人工凍土蠕變非定常開爾文模型

毛 芬，姚兆明

(安徽理工大學(xué)土木建筑學(xué)院，安徽 淮南 232001)

近年來，凍結(jié)法施工的應(yīng)用越來越廣泛，因此對人工凍土的蠕變本構(gòu)關(guān)系的研究必不可少，人工凍土作為一種特殊的巖土類材料，由于土中冰包裹體和未凍的黏滯水膜的存在，使得建立凍土材料的本構(gòu)模型比較困難，開爾文模型被發(fā)現(xiàn)是一個解決力學(xué)建模難題的有力工具，目前的研究多傾向于用定常模型來模擬巖石蠕變本構(gòu)關(guān)系。常用的巖石蠕變模型有西原正夫模型、伯格斯模型和賓厄姆模型等，以上這些模型在巖土工程界具有重大影響，但它們都是基于傳統(tǒng)的經(jīng)典黏彈性定常本構(gòu)模型建立起來的，鑒于非定常算子在黏彈性本構(gòu)建模方面具有的一些優(yōu)越性[1－2］，本文擬采用引入與時間有關(guān)的非定常參數(shù)的開爾文模型來模擬人工凍土在一維單向壓縮條件下的蠕變過程，在該模型中開爾文模型的黏滯系數(shù)η被與時間有關(guān)的函數(shù)代替。通過推算可以得到含非定常的人工凍土蠕變模型。

巖石力學(xué)理論與工程實踐中的重要課題之一是本構(gòu)模型的參數(shù)辨識。目前蠕變模型參數(shù)辨識方法主要有:回歸方法、最小二乘法及其改進(jìn)方法、模式搜索法以及蠕變曲線分解法等[3］。以上的優(yōu)化算法都對問題有一定的約束條件，如要求優(yōu)化函數(shù)可微等。粒子群優(yōu)化算法作為一種仿生算法是一種模擬生物智能行為的優(yōu)化算法，該算法利用生物群體內(nèi)個體的合作和競爭等復(fù)雜行為產(chǎn)生群體智能，由于其幾乎不存在對問題的約束，因此粒子群優(yōu)化算法在各種優(yōu)化問題中得到廣泛應(yīng)用[4］。粒子群優(yōu)化算法是一種新興的演化群體智能算法，其采用速度－位置搜索模型，每個例子代表解空間的一個候選解，解的優(yōu)劣程度由適應(yīng)度函數(shù)來決定[5－6］。運(yùn)用模擬退火粒子群優(yōu)化方法，對不同加載應(yīng)力下蠕變試驗數(shù)據(jù)建立的蠕變模型參數(shù)進(jìn)行識別，得到蠕變模型的參數(shù)。

最后通過對比非定常蠕變模型計算值與試驗結(jié)果，發(fā)現(xiàn)非定常開爾文蠕變模型能很好地模擬人工凍土的蠕變規(guī)律。非定常開爾文模型是人工凍土領(lǐng)域計算的一種新方法。

1 模型的建立

1.1 廣義開爾文模型

廣義開爾文模型由彈簧Ek和阻尼器并聯(lián)，然后串聯(lián)彈簧E1而成(見圖1)。

圖1 廣義Kelvin模型

根據(jù)模型特點(diǎn)，可以推出本構(gòu)方程。

式中:σ，ε分別為模型的總應(yīng)力和總應(yīng)變;σ1，ε1分別為元件E1的應(yīng)力和應(yīng)變;σ2，ε2分別為元件并聯(lián)體的應(yīng)力和應(yīng)變。

設(shè)應(yīng)力為常量:σ=σ1=σ2=σ0=const元件E1的本構(gòu)關(guān)系為

并聯(lián)體的本構(gòu)關(guān)系為

廣義開爾文模型本構(gòu)方程為

式中:Ek為開爾文體中彈簧的彈性模量;E1為串聯(lián)彈簧的彈性模量;η為廣義開爾文體中黏壺的黏滯系數(shù);t為時間。

1.2 非定常開爾文模型

非定常開爾文模型就是用與時間有關(guān)的函數(shù)替代廣義開爾文模型中的黏滯系數(shù)η和串聯(lián)的的彈性模量E1。

根據(jù)文獻(xiàn)[7］，可設(shè)開爾文模型中黏壺η1隨時間的變化滿足:

式中:η0，α 為常數(shù)。

定常彈簧Ek與非定常黏壺η1(t)組成的非定常開爾文模型滿足:

分離變量求定積分:

求出非定常開爾文的模型的蠕變?nèi)崃繛?/p>

從而，得到非定常開爾文模型的本構(gòu)方程為

1.3 粒子群算法的描述

粒子群優(yōu)化算法是基于群體智能理論的優(yōu)化算法，通過群體中粒子間的合作與競爭產(chǎn)生的智能指導(dǎo)優(yōu)化搜索[8］，為工程優(yōu)化問題提供高效的解決方法。

