等量代換在幾何比例證明中的應(yīng)用

徐勇

有一類關(guān)于a2=bc和和a∶b=c∶d的幾何題，雖然應(yīng)用三點(diǎn)定位法能找到與結(jié)論有關(guān)的兩個(gè)三角形，但是這兩個(gè)三角形并不相似，因而使證明陷入困境.然而借助等量代換，卻能柳暗花明，使結(jié)論很快得證.現(xiàn)舉例如下，供初中師生教學(xué)參考.1 等線代換

例1 過△ABC的重心G及頂點(diǎn)A作圓與BG切于G，CG的延長線交所作圓于D.求證：AG2=GC·GD.

證明 如圖1，過C作CF∥BG交AG于F，因?yàn)锳K=KC，所以AG=CF.（1）連接AD，因BG是圓的切線，故∠ADG=∠AGK=∠AFC.于是A、D、F、C四點(diǎn)共圓.從而由相交弦定理得AG·GF=CG·GD.（2）因此以GF代AG，由（1）、（2）即得AG2=CG·GD.

注 證明本題的關(guān)鍵在于以等線GF代替AG從而利用相交弦定理得證.

2 等比代換

例2 已知ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是AB、DC延長線的交點(diǎn)，F(xiàn)是AD、BC延長線的交點(diǎn)，求證：EDFB=EAFA.

證明 如圖2，連接AC、BD.在△ACF和△BDF中，因?yàn)椤螩AF=∠DBF，∠AFC=∠BFD.

所以△ACF∽△BDF.所以FAFB=ACBD（1），同理△ACE∽△DBE，所以ACBD=EAED（2），因此由等比代換，從（1）、（2）得FAFB=EAED，即EDFB=EAFA.

注 證明本題的關(guān)鍵在于通過中間過渡比“ACBD”，借助于△ACF∽△BDF和△ACE∽△DBE得證.3 等積代換

例3 如圖3，已知AD是△ABC外接圓的直徑，CF⊥AD交AD于E，交AB于F.求證：AC2=AB·AF.

證明 連接CD、BD，因?yàn)锳D是圓的直徑，所以∠ACD=∠ABD=90°.因?yàn)镃E⊥AD.所以AC2=AE·AD（射影定理） （1）.又在Rt△ABD和Rt△AEF中，因?yàn)棣葹楣媒?，所以Rt△ABD∽R(shí)t△AEF，所以ABAE=ADAF，所以AE·AD=AB·AF （2），故由等積代換，從（1）、（2）得AC2=AB·AF.

注 證明本題的關(guān)鍵在于利用射影定理先將結(jié)論比例式代換為證明AE·AD=AB·AF的等積式，而后由Rt△ABD∽R(shí)t△AEF得出相關(guān)線段比，代換即得證.4 等線等比代換

例4 已知PA、PB是⊙O的切線，它們與⊙O分別切于A、B兩點(diǎn).PD是⊙O的割線，與⊙O相交于C、D.求證：AD·BC=AC·BD.

證明 如圖4，因?yàn)镻A是切線，A是切點(diǎn)，所以∠1=∠2.又因?yàn)椤螦PC=∠APD，所以△APC∽△APD.所以PDPA=ADAC （1），因?yàn)镻B切⊙O于B，同理PDPB=BDBC （2）.因?yàn)镻A=PB（切線長定理），所以作等線代換代入（1），得PDPB=ADAC.（3）故由（2）、（3）作等比代換，得ADAC=BDBC因此AD·BC=AC·BD.

注 證明本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：（1）先證△APC∽△APD.（2）再運(yùn)用PA=PB代換.

5 等比等積代換endprint

有一類關(guān)于a2=bc和和a∶b=c∶d的幾何題，雖然應(yīng)用三點(diǎn)定位法能找到與結(jié)論有關(guān)的兩個(gè)三角形，但是這兩個(gè)三角形并不相似，因而使證明陷入困境.然而借助等量代換，卻能柳暗花明，使結(jié)論很快得證.現(xiàn)舉例如下，供初中師生教學(xué)參考.1 等線代換

例1 過△ABC的重心G及頂點(diǎn)A作圓與BG切于G，CG的延長線交所作圓于D.求證：AG2=GC·GD.

證明 如圖1，過C作CF∥BG交AG于F，因?yàn)锳K=KC，所以AG=CF.（1）連接AD，因BG是圓的切線，故∠ADG=∠AGK=∠AFC.于是A、D、F、C四點(diǎn)共圓.從而由相交弦定理得AG·GF=CG·GD.（2）因此以GF代AG，由（1）、（2）即得AG2=CG·GD.

注 證明本題的關(guān)鍵在于以等線GF代替AG從而利用相交弦定理得證.

2 等比代換

例2 已知ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是AB、DC延長線的交點(diǎn)，F(xiàn)是AD、BC延長線的交點(diǎn)，求證：EDFB=EAFA.

證明 如圖2，連接AC、BD.在△ACF和△BDF中，因?yàn)椤螩AF=∠DBF，∠AFC=∠BFD.

所以△ACF∽△BDF.所以FAFB=ACBD（1），同理△ACE∽△DBE，所以ACBD=EAED（2），因此由等比代換，從（1）、（2）得FAFB=EAED，即EDFB=EAFA.

