有關(guān)盧卡斯數(shù)列的充要條件和性質(zhì)研究

衛(wèi) 紅, 藺小林

(1.陜西科技大學(xué) 信息與網(wǎng)絡(luò)管理中心， 陜西 西安 710021; 2.陜西科技大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710021)

0 引言

在經(jīng)濟(jì)控制論[1,2]、生態(tài)數(shù)學(xué)、金融理論[3]和組合數(shù)學(xué)[4]研究中, 經(jīng)常會(huì)遇到斐波那契(Fibonacci)數(shù)列和盧卡斯(Lucas)數(shù)列以及相關(guān)內(nèi)容等.對斐波那契數(shù)列和盧卡斯數(shù)列的通項(xiàng)公式的研究一直沒有停止過，許多學(xué)者[5]應(yīng)用多種方法來探求他們通項(xiàng)公式的表示方式，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法和前面幾項(xiàng)之間的關(guān)系來推導(dǎo)他們的一些性質(zhì)[6-11].本文通過用一個(gè)一元二次方程兩個(gè)根的n次方的和來表示盧卡斯數(shù)列的通項(xiàng)公式，給出了盧卡斯數(shù)列的一些性質(zhì)，同時(shí)，探討了斐波那契數(shù)列和盧卡斯數(shù)列性質(zhì)之間的一些相互聯(lián)系.

為了表述方便起見，我們給出斐波那契數(shù)列和盧卡斯數(shù)列的定義.

定義1設(shè)F0=1，F(xiàn)1=1，則滿足關(guān)系式Fn+2=Fn+1+Fn(n=0,1,2,…)的數(shù)列{Fn}稱為斐波那契數(shù)列.

定義2設(shè)L0=2，L1=1，則滿足關(guān)系式Ln+2=Ln+1+Ln(n=0,1,2,…)的數(shù)列{Ln}稱為盧卡斯數(shù)列.

1 主要結(jié)論

對盧卡斯數(shù)列進(jìn)行分析，聯(lián)系到一元二次方程x2-x-1=0的兩個(gè)根，我們得到如下有關(guān)盧卡斯數(shù)列通項(xiàng)公式的一個(gè)充分必要條件.

定理設(shè)α，β是一元二次方程x2-x-1=0的兩個(gè)根，則數(shù)列{Ln}的通項(xiàng)是Ln=αn+βn(n=0,1,2,…)的充分必要條件是數(shù)列{Ln}中任意三項(xiàng)滿足關(guān)系式Ln+2=Ln+1+Ln(n=0,1,2,…)，并且L0=2,L1=1.

證明：必要性 因?yàn)棣?，β是一元二次方程x2-x-1的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可知：α+β=1，αβ=-1，所以αn+2+βn+2=(α+β)(αn+1+βn+1)-(αβ)(αn+βn)=(αn+1+βn+1)+(αn+βn)

故有

Ln+2=Ln+1+Ln，

在Ln=αn+βn中，令n=0,n=1可得L0=2，L1=1，必要性證畢.

充分性 若L0=2，L1=1，且數(shù)列{Ln}中任意三項(xiàng)滿足Ln+2=Ln+1+Ln，即

Ln+2-Ln+1-Ln=0

(1)

猜想滿足等式(1)的數(shù)列通項(xiàng)應(yīng)該具有如下形式

(2)

其中c1，c2，r1,r2是待定非零常數(shù)，把(2)帶入(1)，得到

(3)

由于c1，c2，r1,r2是非零常數(shù)，所以要(3)式成立，只要下式(4)成立即可，即

R2-R-1=0

(4)

R可以是r1或r2，記(4)式的兩個(gè)實(shí)根分別是α和β，則

Ln=c1·αn+c2·βn

(5)

再根據(jù)L0=2，L1=1來確定(5)中的常數(shù)c1和c2，得

(6)

注意到α+β=1和αβ=-1，從(6)式中容易求得c1=c2=1，因此

Ln=αn+βn(n=0,1,2,…)

充分性證畢.

2 盧卡斯數(shù)列的一些性質(zhì)

根據(jù)上面定理的充分必要條件，容易得到盧卡斯數(shù)列的一些性質(zhì).

性質(zhì)1(盧卡斯數(shù)列的黃金分割數(shù)).

而

所以

即

因此

性質(zhì)2(盧卡斯數(shù)列前n+1項(xiàng)和公式).

證明：

性質(zhì)3(盧卡斯數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)和公式).

證明：

L2n+1+1.

性質(zhì)4(盧卡斯數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和公式)

證明：

α2(n+1)+β2(n+1)-2=

L2n+2-2.