在粒子群優(yōu)化算法中，每個優(yōu)化問題的潛在解都是搜索空間中的一只鳥，稱之為“粒子”。所有的粒子都有一個由被優(yōu)化的函數(shù)決定的適應(yīng)值，每個粒子還有一個速度決定他們飛翔的方向和距離。粒子們就追隨當(dāng)前的最優(yōu)粒子在解空間中搜索。優(yōu)化開始時先初始化為一群隨機(jī)粒子(隨機(jī)解)。然后通過迭代找到最優(yōu)解。在每一次迭代中，粒子通過跟蹤兩個極值來更新自己。第一個極值就是整個種群目前找到的最優(yōu)解。這個極值是全局極值。另外也可以不用整個種群而只是用其中一部分作為粒子的鄰居，那么在所有鄰居中的極值就是局部極值。鄰近種群數(shù)是在最優(yōu)粒子附近的種群個數(shù)。第二個極值是粒子本身所找到的最優(yōu)解，稱為個體極值。這是因為粒子僅僅通過跟蹤全局極值或者局部極值來更新位置，不可能總是獲得較好的解。這樣在優(yōu)化過程中，粒子在追隨全局極值或局部極值的同時追隨個體極值則圓滿的解決了這個問題。這就是粒子群優(yōu)化算法的原理[9－10］。

基本粒子群優(yōu)化算法可描述如下:

設(shè)在一個D維的目標(biāo)搜索空間中，有k個粒子組成一個群落，第i個粒子的位置用向量Xi=[Xi1，Xi2，…，XiD］表示，飛行速度用 Vi= [Vi1，Vi2，…，ViD］表示，第i個粒子搜索到最優(yōu)位置為Pi=[Pi1，Pi2，…，PiD］，整個群體搜索到的最優(yōu)位置為Pg= [Pi1，Pi2，…，PiD］，則用下列式更新粒子的速度和位置:

式中:i=1，2，…，m，表示不同的粒子;c1，c2為大于0的學(xué)習(xí)因子，是分別調(diào)節(jié)該粒子向自己尋找到的最優(yōu)位子，和同伴已尋找到的最優(yōu)位置方向飛行的最大步長;r1，r2為介于[0，1］之間的隨機(jī)數(shù);n為迭代次數(shù)，即粒子的飛行步數(shù)。

將V限定一個范圍，使粒子每一維的運(yùn)動速度都被限制在[－Vmin，Vmax］之間，以防止粒子運(yùn)動速度過快而錯過最優(yōu)解，這里的Vmax根據(jù)實際問題來確定。當(dāng)粒子的飛行速度足夠小或達(dá)到預(yù)設(shè)的迭代步數(shù)時，算法停止迭代，輸出結(jié)果[11］。

2 應(yīng)用實例

2.1 人工凍土單軸蠕變試驗

通過單軸壓縮常規(guī)試驗可以確定單軸加卸載蠕變試驗的加載水平，試驗選用安徽界溝礦區(qū)，土質(zhì)為粘土，取土深度為61.2～70.1m。試驗在WDT－100型微機(jī)控制電液伺服凍土單軸試驗機(jī)中進(jìn)行，試樣尺寸為Φ50 mm×100 mm。在三個溫度水平下、三種加載系數(shù)下的單軸蠕變試驗，試樣的單軸抗壓強(qiáng)度如表1～表2所示。

表1 不同溫度下的單軸抗壓強(qiáng)度

表2 不同溫度和加載系數(shù)下的單軸抗壓強(qiáng)度 (MPa)

2.2 試驗驗證

采用粒子群算法來優(yōu)化分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型參數(shù)，非定常開爾文蠕變模型參數(shù)如表4所示。

表3 非定常開爾文模型參數(shù)

——試驗值;▼非定常開爾文計算值1．σ=0.65MPa;2．σ=1.08MPa;3．σ=1.51MPa(a)－5℃下試驗值和非定常開爾文計算值

——試驗值;▼非定常開爾文計算值1．σ=1.25MPa;2．σ=2.08MPa;3．σ=2.91MPa(b)－10℃下試驗值和非定常開爾文計算值

圖2 單軸蠕變試驗值與模型計算值對比

3 結(jié)論

用非定常開爾文模型來模擬人工凍土的蠕變過程，不僅具有明確物理意義參數(shù)，而且能與試驗結(jié)果很好地擬合。

1)考慮到某些參數(shù)會受到時間的影響，以廣義開爾文模型為基礎(chǔ)，建立了非定常開爾文蠕變模型，其公式推導(dǎo)嚴(yán)密，模型具有明確的物理意義且模型參數(shù)少;

2)用非定常開爾文模型結(jié)合粒子群優(yōu)化方法對不同溫度下的蠕變規(guī)律進(jìn)行了模擬，得到了相應(yīng)的參數(shù)。

3)通過與試驗值對比，發(fā)現(xiàn)非定常開爾文模型能很好的模擬蠕變曲線，相關(guān)系數(shù)基本都在0.995以上，為人工凍土領(lǐng)域的計算提供了一個新思路。本文只研究了一種土性的模擬，研究模擬結(jié)果比較好，是否能很好的模擬其他土性和是否能很好的模擬其他溫度的蠕變模型將是下一步研究的方向。

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