基于雅可比旋量統(tǒng)計(jì)法的發(fā)動(dòng)機(jī)三維公差分析

陳華，唐廣輝，陳志強(qiáng)，李志敏，金隼

（1.上海交通大學(xué)上海市復(fù)雜薄板結(jié)構(gòu)數(shù)字化制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240；2.上汽通用五菱汽車股份有限公司，廣西柳州545007）

基于雅可比旋量統(tǒng)計(jì)法的發(fā)動(dòng)機(jī)三維公差分析

陳華1，唐廣輝2，陳志強(qiáng)2，李志敏1，金隼1

（1.上海交通大學(xué)上海市復(fù)雜薄板結(jié)構(gòu)數(shù)字化制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240；2.上汽通用五菱汽車股份有限公司，廣西柳州545007）

為了在發(fā)動(dòng)機(jī)裝配體的公差分析中考慮傳統(tǒng)尺寸鏈無(wú)法處理的幾何公差信息，以發(fā)動(dòng)機(jī)的做功機(jī)構(gòu)為分析對(duì)象，引入雅可比旋量模型，建立在尺寸和形位公差約束下的特征及其配合旋量的變動(dòng)和約束方程。將其融入到蒙特卡洛算法中，實(shí)現(xiàn)發(fā)動(dòng)機(jī)做功機(jī)構(gòu)的三維統(tǒng)計(jì)公差分析。與傳統(tǒng)分析方法相比，基于雅克比旋量模型的分析方法考慮了更多的幾何公差信息，分析結(jié)果也更加精確，該模型可以從尺寸鏈角度建立發(fā)動(dòng)機(jī)零部件公差與整機(jī)性能的映射關(guān)系。

雅可比旋量；統(tǒng)計(jì)法；三維公差分析；做功機(jī)構(gòu)；發(fā)動(dòng)機(jī)

對(duì)于發(fā)動(dòng)機(jī)而言，燃油消耗率、功率、扭矩等性能指標(biāo)是汽車顧客最為關(guān)心的問(wèn)題。研究表明，單缸燃燒室壓縮比的波動(dòng)及其缸間的差異化是影響油耗的一個(gè)重要因素，零部件之間的運(yùn)動(dòng)摩擦功耗對(duì)整機(jī)輸出功率有較大影響，這些都與零部件的公差設(shè)計(jì)和累積直接相關(guān)。零部件公差與整機(jī)性能的映射關(guān)系是發(fā)動(dòng)機(jī)領(lǐng)域一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。

發(fā)動(dòng)機(jī)的做功機(jī)構(gòu)，包括曲軸及軸瓦、連桿及連桿瓦、活塞銷和活塞、以及作為支撐件的氣缸體，是發(fā)動(dòng)機(jī)最為重要的功能組件之一，也是壓縮比的重要構(gòu)件和摩擦功的主要制造者。以某型四缸汽油機(jī)為例，做功機(jī)構(gòu)的累積公差可導(dǎo)致壓縮比波動(dòng)6%，僅次于缸蓋燃燒室和活塞燃燒室的容積公差導(dǎo)致的波動(dòng)。同時(shí)，該機(jī)構(gòu)的摩擦功占整機(jī)摩擦功的70%以上［1］。

目前，該機(jī)構(gòu)的公差設(shè)計(jì)以經(jīng)驗(yàn)為主，公差分析和分配基于傳統(tǒng)的平面尺寸鏈和極值法，分析對(duì)象僅限于零部件的尺寸公差。對(duì)于圖紙上大量的幾何公差信息，一直缺乏標(biāo)注依據(jù)和分析手段。

