一種基于單縫衍射的楊氏模量測定方法

盛愛蘭

(山東理工大學(xué)理學(xué)院 山東 淄博 255000)

1 金屬楊氏模量

金屬絲原長為L0，橫截面積為S，在長度方向上受到的拉力為F(在彈性限度內(nèi))，伸長量為ΔL，則

或

(1)

(2)

式(2)中金屬絲的直徑d用千分尺測量，ΔL數(shù)值很小，本文利用夫瑯禾費(fèi)單縫衍射的方法來測量．

2 單縫衍射測量縫寬

當(dāng)波長為λ的平行單色光通過縫寬為a的單縫時(shí)，在透鏡焦平面處的光屏上會(huì)形成明暗相間的衍射條紋，這就是夫瑯禾費(fèi)單縫衍射．其中，P0點(diǎn)為中央明條紋，p點(diǎn)為暗條紋的條件為

asinθ=±kλ(k=1,2,3，…)

(3)

式中θ為衍射角，k為衍射級(jí)數(shù)．若單縫豎放，并且規(guī)定左負(fù)右正，則對(duì)于中央明紋左邊的第m級(jí)暗紋和右邊的第n級(jí)暗紋有

a(sinθn-sinθm)=(n+m)λ

(4)

由于衍射角θ很小，tanθ≈sinθ，由圖1可知

(5)

圖1 實(shí)驗(yàn)光路圖

式中ΔXmn為左邊第m級(jí)暗紋和右邊第n級(jí)暗紋間的距離，f為透鏡到光屏的距離．

由式(4)、(5)得

(6)

從式(6)可知：若平行單色光的波長λ已知，記下暗紋級(jí)數(shù)m，n，并測出兩級(jí)暗紋間距離ΔXmn及f的值，就可計(jì)算出單縫的寬度a．

3 實(shí)驗(yàn)裝置與測量方法

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示．待測金屬絲一端通過夾線鉗固定在墻(鋼筋混凝土)上，另一端穿過螺栓夾1，2后分別固緊(支架與螺栓夾1間留有縫隙)．細(xì)繩一端系在螺栓夾2上，下端懸掛砝碼，并繞在定滑輪上．金屬片1很輕，焊接在螺栓夾1上；金屬片2固定在二維調(diào)節(jié)架上，調(diào)節(jié)架上面設(shè)有標(biāo)尺．底座上有調(diào)平螺釘，調(diào)節(jié)螺釘可使拉緊的金屬絲處于水平狀態(tài)，使金屬片1，2間形成鉛直狹縫．

另外，還有WDY-1型單縫衍射儀和低壓鈉燈，鈉燈燈罩上開有豎直狹縫．單縫衍射儀主要包括目鏡調(diào)焦鏡、測微目鏡讀數(shù)鼓輪、物鏡調(diào)焦手輪、讀數(shù)窗口、仰角調(diào)節(jié)螺栓及單縫帽套．

3.2 測量原理

實(shí)驗(yàn)前把金屬絲拉直．調(diào)節(jié)二維調(diào)節(jié)架，使金屬片1，2間形成寬約1 mm的狹縫．把單縫衍射儀物鏡緊靠金屬片1，2間的狹縫(不帶單縫帽套)，鈉光燈置于單縫衍射儀前方1.5 m處，這樣透過鈉光燈罩狹縫的光可視為平行光源．

儀器調(diào)好后在單縫衍射儀內(nèi)看到衍射條紋，讀出各級(jí)條紋Xm和Xn數(shù)據(jù)，求出條紋間距ΔX0mn，利用式(6)求出縫寬a0．增加砝碼后，狹縫變窄，用類似方法求得縫寬a，則金屬絲(自夾線鉗至螺栓夾1的長度)的伸長量等于縫寬的改變，即

ΔL=a0-a

(7)

將式(6)式代入式(7)得

(8)

將式(8)代入式(2)得

(9)

上式即為楊氏彈性模量的計(jì)算公式．

3.3 條紋間距測量方法

儀器調(diào)好后，在單縫衍射儀內(nèi)看到衍射條紋．調(diào)節(jié)單縫衍射儀測微目鏡讀數(shù)鼓輪，使目鏡內(nèi)十字叉絲向右緩緩移動(dòng)，叉絲依次與左邊第5，4，3，2，1級(jí)暗紋重合，從鼓輪上讀出并記下相應(yīng)X0m值，繼續(xù)調(diào)節(jié)鼓輪使叉絲通過中央明紋后，依次與右邊第1，2，3，4，5級(jí)暗紋重合，記下X0n值．則條紋間距

ΔX0mn=|X0m-X0n|

注意：鼓輪始終沿一個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)，不能倒轉(zhuǎn)．

增加2 kg的砝碼后，金屬絲伸長，衍射條紋變稀．重復(fù)上述操作，再測得相應(yīng)的Xm，Xn值，填入表1內(nèi)．

4 測量結(jié)果

表1 測量結(jié)果

物理量L0，d，f及M的誤差很小，忽略不計(jì)．利用逐差法，取m+n=6，計(jì)算得出

E=(1.89±0.02)×1011N/m2

5 總結(jié)

本文利用單縫衍射測定了金屬的楊氏模量，這是一個(gè)力學(xué)與光學(xué)的綜合實(shí)驗(yàn)，從上面分析可知準(zhǔn)確度較高．而單縫衍射是大學(xué)物理的一個(gè)重要實(shí)驗(yàn)，在原有儀器的基礎(chǔ)上，只需再加上圖2所示的裝置就可，成本很小，且裝置經(jīng)久耐用，適合一般的理工科大學(xué)生用來做學(xué)生實(shí)驗(yàn)，具有一定的實(shí)用價(jià)值．

參考文獻(xiàn)

1 周殿清主編．大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)．武漢：武漢大學(xué)出版社，2002．97～100

2 黃紹書．單縫衍射測微小位移的實(shí)驗(yàn)室方法．物理實(shí)驗(yàn)，2000，20(2)：36～37