重視平面幾何教學(xué)，提高學(xué)生思維能力

邱超文

摘 要：平面幾何教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，該文從學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何產(chǎn)生困難的原因入手，加強(qiáng)針對(duì)性教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，抓好基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和基本技能的訓(xùn)練，提高學(xué)生思維能力，學(xué)好平面幾何知識(shí)。

關(guān)鍵詞：平面幾何 學(xué)習(xí)興趣 思維能力

中圖分類號(hào)：G623 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）02（a）-0140-02

平面幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)科目，是使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思維方法，養(yǎng)成良好思維品質(zhì)的重要組成部分。該文從分析學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何產(chǎn)生困難的原因以及如何幫助學(xué)生克服這些困難作一個(gè)初步的探討。根據(jù)我的教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何產(chǎn)生困難的原因主要有：

（1）不明確學(xué)習(xí)概念、公理、定理的重要性與必要性。

幾何推理論證的根據(jù)是命題中的題設(shè)與學(xué)過的定義、公理、定理。如果不明確它們的重要性與必要性，就必然不理解與熟悉它們，導(dǎo)致在需要進(jìn)行推理論證的時(shí)候想不起已學(xué)過的定義、公理、定理，就更不會(huì)運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q問題。

（2）不會(huì)正確作出符合題意的圖形和分析圖形的特點(diǎn)。

幾何命題就是把公理或定理用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來的一種語(yǔ)句。無法作出符合題意的圖形，就無法分析圖形的特點(diǎn)，則對(duì)命題的推理論證無從下手。

（3）不清楚作輔助線的目的性。

（4）沒有掌握幾何推理的主要方法以及推理過程中一些常用的思維方法。

平面幾何的推理方法主要是假言推理，并在推理過程中常涉及猜想與論證、分解與組合、特殊與一般、靜止與變動(dòng)、分析與綜合、聯(lián)想與推廣等一些具體的思維方法，而學(xué)生卻往往忽視了。

（5）不了解平面幾何的體系、結(jié)構(gòu)與主要的學(xué)習(xí)方法。

幾何學(xué)是建立在公理化體系基礎(chǔ)上的一門學(xué)科。整個(gè)幾何學(xué)就是一系列定義、公理、定理等所構(gòu)成的一個(gè)有機(jī)整體。學(xué)習(xí)幾何的主要方法就是正確地進(jìn)行推理論證。如果學(xué)生對(duì)這些缺乏了解，就不知道自己正在做什么與應(yīng)該做什么。

針對(duì)上面出現(xiàn)的問題，從以下幾個(gè)方面提出解決問題的幾點(diǎn)看法。

1 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣

心理學(xué)認(rèn)為：興趣是探究某種事物或進(jìn)行某種活動(dòng)的傾向。興趣是求知的起點(diǎn)，是思維的培養(yǎng)和能力的提高的內(nèi)在動(dòng)力。能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幾何的教學(xué)就成功了一半，做法有兩點(diǎn)：

（1）讓學(xué)生動(dòng)手。把學(xué)過的定義、公理、定理與看圖、作圖有機(jī)地聯(lián)系起來，讓學(xué)生在動(dòng)手中學(xué)習(xí)。例如，作三角形的三條角平分線，觀察這三條角平分線的位置，去認(rèn)識(shí)定理“三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)”。這既包含了作圖、看圖，又了解了定義、定理等方面的知識(shí)，而且印象深刻。

（2）讓學(xué)生動(dòng)腦。把學(xué)習(xí)圖形的性質(zhì)和猜想與論證結(jié)合起來。例如，學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)，先作出等腰三角形的頂角平分線，去猜想圖形的性質(zhì)。學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)等腰三角形兩底角相等，繼而發(fā)現(xiàn)三線合一，進(jìn)一步懂得等腰三角形是以頂角平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，然后讓學(xué)生對(duì)自己的猜想給出證明。這就要根據(jù)定義、公理、定理結(jié)合圖形的特點(diǎn)去思考問題。使運(yùn)用舊知識(shí)與學(xué)習(xí)新知識(shí)融為一體，達(dá)到多種訓(xùn)練的目的。這也是進(jìn)行幾何定理教學(xué)的一種比較好的方法。