三維公差分析技術(shù)在空間領(lǐng)域描述特征在公差域的微小變動(dòng)，以及這些變動(dòng)矢量在裝配鏈中的傳遞關(guān)系，能有效的表達(dá)和傳遞除尺寸公差外的其他幾何公差。目前，基于三維幾何的公差分析模型主要有：以點(diǎn)集形式包含了滿足公差要求的所有公差域邊界及變動(dòng)要素的T-Map模型［2］；用齊次變換矩陣表示實(shí)際特征在公差域中變動(dòng)的矩陣模型［3］；將包含裝配偏差和幾何偏差的非線性隱式裝配關(guān)系一階線性展開(kāi)的直接線性法（direct linearization method，DLM）模型［4，5］；視公差域?yàn)樘摂M關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)空間，用雅可比矩陣計(jì)算各關(guān)節(jié)與末端之間的公差傳遞的雅可比模型［6］；基于工藝拓?fù)湎嚓P(guān)表面理論，適合公差表示的小位移旋量（small displacement torsor，SDT）模型［7］；以及結(jié)合了雅可比和小位移旋量模型的雅可比旋量模型［8］等。其中，雅可比旋量模型算法簡(jiǎn)潔，工程語(yǔ)義豐富，特別適合于以圓柱和平面特征為主的復(fù)雜裝配體三維公差建模，除極值算法外，還能實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)算法。

將三維公差分析技術(shù)與統(tǒng)計(jì)算法結(jié)合起來(lái)是當(dāng)前的研究熱點(diǎn)［9］。本文引入雅可比旋量模型，以發(fā)動(dòng)機(jī)做功機(jī)構(gòu)為分析對(duì)象，建立在尺寸和形位公差約束下的特征及其配合旋量的變動(dòng)和約束方程，將其融入到蒙特卡洛算法中，實(shí)現(xiàn)發(fā)動(dòng)機(jī)做功機(jī)構(gòu)的三維統(tǒng)計(jì)公差分析，并詳細(xì)分析計(jì)算結(jié)果。

1 雅可比旋量統(tǒng)計(jì)算法

1.1 雅可比旋量模型

雅可比旋量模型結(jié)合了2個(gè)重要的概念，即適合公差傳遞的雅可比矩陣和適合公差表示的旋量模型。

在公差分析中，可將各公差域所蘊(yùn)含的變動(dòng)視為虛擬關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)，用雅可比矩陣將其傳遞到裝配尺寸鏈的封閉環(huán)。為方便分析計(jì)算，這里將公差分為兩類，即功能要求副（functional requirement，F(xiàn)R）和功能單元副（functional element，F(xiàn)E）。FR為設(shè)計(jì)目標(biāo)值，通常為封閉環(huán)；FE根據(jù)是否屬于同一個(gè)零件又可以分為內(nèi)部功能單元副（internal FE，IFE）和接觸功能單元副（contact FE，CFE）。雅可比矩陣用于公差分析的傳遞模型可表達(dá)為

式中：δS和δα分別代表FR的3個(gè)平動(dòng)矢量和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)矢量；δq[]FEi代表各FE中的小位移矢量；n為FE的數(shù)目；J[]FEi為各關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)的雅可比矩陣，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

旋量法是螺旋理論在公差領(lǐng)域的具體應(yīng)用，因其分析對(duì)象為小位移轉(zhuǎn)動(dòng)或平動(dòng)，故也稱小位移旋量。如圖1所示，公差域可視為實(shí)際特征S1對(duì)理想特征S0的變動(dòng)空間，由3個(gè)沿坐標(biāo)軸平動(dòng)的矢量和3個(gè)繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的矢量組成。S1相對(duì)于S0的小位移旋量可表示為

圖1 面特征的旋量表示模型Fig.1 Screw model of a planar feature

對(duì)于S0上的任一點(diǎn)N，S1的變動(dòng)空間，即公差域的旋量表示為

式中：ZN為N點(diǎn)的法向量，TSU為上公差，TSL為下公差。

小位移旋量模型用運(yùn)動(dòng)旋量來(lái)表示公差變動(dòng)域，有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義及豐富的工程語(yǔ)義。但對(duì)于公差的傳遞和累積，卻不如雅可比矩陣方便直接［10］。

綜合雅可比矩陣和小位移旋量模型，就是雅可比旋量模型，其表達(dá)式為

從式（6）可以看出，基于雅可比旋量模型的公差分析方法具有簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)表達(dá)式、可量化位置和方向公差、豐富的工程語(yǔ)義等特點(diǎn)。然而，對(duì)于雅可比旋量模型，極值法的求解與公差標(biāo)準(zhǔn)相矛盾，因?yàn)橥籉E的各矢量之間存在約束關(guān)系，而非彼此獨(dú)立?；诿商乜逅惴ǖ慕y(tǒng)計(jì)法能在計(jì)算過(guò)程中考慮這種約束關(guān)系，因而可將統(tǒng)計(jì)法引入到雅可比旋量模型中，這就是雅可比旋量統(tǒng)計(jì)算法。

