時間常量的含義.

由圖2和圖5可知，指數(shù)曲線與縱軸和漸近線圍成圖形的面積，等于變化量的最大值與時間常量之積，而且過曲線起點(diǎn)的切線平分該面積，這是指數(shù)瞬態(tài)過程時間常量的含義.

參考文獻(xiàn)

1 錢愛華.運(yùn)動時間是無限還是有限.物理通報，2013(1):128

2 丁廣華.運(yùn)動時間為什么不可求？物理教師，2012(3)：59

3 鄭金.利用結(jié)論巧解“甲蟲和橡膠帶”問題.物理通報，2012(4):61

4 周紹敏.電工基礎(chǔ)(第三版).北京：高等教育出版社，2005.82，133

5 何勇軍.例談含電感與電容類電路問題的解題策略.中學(xué)物理，2012(1)：59

6 羅維治.新編物理奧林匹克教程.長沙：湖南師范大學(xué)出版社，2001.530

7 曹良騰.對原子核衰變的小議.物理教學(xué)，1992(11):34