2 抓好基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和基本技能訓(xùn)練

2.1 看圖練習(xí)

這既是基本技能的訓(xùn)練，也是熟悉和掌握基礎(chǔ)知識(shí)的一種手段。如果對(duì)復(fù)雜圖形中的局部有哪些圖形看不清，就談不上利用圖形去證明。在教學(xué)中，我們可加強(qiáng)這些基礎(chǔ)的訓(xùn)練。例如，觀察圖1中有幾條線段、幾條射線和圖2中有幾個(gè)角.這些看似簡(jiǎn)單的練習(xí)既要運(yùn)用學(xué)過的定義、公理和定理，還要較細(xì)致地觀察、分析以及掌握尋找的規(guī)律，這就促使學(xué)生平時(shí)注意觀察與分析圖形的特點(diǎn)，為證明打下基礎(chǔ)。（如圖1～圖3）

2.2 結(jié)合一些基本圖形，整理和記憶圖形的性質(zhì)

在平面幾何里，有一些特殊的圖形能反映某種圖形的性質(zhì)，稱為基本圖形。例如圖3，圖中不僅有直角相等，而且圖形的線段不僅反映了斜邊最長(zhǎng)，還體現(xiàn)了計(jì)算面積的兩種方法；圖形中有三個(gè)互相相似的三角形，還可以記住勾股定理和射影定理。當(dāng)然這些圖形的性質(zhì)的認(rèn)識(shí)并不是一次完成的，而是隨著學(xué)習(xí)的進(jìn)度不斷添加新的內(nèi)容。這樣做使知識(shí)與技能得到融合，不僅分類整理記憶了知識(shí)，而且通過記憶為數(shù)不多的若干基本圖形可以使學(xué)生產(chǎn)生一種幾何直覺能力，在解幾何題時(shí)根據(jù)給出的圖形迅速做出反應(yīng)，聯(lián)想圖形的性質(zhì)，找到解題的突破口。

2.3 重視作圖的作用

因?yàn)橹挥凶鞒鰷?zhǔn)確、規(guī)范的圖形才便于發(fā)現(xiàn)和猜想圖形的性質(zhì)。因此要求學(xué)生必須尺規(guī)作圖。可以分幾個(gè)階段進(jìn)行：①學(xué)習(xí)什么圖形就要求學(xué)生用尺規(guī)作出什么圖形。②要求學(xué)生對(duì)沒有圖形的題目作出符合題意的圖形，這樣的圖形可能有幾個(gè)。如：已知點(diǎn)P在直線AC上，且點(diǎn)F、D在直線AC的同側(cè)，∠APF=∠CPD，PE平分∠DPF，作出符合題意的圖形（如圖4），這樣的圖形有兩個(gè)。

③作出滿足若干條件的圖形。例如，作梯形ABCD，使AD=2 cm，底BC=4 cm，對(duì)角線AC=6 cm，BD=3 cm。（如圖5）

這個(gè)作圖要用到分析法和平移的思想，這是較之幾何證明題更具有綜合訓(xùn)練性質(zhì)的練習(xí)，更能鍛煉與發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。

2.4 命題的教學(xué)

只要求學(xué)生明確以下幾點(diǎn)：（1）命題有真命題與假命題。公理和定理都是真命題。（2）一個(gè)命題一般都可以寫成條件命題（如果…，那么…）形式。（3）一個(gè)條件命題由題設(shè)與結(jié)論構(gòu)成。（4）把條件命題的題設(shè)與結(jié)論對(duì)換，所得的為原命題的逆命題。（5）條件命題有四種形式：原命題是真，逆命題與否命題不一定是真，但互為逆否的兩個(gè)命題等價(jià)。