1.2 雅可比旋量統(tǒng)計(jì)算法

眾所周知，零件的加工質(zhì)量都呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，其分布特征取決于工序能力和工藝技術(shù)。統(tǒng)計(jì)法也意味著一定的廢品率和不完全互換性，但相比于極值法，統(tǒng)計(jì)法更符合生產(chǎn)實(shí)際，且對(duì)組成環(huán)的公差分配較為寬松。

Ghie等［11］提出了雅可比旋量模型的統(tǒng)計(jì)算法，但在計(jì)算過(guò)程中忽略了屬于同一旋量的矢量之間的約束關(guān)系。本文提出了一種新的算法，能將旋量的變動(dòng)和約束關(guān)系融入到計(jì)算流程中，使得計(jì)算結(jié)果更加合理。其流程如圖2所示。其中，i為實(shí)際仿真次數(shù)，N為設(shè)定仿真次數(shù)。

圖2 雅克比旋量模型統(tǒng)計(jì)法計(jì)算流程Fig.2 A statistical scheme for the Jacobian-Torsor model

該算法基于蒙特卡洛模擬方法，關(guān)鍵在于建立特征的變動(dòng)和約束方程，并將其應(yīng)用到蒙特卡洛算法中。對(duì)于不同的特征和公差類型，以及特征之間的配合，都對(duì)應(yīng)不同的變動(dòng)和約束方程［12-13］。

發(fā)動(dòng)機(jī)做功機(jī)構(gòu)的各零部件以圓柱和平面特征為主，裝配約束主要是面匹配和軸孔間隙配合。在各種公差約束下，建立平面和圓柱特征，及其配合的變動(dòng)和約束方程，然后代入到雅可比旋量統(tǒng)計(jì)算法流程中，就可對(duì)做功機(jī)構(gòu)進(jìn)行三維統(tǒng)計(jì)公差求解。

2 做功機(jī)構(gòu)三維統(tǒng)計(jì)公差分析

圖3所示為某型發(fā)動(dòng)機(jī)第三缸活塞處于上止點(diǎn)時(shí)的功能要求示意圖，F(xiàn)R對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)的壓縮比有直接的影響。

圖3 功能要求圖Fig.3 Functional requirement

圖4 為與FR相關(guān)的各零件設(shè)計(jì)公差圖。為方便計(jì)算，本文將曲軸瓦與曲軸孔視為一體，稱為缸體組件；將連桿大端孔與連桿瓦視為一體，稱為連桿組件。計(jì)算過(guò)程由基于Matlab編制的程序完成，其步驟如下：

1）建立雅可比旋量模型。做功機(jī)構(gòu)的裝配尺寸鏈傳遞見(jiàn)圖5所示，坐標(biāo)系固結(jié)于各零件公差域的中間位置，坐標(biāo)及方向如圖4所示，各坐標(biāo)方向均相同以避免投影換算。該裝配體包含兩條串聯(lián)環(huán)路：IFE1-IFE9-FR和CFE2-IFE3-CFE4-IFE5-CFE6-FE7-IFE8-FR，故需建立2個(gè)雅可比旋量模型。在本案例中忽略了曲軸和連桿的軸向止推約束，以及缸孔與活塞的圓周約束，以避免產(chǎn)生局部并聯(lián)而導(dǎo)致無(wú)法建立雅可比傳遞矩陣。

圖4 各零件的設(shè)計(jì)要求圖Fig.4 Detailed drawing of each part

圖5 功機(jī)構(gòu)的裝配鏈Fig.5 Connection graph of the working mechanism

由式（2）、（3）可得做功機(jī)構(gòu)的雅可比傳遞矩陣：

式中：dz1＝dz2＝186，dz3＝dz4＝146.5，dz5＝dz6＝dz7＝25.5，dy1＝dy2＝38，其余未說(shuō)明向量為零。

2）建立旋量的變動(dòng)范圍和約束。這里給出具有代表性的IFE3和IFE9為例說(shuō)明。在IFE3中曲軸小頸對(duì)大頸有位置度TPO（Φ0.1）和平行度TPAR（Φ0.05））要求，其旋量中各矢量的變動(dòng)范圍為