注 證明本題的關(guān)鍵在于通過中間過渡比“ACBD”，借助于△ACF∽△BDF和△ACE∽△DBE得證.3 等積代換

例3 如圖3，已知AD是△ABC外接圓的直徑，CF⊥AD交AD于E，交AB于F.求證：AC2=AB·AF.

證明 連接CD、BD，因?yàn)锳D是圓的直徑，所以∠ACD=∠ABD=90°.因?yàn)镃E⊥AD.所以AC2=AE·AD（射影定理） （1）.又在Rt△ABD和Rt△AEF中，因?yàn)棣葹楣媒?，所以Rt△ABD∽R(shí)t△AEF，所以ABAE=ADAF，所以AE·AD=AB·AF （2），故由等積代換，從（1）、（2）得AC2=AB·AF.

注 證明本題的關(guān)鍵在于利用射影定理先將結(jié)論比例式代換為證明AE·AD=AB·AF的等積式，而后由Rt△ABD∽R(shí)t△AEF得出相關(guān)線段比，代換即得證.4 等線等比代換

例4 已知PA、PB是⊙O的切線，它們與⊙O分別切于A、B兩點(diǎn).PD是⊙O的割線，與⊙O相交于C、D.求證：AD·BC=AC·BD.

證明 如圖4，因?yàn)镻A是切線，A是切點(diǎn)，所以∠1=∠2.又因?yàn)椤螦PC=∠APD，所以△APC∽△APD.所以PDPA=ADAC （1），因?yàn)镻B切⊙O于B，同理PDPB=BDBC （2）.因?yàn)镻A=PB（切線長定理），所以作等線代換代入（1），得PDPB=ADAC.（3）故由（2）、（3）作等比代換，得ADAC=BDBC因此AD·BC=AC·BD.

注 證明本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：（1）先證△APC∽△APD.（2）再運(yùn)用PA=PB代換.

5 等比等積代換endprint

有一類關(guān)于a2=bc和和a∶b=c∶d的幾何題，雖然應(yīng)用三點(diǎn)定位法能找到與結(jié)論有關(guān)的兩個(gè)三角形，但是這兩個(gè)三角形并不相似，因而使證明陷入困境.然而借助等量代換，卻能柳暗花明，使結(jié)論很快得證.現(xiàn)舉例如下，供初中師生教學(xué)參考.1 等線代換

例1 過△ABC的重心G及頂點(diǎn)A作圓與BG切于G，CG的延長線交所作圓于D.求證：AG2=GC·GD.

證明 如圖1，過C作CF∥BG交AG于F，因?yàn)锳K=KC，所以AG=CF.（1）連接AD，因BG是圓的切線，故∠ADG=∠AGK=∠AFC.于是A、D、F、C四點(diǎn)共圓.從而由相交弦定理得AG·GF=CG·GD.（2）因此以GF代AG，由（1）、（2）即得AG2=CG·GD.

注 證明本題的關(guān)鍵在于以等線GF代替AG從而利用相交弦定理得證.

2 等比代換

例2 已知ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是AB、DC延長線的交點(diǎn)，F(xiàn)是AD、BC延長線的交點(diǎn)，求證：EDFB=EAFA.

證明 如圖2，連接AC、BD.在△ACF和△BDF中，因?yàn)椤螩AF=∠DBF，∠AFC=∠BFD.

所以△ACF∽△BDF.所以FAFB=ACBD（1），同理△ACE∽△DBE，所以ACBD=EAED（2），因此由等比代換，從（1）、（2）得FAFB=EAED，即EDFB=EAFA.

注 證明本題的關(guān)鍵在于通過中間過渡比“ACBD”，借助于△ACF∽△BDF和△ACE∽△DBE得證.3 等積代換

例3 如圖3，已知AD是△ABC外接圓的直徑，CF⊥AD交AD于E，交AB于F.求證：AC2=AB·AF.

證明 連接CD、BD，因?yàn)锳D是圓的直徑，所以∠ACD=∠ABD=90°.因?yàn)镃E⊥AD.所以AC2=AE·AD（射影定理） （1）.又在Rt△ABD和Rt△AEF中，因?yàn)棣葹楣媒?，所以Rt△ABD∽R(shí)t△AEF，所以ABAE=ADAF，所以AE·AD=AB·AF （2），故由等積代換，從（1）、（2）得AC2=AB·AF.

注 證明本題的關(guān)鍵在于利用射影定理先將結(jié)論比例式代換為證明AE·AD=AB·AF的等積式，而后由Rt△ABD∽R(shí)t△AEF得出相關(guān)線段比，代換即得證.4 等線等比代換

例4 已知PA、PB是⊙O的切線，它們與⊙O分別切于A、B兩點(diǎn).PD是⊙O的割線，與⊙O相交于C、D.求證：AD·BC=AC·BD.

證明 如圖4，因?yàn)镻A是切線，A是切點(diǎn)，所以∠1=∠2.又因?yàn)椤螦PC=∠APD，所以△APC∽△APD.所以PDPA=ADAC （1），因?yàn)镻B切⊙O于B，同理PDPB=BDBC （2）.因?yàn)镻A=PB（切線長定理），所以作等線代換代入（1），得PDPB=ADAC.（3）故由（2）、（3）作等比代換，得ADAC=BDBC因此AD·BC=AC·BD.

注 證明本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：（1）先證△APC∽△APD.（2）再運(yùn)用PA=PB代換.

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