3 加強(qiáng)證明訓(xùn)練

（1）定理教學(xué)的著眼點(diǎn)不是重復(fù)課本的證明過程，而是講清楚為什么這樣證明。教材中的定理大都只有證明過程而省略了分析過程，教學(xué)中要著重給學(xué)生講清這個(gè)證明是怎樣想出來的？這就要加強(qiáng)用分析法（由果索因）的證題方法的指導(dǎo)，這樣思路比較單一和清晰，容易為初學(xué)幾何的學(xué)生接受。endprint

（2）結(jié)合教材進(jìn)度，選擇強(qiáng)化證明訓(xùn)練的適當(dāng)時(shí)機(jī)。如學(xué)習(xí)相交線與平行線之后、學(xué)完全等三角形以后、學(xué)完四邊形、相似三角形等等，都可以進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，但每次訓(xùn)練都應(yīng)有具體的要求與目標(biāo)。

（3）及時(shí)總結(jié)解題的經(jīng)驗(yàn)，指導(dǎo)學(xué)生選擇最好的證明方法。這包括一些常用的輔助線，有代表性的基本圖形、重要定理的使用方法，某類圖形的一般解法。然后抓住一題多解做文章，指導(dǎo)學(xué)生怎樣找到最簡(jiǎn)單的方法。

（4）重要定理的教學(xué)。這主要是有計(jì)劃分層次地安排。如三角形中位線定理可分以下幾個(gè)層次進(jìn)行：①定義與定理的內(nèi)容及其基本應(yīng)用；②在已知有線段中點(diǎn)的條件下考慮使用定理；③在沒有線段中點(diǎn)的條件下，根據(jù)圖形特點(diǎn)，作出中點(diǎn)，以中位線為輔助線幫助解題；④用變動(dòng)的觀點(diǎn)觀察、分析三角形中位線定理與梯形中位線定理的相互關(guān)系以及使用它們的一般規(guī)律。

4 適當(dāng)時(shí)候引導(dǎo)學(xué)生了解幾何的體系與結(jié)構(gòu)

當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何一段時(shí)間，有了一定的基礎(chǔ)，就可以適時(shí)引導(dǎo)、組織學(xué)生了解平面幾何的知識(shí)體系與知識(shí)結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生從整體上把握平面幾何全貌以及各個(gè)部分之間的聯(lián)系與邏輯關(guān)系，構(gòu)建平面幾何知識(shí)網(wǎng)綱，提升邏輯思維能力，掌握學(xué)習(xí)平面幾何的方法，讓學(xué)生得到了升華。

5 在教學(xué)中滲透近代研究幾何的觀點(diǎn)和科學(xué)的思維方法

平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)是近代研究幾何的觀點(diǎn)。在教學(xué)中，我們經(jīng)常要求學(xué)生掌握幾種最基本的軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，并以這些圖形為工具去指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、觀察和分析問題。例如：圖6是一個(gè)以直線PO為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，利用它不僅可以記憶切線長(zhǎng)定理、垂徑定理，還可以記憶過圓外一點(diǎn)引圓的切線的作法。

又如圖7，已知：在△ABC中，AD⊥BC，BD>DC。求證：AB>AC。

分析：要證AB>AC，可證∠C>∠B，只要以AD為對(duì)稱軸作出點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)C，因?yàn)锽D>CD，故C必在B、D之間，所以∠ACD為△ABC的一個(gè)外角且等于∠C，從而得到∠C>∠B。

利用平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)來觀察、分析問題的著眼點(diǎn)是使學(xué)生較容易地發(fā)現(xiàn)怎樣作出輔助線解題，并從中領(lǐng)悟到輔助線必須具有目的性。

分解與組合、一般與特殊、靜止與變動(dòng)、分析與綜合等都是常用的科學(xué)的思維方法。在教學(xué)中滲透這些思想方法，注意挖掘體現(xiàn)這些思想方法的內(nèi)容，并結(jié)合具體內(nèi)容幫助學(xué)生熟悉、理解這些方法具有深遠(yuǎn)的意義。

參考文獻(xiàn)

[1] 李建才.中學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)基本功講座[M].北京師范學(xué)院出版社，1991.