約束條件為

IFE9為缸體頂面對(duì)曲軸孔的位置TPO（Φ0.1）約束，其變動(dòng)范圍為

約束條件為

通常，位置公差限制旋量的平動(dòng)，而方向公差限制其轉(zhuǎn)動(dòng)。

平面之間的匹配，一般情況下都默認(rèn)為完全貼合，故小位移旋量都為零。而圓柱的情況則不同，因?yàn)橛虚g隙配合的情況，例如曲軸與曲軸孔的配合，其旋量的變動(dòng)和約束方程與位置度相同，這里的“位置度”等于軸孔配合的最大間隙值。

3）計(jì)算各旋量中矢量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，按概率分布產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。其均值和標(biāo)準(zhǔn)差可由式（12）、（13）得到，其中K為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)數(shù)，可依據(jù)預(yù)定廢品率查表得知；μT為變動(dòng)范圍的中值：

這里假設(shè)各零部件的廢品率都為0.27%，且各矢量都為正態(tài)分布，故K＝3，隨機(jī)數(shù)由Matlab中的randn（）函數(shù)生成。

4）蒙特卡洛仿真計(jì)算。計(jì)算由程序?qū)崿F(xiàn)，需要注意的是仿真次數(shù)越多，結(jié)果越精確，但也越耗時(shí)，這里設(shè)置為10 000次。

5）建立FR的直方圖，并計(jì)算其均值和標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)于發(fā)動(dòng)機(jī)做功機(jī)構(gòu)，只關(guān)注FR在活塞行程方向的公差累積，對(duì)應(yīng)于FR中的w。在程序中建立w的直方圖，并計(jì)算出均值和標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算結(jié)果為：σFR1w＝0.031 1，σFR2w＝0.017 6。二者的均值都非常小，可置為0。

6）結(jié)果計(jì)算?；钊麎嚎s高至缸體上表面的公差累積為兩條公差傳遞環(huán)路之和。在統(tǒng)計(jì)法中，F(xiàn)R的標(biāo)準(zhǔn)差為FR1和FR2標(biāo)準(zhǔn)差的平方和的根。上一步計(jì)算出FR的標(biāo)準(zhǔn)差，從而得到其公差范圍為

即活塞處于上止點(diǎn)時(shí)，活塞壓縮高到缸體頂面在z軸方向的累積公差為±0.107 2。

3 結(jié)果分析

對(duì)于該做功機(jī)構(gòu)，僅考慮尺寸公差的傳統(tǒng)平面尺寸鏈統(tǒng)計(jì)算法結(jié)果為±0.128 9。對(duì)比可以看出，本文提出的基于雅可比旋量模型的統(tǒng)計(jì)算法在計(jì)算過(guò)程中考慮了平行度公差的約束，以及旋量中平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)矢量間的約束，從而更加符合公差標(biāo)準(zhǔn)且精度更高，同時(shí)也為各組成零部件提供了更為寬松的公差設(shè)計(jì)空間。

對(duì)于做功機(jī)構(gòu)，不僅要知道零部件之間的公差累積，還需要知道各個(gè)公差對(duì)累積公差的貢獻(xiàn)度，為公差優(yōu)化提供依據(jù)。對(duì)于雅可比旋量的統(tǒng)計(jì)算法，其公差貢獻(xiàn)度的計(jì)算公式為

經(jīng)計(jì)算并歸一化處理，可得到各FE的貢獻(xiàn)度排列圖，如圖6所示。

圖6 公差貢獻(xiàn)度排列圖Fig.6 The pareto diagram of tolerance contribution

由圖6可以看出，曲軸孔的位置度對(duì)做功機(jī)構(gòu)的公差累積影響最為顯著，達(dá)到21.12%。這也體現(xiàn)了雅可比旋量模型的杠桿效應(yīng)。圖7所示為曲軸孔位置度（Φt）對(duì)缸體理論頂面（b）的影響示意圖，曲軸中心線在位置度范圍內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)（a′）可導(dǎo)致頂面（b′）超出平動(dòng)的變動(dòng)范圍（±t／2），且距離d越大，杠桿效應(yīng)越明顯。故曲軸孔的位置度控制越嚴(yán)格越好。

