含二次矩及記憶強(qiáng)度的做市商資產(chǎn)定價(jià)模型

堅(jiān)紅玲

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830046)

含二次矩及記憶強(qiáng)度的做市商資產(chǎn)定價(jià)模型

堅(jiān)紅玲

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830046)

討論了在做市商機(jī)制下，當(dāng)圖表分析者的條件期望及方差均是加權(quán)移動(dòng)平均過(guò)程時(shí)的基于基本面分析者及圖表分析者的行為資產(chǎn)定價(jià)模型。同時(shí)在市場(chǎng)分?jǐn)?shù)中引入了記憶強(qiáng)度，通過(guò)穩(wěn)定性和分支分析，討論了記憶強(qiáng)度、加權(quán)過(guò)程及時(shí)變二次矩過(guò)程對(duì)模型穩(wěn)定性和分支的影響。

異質(zhì)性念;二次矩;記憶強(qiáng)度;穩(wěn)定性

以有效市場(chǎng)假說(shuō)為前提，以現(xiàn)代資產(chǎn)組合金融理論為基石建立起來(lái)的傳統(tǒng)資產(chǎn)定價(jià)理論已具有完備的理論框架，但實(shí)證研究表明該理論還有不符合實(shí)際情況的地方。行為金融學(xué)通過(guò)引入投資者在價(jià)格預(yù)期方面存在的意見(jiàn)分歧來(lái)構(gòu)建基于投資者異質(zhì)信念的均衡資產(chǎn)定價(jià)模型，解釋了大量金融理論所無(wú)法解釋的金融異象，同時(shí)也表明了在投資者異質(zhì)信念下資產(chǎn)定價(jià)研究的重要性。

大量資產(chǎn)價(jià)格模型是建立在代表性交易者及理性預(yù)期的極度信息假設(shè)之上。金融資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)力學(xué)是將交易者的異質(zhì)性與有限理性相結(jié)合。早期MarkB.Garman［1］，Day和Huang［2］等引入了有限理性，隨后Brock和Hommes［3－4］引入自適應(yīng)理性均衡的概念。有限理性的交易者能夠根據(jù)過(guò)去行為結(jié)果選擇不同的交易策略，這種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)能產(chǎn)生復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。Chiarella和He［5－7］對(duì)文獻(xiàn)［4］的模型進(jìn)行了擴(kuò)展，在瓦爾拉斯拍賣(mài)人機(jī)制和做市商機(jī)制下考慮時(shí)變(同質(zhì))方差、異質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)、學(xué)習(xí)過(guò)程的情況，研究了相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度、不同的學(xué)習(xí)機(jī)制、不同的市場(chǎng)出清機(jī)制對(duì)資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)力學(xué)的影響。Gaunerdorfer［8－9］在適應(yīng)性函數(shù)中引入了穩(wěn)定性因素，考慮了時(shí)變方差、技術(shù)交易規(guī)則僅與最近觀察價(jià)格有關(guān)，在市場(chǎng)分?jǐn)?shù)中加入了補(bǔ)償函數(shù)，兩者都能阻止價(jià)格產(chǎn)生投機(jī)泡沫。Roberto Dieci［10］討論了極限幾何衰減過(guò)程下市場(chǎng)分?jǐn)?shù)為固定和時(shí)變時(shí)的價(jià)格動(dòng)力學(xué)。Carl［11］引入了不同于文獻(xiàn)［10］的另一學(xué)習(xí)過(guò)程，同時(shí)表明這種二次矩能改變非線性動(dòng)力學(xué)的結(jié)果。MiroslavVerbi cˇ［12］在市場(chǎng)分?jǐn)?shù)中引入了記憶強(qiáng)度。

金融市場(chǎng)模型中確定資產(chǎn)價(jià)格時(shí)使用最多的是瓦爾拉斯拍賣(mài)人機(jī)制和做市商機(jī)制。相對(duì)瓦爾拉斯均衡拍賣(mài)人機(jī)制來(lái)說(shuō)，做市商機(jī)制能對(duì)市場(chǎng)做更為貼近的分析。很多文獻(xiàn)考慮的是一次矩(價(jià)格或收益的)異質(zhì)期望而不是二次矩，而二次矩(條件方差)估計(jì)比一次矩(條件期望)更容易。因此，交易者更加傾向于方差估計(jì)。