[2] 吳憲芳，郭熙漢.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].華中師大出版社，1997.endprint

（2）結(jié)合教材進(jìn)度，選擇強(qiáng)化證明訓(xùn)練的適當(dāng)時(shí)機(jī)。如學(xué)習(xí)相交線與平行線之后、學(xué)完全等三角形以后、學(xué)完四邊形、相似三角形等等，都可以進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，但每次訓(xùn)練都應(yīng)有具體的要求與目標(biāo)。

（3）及時(shí)總結(jié)解題的經(jīng)驗(yàn)，指導(dǎo)學(xué)生選擇最好的證明方法。這包括一些常用的輔助線，有代表性的基本圖形、重要定理的使用方法，某類圖形的一般解法。然后抓住一題多解做文章，指導(dǎo)學(xué)生怎樣找到最簡(jiǎn)單的方法。

（4）重要定理的教學(xué)。這主要是有計(jì)劃分層次地安排。如三角形中位線定理可分以下幾個(gè)層次進(jìn)行：①定義與定理的內(nèi)容及其基本應(yīng)用；②在已知有線段中點(diǎn)的條件下考慮使用定理；③在沒有線段中點(diǎn)的條件下，根據(jù)圖形特點(diǎn)，作出中點(diǎn)，以中位線為輔助線幫助解題；④用變動(dòng)的觀點(diǎn)觀察、分析三角形中位線定理與梯形中位線定理的相互關(guān)系以及使用它們的一般規(guī)律。

4 適當(dāng)時(shí)候引導(dǎo)學(xué)生了解幾何的體系與結(jié)構(gòu)

當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何一段時(shí)間，有了一定的基礎(chǔ)，就可以適時(shí)引導(dǎo)、組織學(xué)生了解平面幾何的知識(shí)體系與知識(shí)結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生從整體上把握平面幾何全貌以及各個(gè)部分之間的聯(lián)系與邏輯關(guān)系，構(gòu)建平面幾何知識(shí)網(wǎng)綱，提升邏輯思維能力，掌握學(xué)習(xí)平面幾何的方法，讓學(xué)生得到了升華。

5 在教學(xué)中滲透近代研究幾何的觀點(diǎn)和科學(xué)的思維方法

平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)是近代研究幾何的觀點(diǎn)。在教學(xué)中，我們經(jīng)常要求學(xué)生掌握幾種最基本的軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，并以這些圖形為工具去指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、觀察和分析問題。例如：圖6是一個(gè)以直線PO為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，利用它不僅可以記憶切線長(zhǎng)定理、垂徑定理，還可以記憶過圓外一點(diǎn)引圓的切線的作法。

又如圖7，已知：在△ABC中，AD⊥BC，BD>DC。求證：AB>AC。

分析：要證AB>AC，可證∠C>∠B，只要以AD為對(duì)稱軸作出點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)C，因?yàn)锽D>CD，故C必在B、D之間，所以∠ACD為△ABC的一個(gè)外角且等于∠C，從而得到∠C>∠B。

利用平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)來觀察、分析問題的著眼點(diǎn)是使學(xué)生較容易地發(fā)現(xiàn)怎樣作出輔助線解題，并從中領(lǐng)悟到輔助線必須具有目的性。

分解與組合、一般與特殊、靜止與變動(dòng)、分析與綜合等都是常用的科學(xué)的思維方法。在教學(xué)中滲透這些思想方法，注意挖掘體現(xiàn)這些思想方法的內(nèi)容，并結(jié)合具體內(nèi)容幫助學(xué)生熟悉、理解這些方法具有深遠(yuǎn)的意義。

參考文獻(xiàn)

[1] 李建才.中學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)基本功講座[M].北京師范學(xué)院出版社，1991.