圖7 曲軸孔位置度對(duì)頂面變動(dòng)影響示意圖Fig.7 Graph for variational top plane influenced by the positional tolerance of hole of crankshaft

曲軸孔位置度、曲軸與曲軸孔的間隙配合、曲軸小徑對(duì)大頸的位置度、以及連桿小端孔對(duì)大端孔的位置度對(duì)FR的偏差貢獻(xiàn)度之和占總貢獻(xiàn)度的78.1%，而剩余的5項(xiàng)只占22.9%，因此，可嚴(yán)格控制前4項(xiàng)，而適當(dāng)放松后5項(xiàng)，做到質(zhì)量成本的優(yōu)化。

值得注意的是，以上流程都是假設(shè)零件的加工質(zhì)量和累積結(jié)果符合正態(tài)分布，但實(shí)際情況中可能還存在其他分布形式，這就需要對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)采樣分析。對(duì)于非正態(tài)分布的參數(shù)，尤其是計(jì)算結(jié)果，需分布檢驗(yàn)程序。對(duì)分布的描述，除了均值和標(biāo)準(zhǔn)差，還應(yīng)該有偏度和峰度等參數(shù)［14］。另外，還可繼續(xù)分解式（15）以分別求出其中位置和方向公差的貢獻(xiàn)度，這里不做展開(kāi)。

4 結(jié)束語(yǔ)

要理清諸如發(fā)動(dòng)機(jī)等結(jié)構(gòu)復(fù)雜、制造成本相對(duì)較高的精密機(jī)構(gòu)零部件公差與性能映射關(guān)系，三維公差分析方法可從尺寸鏈角度提供思路和線索。雅可比旋量統(tǒng)計(jì)公差分析方法具有簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)表達(dá)式、可量化幾何公差信息、準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果和豐富的工程語(yǔ)義等特點(diǎn)，尤其適合此類機(jī)構(gòu)的公差分析和優(yōu)化。此外，通過(guò)修正雅可比矩陣，實(shí)際工況下的熱、載荷等影響因素也可以考慮進(jìn)來(lái)［15］，在一定程度上可以減少物理實(shí)驗(yàn)，降低開(kāi)發(fā)成本。

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Three-dimensional tolerance analysis of engine based on Jacobian-Torsor statistical model

CHEN Hua1，TANG Guanghui2，CHEN Zhiqiang2，LI Zhimin1，JIN Sun1
（1.Shanghai Key Laboratory of Digital Manufacture for Thin-walled Structures，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China；2.SAIC GM Wuling Automobile Co.，Ltd.，Liuzhou 545007，China）

The working mechanism of an engine is the target of analysis in order to consider geometric tolerances which cannot be handled by traditional tolerance chains in engine assemblies.The Jacobian-Torsor model is introduced，and variations and constraints of torsors for features and their joints under the restrictions of size and geometric tolerances are built.Based on Monte Carlo simulation，three-dimensional tolerance analysis for working mechanism with a statistical way is achieved.Compared with traditional tolerance analysis methods，the method based on the Jacobian-Torsor statistical model takes more geometric tolerances into consideration and obtains more accurate results.This model can build the relationship between tolerances of parts and engine performance from tolerance chains＇perspectives.

Jacobian-Torsor；statistical method；3D tolerance analysis；working mechanism；engine

10.3969／j.issn.1006-7043.201306058

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201306058.html

TP391

A

1006-7043（2014）11-1397-06

2013-06-18.網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2014-09-25.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51121063，51175340）；“十二五”國(guó)家科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目（2012BAF06B03）.

陳華（1981-），男，博士研究生；金隼（1973-），男，研究員，博士生導(dǎo)師.

金隼，E-mail：jinsun＠sjtu.edu.cn.