本文在文獻(xiàn)［11］的基礎(chǔ)上考慮了做市商機(jī)制下的資產(chǎn)價(jià)格模型，結(jié)合文獻(xiàn)［12］對(duì)記憶強(qiáng)度的討論，建立了做市商機(jī)制下含二次矩及記憶強(qiáng)度的資產(chǎn)價(jià)格模型，利用差分理論及分支理論討論了主要參數(shù)對(duì)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及分支的影響。

1 含二次矩及記憶強(qiáng)度的資產(chǎn)定價(jià)模型

考慮金融市場(chǎng)中存在一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況?？偸找鏋镽=1+r，r為每個(gè)交易階段的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，pt表示t時(shí)期的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格，yt為t時(shí)期的股息，ˉy是股息過(guò)程的期望，則t+1時(shí)期h類(lèi)交易者的財(cái)富為

其中Rt+1=pt+1+yt+1－Rpt為超額收益。假設(shè)h類(lèi)交易者有CARA效用函數(shù)uh(W)=－exp［－ahW］，ah為風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，則最大化期望效用財(cái)富的最優(yōu)需求為

其中:Eh，t，Vh，t分別表示基于t時(shí)期信息集Ft= {pt，pt－1，…;yt，yt－1，…}時(shí)h類(lèi)交易者的條件期望及條件方差;p*=ˉy/(R－1)是?；鶞?zhǔn)價(jià)格。

在下面的討論中，將所有的交易者分為基本面分析者和圖表分析者。

基本面分析者的條件期望及方差為:

2 確定性動(dòng)力系統(tǒng)的討論

對(duì)于式(11)，令隨機(jī)項(xiàng)為0，xt+1=pt+1－p*，得到相應(yīng)的6維確定性動(dòng)力系統(tǒng)，并令yt+1=xt，則系統(tǒng)可表示為下列形式:

3.1 基本面分析者與追風(fēng)者

現(xiàn)在來(lái)討論g＞0時(shí)平衡點(diǎn)的存在性及局部漸近穩(wěn)定性。

定理1對(duì)于6維確定性系統(tǒng)(12)，存在唯一的平衡點(diǎn)X*=(0，0，0，0，－C，0)，相應(yīng)的基準(zhǔn)價(jià)格pt+1=p*。

定理2假設(shè)g＞0，對(duì)于確定性系統(tǒng)(12)，有以下幾種情況:

情況1當(dāng)［R(x0+a)－a］x0＜1+4A1/ μ(1+m0)時(shí)，p*是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的(LAS)，當(dāng)且僅當(dāng)w∈［0，1)時(shí)，v＜v3(g)=c1/g－c2－c3g;w= 1時(shí)，g＜g'=2A1［μ(1+m0)］。當(dāng)v=v3(g)時(shí)存在一對(duì)共軛特征根λ=exp［±iθ］，產(chǎn)生Hopf分支。

情況2當(dāng)4A1［μ(1+m0)］＜［R(x0+a)－a］/x0＜1+4A1/μ(1+m0)時(shí)，存在w∈［0，1)，使

①w＜w1時(shí)，存在g*＞0使p*是LAS，當(dāng)且僅當(dāng)g＜g*，v＞v2(g);g＞v－13(1)，v＜v3(g)，v2(g)=［R(x0+a)－a］x0－4A1μ(1+m0)－(2aw x0)g;

②w1≤w＜1時(shí)，p*是LAS，當(dāng)且僅當(dāng)g＜v－12(0)，v＞v2(g)，g＞v－13(1)，v＜v3(g);

③w=1，p*是LAS，當(dāng)且僅當(dāng)g＜v－12(0)，v＞v2(g)，g＜g3，當(dāng)v=v2(g)時(shí)存在特征值λ=－1，產(chǎn)生Flip分支，v=v3(g)時(shí)產(chǎn)生Hopf分支。

情況3當(dāng)［R(x0+a)－a］x0≥1+4A1/μ(1+m0)時(shí)，存在g*＞0，w1、w2滿足0＜w1＜w2＜1時(shí):

①w＜w1時(shí)，不存在穩(wěn)定區(qū)域;

②w1≤w≤w1時(shí)，p*是LAS，當(dāng)且僅當(dāng)g＜g*，v＞v2(g);g＞v3－1(1)，v＜v3(g);

③w2≤w＜1時(shí)，p*是LAS，當(dāng)且僅當(dāng)g＜(0)，v＞v2(g);g＞(1)，v＜v3(g);

當(dāng)g＞0時(shí)，由π1＞0恒成立，4個(gè)條件減少為π2＞0，π3＞0，π4＞0。因此平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定區(qū)域邊界取決于(g，v)參數(shù)圖中π2=π3=π4=0的相對(duì)位置。由π2=π3=π4=0可得下列方程:

當(dāng)［R(x0+a)－a］x0＜1+4A1［μ(1+m0)］時(shí)，平衡點(diǎn)在(g，v)平面上的穩(wěn)定區(qū)域及分支邊界如圖1所示。由定理2知:隨著w的增加，平衡點(diǎn)的穩(wěn)定區(qū)域不斷增加。分支邊界與均值回饋速率、外推速率及加權(quán)平均過(guò)程的權(quán)重有極大相關(guān)性。在經(jīng)濟(jì)意義下，基本面分析者具有穩(wěn)定市場(chǎng)的作用，圖表分析者具有不穩(wěn)定市場(chǎng)的作用。然而，當(dāng)基本面分析者反應(yīng)過(guò)激時(shí)也能使市場(chǎng)價(jià)格不穩(wěn)定，在一定情況下，圖表分析者反應(yīng)不足也能使市場(chǎng)趨于穩(wěn)定。

圖1 g＞0時(shí)情況1的穩(wěn)定區(qū)域及分支邊界

3.2 基本面分析者與逆風(fēng)者

由定理3知:平衡點(diǎn)在(g，v)平面上的穩(wěn)定區(qū)域及分支邊界有3種不同情況，分別如圖2～4所示。當(dāng)外推速率較小(較大)時(shí)，逆風(fēng)者具有穩(wěn)定(不穩(wěn)定)作用?；鶞?zhǔn)價(jià)格的穩(wěn)定性取決于兩類(lèi)交易者活動(dòng)的均衡程度。注意到隨著g的增加，v2(g)，v3(g)均減少。這意味著當(dāng)基本面分析者反應(yīng)過(guò)激(v較大)時(shí)，逆風(fēng)者外推速率的穩(wěn)定區(qū)域在不斷增加;當(dāng)最近一時(shí)期的權(quán)重w較大(即過(guò)去的價(jià)格權(quán)重1－w較小)時(shí)，逆風(fēng)者對(duì)市場(chǎng)價(jià)格反應(yīng)不足，導(dǎo)致市場(chǎng)價(jià)格周期性波動(dòng);當(dāng)最近一時(shí)期的權(quán)重w較小(即過(guò)去的價(jià)格權(quán)重1－w較大)時(shí)，基本面分析者有穩(wěn)定市場(chǎng)的作用，故市場(chǎng)價(jià)格在基準(zhǔn)價(jià)格附近上下波動(dòng)。

圖2 w∈［w2，1］時(shí)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定區(qū)域及分支邊界

圖3 w∈［0，w1］時(shí)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定區(qū)域及分支邊界

圖4 w∈(w1，w2)時(shí)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定區(qū)域及分支邊界

3 結(jié)束語(yǔ)

本文建立了含二次矩及記憶強(qiáng)度的做市商資產(chǎn)價(jià)格模型。在該模型基礎(chǔ)上討論了圖表分析者為追風(fēng)者及逆風(fēng)者時(shí)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定區(qū)域及主要參數(shù)對(duì)模型的影響。結(jié)果顯示:模型存在唯一的基本平衡點(diǎn);記憶強(qiáng)度的引入不改變模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定區(qū)域;無(wú)論圖表分析者是追風(fēng)者還是逆風(fēng)者，都不會(huì)產(chǎn)生Pitchfork分支;二次矩的引入能更好地模擬資本市場(chǎng)。

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(責(zé)任編輯 劉舸)

Asset Pricing Model with Second Moment and Memory Intensity under Market Maker

JIAN Hong－ling
(College of Mathematics and Systems Science，Xinjiang University，Urumqi 830046，China)

We develop a simple behavioral asset pricing model with fundamentalists and chartists in order to study price behavior under the market maker scenario when chartists estimate both conditional mean and variance by using a weighted averaging process and introduce the fractions with memory intensity.Trough a stability and bifurcation analysis，the model impact of memory intensity，the weighting process and time－varying second moment are examined.

heterogeneous expectations;second moment;memory intensity;stability

O211.9

A

1674－8425(2014)04－0143－07

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.04.030

2013－10－11

堅(jiān)紅玲(1989—)，女，甘肅人，碩士研究生，主要從事數(shù)理金融研究。

堅(jiān)紅玲.含二次矩及記憶強(qiáng)度的做市商資產(chǎn)定價(jià)模型［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014(4):143－149.

format:JIAN Hong－ling.Asset Pricing Model with Second Moment and Memory Intensity under Market Maker［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(4):143－149.