[2] 吳憲芳，郭熙漢.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].華中師大出版社，1997.endprint

（2）結(jié)合教材進(jìn)度，選擇強(qiáng)化證明訓(xùn)練的適當(dāng)時(shí)機(jī)。如學(xué)習(xí)相交線與平行線之后、學(xué)完全等三角形以后、學(xué)完四邊形、相似三角形等等，都可以進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，但每次訓(xùn)練都應(yīng)有具體的要求與目標(biāo)。

（3）及時(shí)總結(jié)解題的經(jīng)驗(yàn)，指導(dǎo)學(xué)生選擇最好的證明方法。這包括一些常用的輔助線，有代表性的基本圖形、重要定理的使用方法，某類圖形的一般解法。然后抓住一題多解做文章，指導(dǎo)學(xué)生怎樣找到最簡(jiǎn)單的方法。

（4）重要定理的教學(xué)。這主要是有計(jì)劃分層次地安排。如三角形中位線定理可分以下幾個(gè)層次進(jìn)行：①定義與定理的內(nèi)容及其基本應(yīng)用；②在已知有線段中點(diǎn)的條件下考慮使用定理；③在沒有線段中點(diǎn)的條件下，根據(jù)圖形特點(diǎn)，作出中點(diǎn)，以中位線為輔助線幫助解題；④用變動(dòng)的觀點(diǎn)觀察、分析三角形中位線定理與梯形中位線定理的相互關(guān)系以及使用它們的一般規(guī)律。

4 適當(dāng)時(shí)候引導(dǎo)學(xué)生了解幾何的體系與結(jié)構(gòu)

當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何一段時(shí)間，有了一定的基礎(chǔ)，就可以適時(shí)引導(dǎo)、組織學(xué)生了解平面幾何的知識(shí)體系與知識(shí)結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生從整體上把握平面幾何全貌以及各個(gè)部分之間的聯(lián)系與邏輯關(guān)系，構(gòu)建平面幾何知識(shí)網(wǎng)綱，提升邏輯思維能力，掌握學(xué)習(xí)平面幾何的方法，讓學(xué)生得到了升華。

5 在教學(xué)中滲透近代研究幾何的觀點(diǎn)和科學(xué)的思維方法

平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)是近代研究幾何的觀點(diǎn)。在教學(xué)中，我們經(jīng)常要求學(xué)生掌握幾種最基本的軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，并以這些圖形為工具去指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、觀察和分析問題。例如：圖6是一個(gè)以直線PO為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，利用它不僅可以記憶切線長(zhǎng)定理、垂徑定理，還可以記憶過圓外一點(diǎn)引圓的切線的作法。

又如圖7，已知：在△ABC中，AD⊥BC，BD>DC。求證：AB>AC。

分析：要證AB>AC，可證∠C>∠B，只要以AD為對(duì)稱軸作出點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)C，因?yàn)锽D>CD，故C必在B、D之間，所以∠ACD為△ABC的一個(gè)外角且等于∠C，從而得到∠C>∠B。

利用平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)來觀察、分析問題的著眼點(diǎn)是使學(xué)生較容易地發(fā)現(xiàn)怎樣作出輔助線解題，并從中領(lǐng)悟到輔助線必須具有目的性。

分解與組合、一般與特殊、靜止與變動(dòng)、分析與綜合等都是常用的科學(xué)的思維方法。在教學(xué)中滲透這些思想方法，注意挖掘體現(xiàn)這些思想方法的內(nèi)容，并結(jié)合具體內(nèi)容幫助學(xué)生熟悉、理解這些方法具有深遠(yuǎn)的意義。

參考文獻(xiàn)

[1] 李建才.中學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)基本功講座[M].北京師范學(xué)院出版社，1991.

[2] 吳憲芳，郭熙漢.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].華中師大出版社，1997.endprint