性質(zhì)5(盧卡斯數(shù)列n+1項(xiàng)交錯(cuò)和公式)

證明：

(-1)n+1Ln-1+3.

性質(zhì)6(盧卡斯數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)交錯(cuò)和公式)

證明：

(-1)nF2n+1.

性質(zhì)7(盧卡斯數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)交錯(cuò)和公式)

證明：

性質(zhì)8(盧卡斯數(shù)列前n+1項(xiàng)平方和公式)

證明：因?yàn)?/p>

而

1+(-1)n.

因此

性質(zhì)9(盧卡斯數(shù)列前n+1項(xiàng)立方和公式)

證明：

證明：

F4n+1+4(-1)nF2n+6n+11.

證明：

(-1)nF2n+2n+3.

證明：

證明：

證明：

LnLn+4+Ln+1Ln+3=(αn+βn)(αn+4+βn+4)+

(αn+1+βn+1)(αn+3+βn+3)=

2α2n+4+2β2n+4+(-1)n(β4+α4-β2-α2)=

2α2n+4+2β2n+4+(-1)n(β3+α3)=

2α2n+4+2β2n+4+(-1)n(β2+1+α2)=

2α2n+4+2β2n+4+(-1)n(β+α+3)=

2α2n+4+2β2n+4+4(-1)n=

2α2n+4+2β2n+4+4αn+2βn+2=

性質(zhì)15LnLn+4-Ln+1Ln+3=10(-1)n.

證明：

LnLn+4-Ln+1Ln+3=(αn+βn)(αn+4+βn+4)-

(αn+1+βn+1)(αn+3+βn+3)=

αnβn+4+βnαn+4-αn+1βn+3-βn+1αn+3=

(-1)n(β4+α4+β2+α2)=

(-1)n(3β2+β+3α2+α)=

(-1)n(4β+3+4α+3)=10(-1)n

3 斐波那契數(shù)列與盧卡斯數(shù)列性質(zhì)之間的聯(lián)系

Ln=αn+βn(n=0,1,2,…),

斐波那契數(shù)列與盧卡斯數(shù)列性質(zhì)之間有如下的相互聯(lián)系.

性質(zhì)16Ln=4Fn-Fn+2.

證明：因?yàn)棣粒率欠匠蘹2-x-1=0的兩個(gè)根，因此α+β=1，同時(shí)有α2=α+1，則4α-α3=α-β，4β-β3=β-α，故

αn+βn.

性質(zhì)17Ln+Ln+2=5Fn.

證明：

Ln+Ln+2=αn+βn+αn+2+βn+2=

αn(1+α2)+βn(1+β2)=

性質(zhì)18LnLn+k+1-Ln+1Ln+k=5Fk-1(-1)n.

證明：

LnLn+k+1-Ln+1Ln+k=(αn+βn)(αn+k+1+βn+k+1)-

(αn+1+βn+1)(αn+k+βn+k)=

(-1)nβk+1+(-1)nαk+1-(-1)nαβk-

(-1)nβαk=(-1)nβk(β-α)+

5(-1)nFk-1.

證明：因?yàn)?/p>

α2n+β2n+2(-1)n+α2n+2+

β2n+2+2(-1)n+1=

α2n(1+α2)+β2n(1+β2)=

而

α2n+4+β2n+4+2(-1)n+2-

α2n-β2n-2(-1)n=

α2n(α4-1)+β2n(β4-1)=

性質(zhì)20FnLn+1+Fn+1Ln+2=L2n+3.

證明：

α2n+3+β2n+3=L2n+3.

4結(jié)論

盧卡斯數(shù)列相連三項(xiàng)之間所滿足的關(guān)系，實(shí)際上就是一個(gè)二階差分方程，根據(jù)差分方程的求解，容易得到盧卡斯數(shù)列的充分必要條件.在盧卡斯數(shù)列通項(xiàng)公式基礎(chǔ)上，得到了盧卡斯數(shù)列的一些經(jīng)典性質(zhì).這些經(jīng)典性質(zhì)的一部分在其他一些文獻(xiàn)中出現(xiàn)過，只不過那些文獻(xiàn)所用證明方法大部分用數(shù)學(xué)歸納法證明.本文僅用盧卡斯數(shù)列通項(xiàng)公式就很容易證明這些，當(dāng)然，還可以推證出盧卡斯數(shù)列其他更多的一些性質(zhì)，由于篇幅有限，在此不再一一列出，有興趣的讀者可以進(jìn)行嘗試.

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