球桿系統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)控制

鄭艷偉，張井崗(太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院，太原 030024)

球桿系統(tǒng)具備了非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)所有的動(dòng)態(tài)特征，是典型的開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，也是一個(gè)驗(yàn)證各種先進(jìn)控制算法具有代表性的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。對(duì)其研究產(chǎn)生的控制算法和技術(shù)在機(jī)器人控制、軍事領(lǐng)域和工業(yè)應(yīng)用等方面都具有廣泛的應(yīng)用開發(fā)前景，所以對(duì)球桿系統(tǒng)這樣的一個(gè)典型被控對(duì)象進(jìn)行研究，無論在控制理論研究和工程實(shí)踐中都具有重要的意義。

近年來國內(nèi)外許多學(xué)者針對(duì)球桿系統(tǒng)提出了不同控制算法。如文獻(xiàn)[1]提出了基于遺傳算法的自適應(yīng)PD控制，能使小球迅速的達(dá)到穩(wěn)定位置；文獻(xiàn)[2]采用網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測控制算法(NPC)設(shè)計(jì)了球桿網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，通過實(shí)驗(yàn)證明相對(duì)于清空法和保持法，NPC可以使系統(tǒng)獲得更好的控制效果；文獻(xiàn)[3]針對(duì)球桿系統(tǒng)的非線性模型，分別提出了靜態(tài)和動(dòng)態(tài)基于等速趨近率的滑?？刂?；文獻(xiàn)[4]提出了一種考慮驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)帶有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償?shù)拇?jí)控制策略，基于常規(guī)的PD控制，將系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置到期望的位置，最終實(shí)現(xiàn)了球桿系統(tǒng)的高精度控制；文獻(xiàn)[5]針對(duì)球桿系統(tǒng)模型的不確定性，提出了一種自適應(yīng)魯棒控制策略；文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)基于插值的模糊控制器，使系統(tǒng)的控制性能得到進(jìn)一步提高。

針對(duì)球桿系統(tǒng)，本文首先將其復(fù)雜的非線性模型進(jìn)行線性化處理，其次針對(duì)簡化的線性模型，基于指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)滑?？刂破?；仿真和實(shí)驗(yàn)均表明：本文方法不僅能使小球較快的達(dá)到設(shè)定位置，而且具有較強(qiáng)的抗干擾能力，同時(shí)有效的削弱了滑?？刂浦写嬖诘亩墩瘳F(xiàn)象。

1 球桿系統(tǒng)簡介和數(shù)學(xué)建模

1.1 球桿系統(tǒng)簡介

球桿系統(tǒng)的球桿裝置機(jī)械結(jié)構(gòu)示意圖和組成示意圖分別如圖1和2所示。球桿裝置主要包括大小齒輪箱減速機(jī)構(gòu)、直流伺服電機(jī)、連桿、V型槽軌道。執(zhí)行系統(tǒng)為不銹鋼球和V型槽軌道。V型槽軌道兩側(cè)分別是直線位移電阻器和不銹鋼桿。通過測量不銹鋼桿上的輸出電壓可得球在軌道上的位置。計(jì)算機(jī)、線性傳感器、IPM100智能伺服驅(qū)動(dòng)器、光電碼盤和球桿本體等幾部分組成控制系統(tǒng)。控制器根據(jù)測量位置和目標(biāo)位置之間的誤差計(jì)算控制量，以及控制伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)減速齒輪角度θ，進(jìn)而控制導(dǎo)軌與水平面的夾角α，最終使小球穩(wěn)定到目標(biāo)位置。

1.2 球桿系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模

由于完全描述小球運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)過程非常繁雜，本文對(duì)該控制系統(tǒng)給出一個(gè)相對(duì)簡單的模型以便控制器的設(shè)計(jì)。

圖1 球桿裝置機(jī)械結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 球桿系統(tǒng)組成框圖

小球在軌道上的受力為球受到的摩擦力和球的重力在平行與導(dǎo)軌方向上分力的合力。由小球的動(dòng)力學(xué)方程可得小球在V型桿上的加速度表達(dá)式：

(1)

式中小球質(zhì)量m=28 g；小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.4mR2；小球半徑R=14.5 mm；小球位置偏移r；重力加速度g=9.8 m/s；橫桿偏角α；球桿長度L=0.4 m；杠桿臂與齒輪的連接點(diǎn)到齒輪中心的距離d=0.04 m.

由球桿機(jī)械結(jié)構(gòu)知：

(2)

由于實(shí)際摩擦力較小，忽略摩擦力的影響，則小球運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型簡化成下式：

(3)

當(dāng)小球處于穩(wěn)定位置時(shí)，α取值很小。當(dāng)α<<1時(shí)，由sinα≈α，將式(3)線性化處理后，得到傳遞函數(shù)：

(4)

實(shí)際控制中，由電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)角輸出決定桿的仰角α.齒輪的減速比和非線性是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)角θ和桿仰角α之間關(guān)系的關(guān)鍵影響因素，對(duì)模型進(jìn)一步簡化得:

(5)

將式(5)代入式(4)，可得簡化模型為：

(6)

將參數(shù)帶入，得系統(tǒng)的簡化模型為：

(7)

2 球桿滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

2.1 滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)滑模控制器基本包括兩個(gè)方面：滑模面s(切換函數(shù))和控制量u(控制律)?；Ｃ嬉唤?jīng)選定，系統(tǒng)進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)后其動(dòng)態(tài)響應(yīng)只與滑模面參數(shù)相關(guān)而與擾動(dòng)無關(guān)，繼而可達(dá)到抑制擾動(dòng)和參數(shù)攝動(dòng)的效果。

對(duì)與單輸入單輸出的二階系統(tǒng):

(8)

(9)

定義滑模函數(shù)如下：

(10)

為削弱系統(tǒng)的抖振，采用趨近律的控制方式，控制律推導(dǎo)過程為：

(11)

指數(shù)趨近律為:

slaw=-εsgn(s)-ksε>0,k>0

(12)

由式(8)、式(9)、式(11)得：

(13)

將式(12)帶入式(13)得控制律：

(14)

對(duì)控制器進(jìn)行穩(wěn)定性分析，由式(11)和式(12)得:

(15)

則有:

(16)

滿足李雅普諾夫函數(shù)型的到達(dá)條件：

(17)

其中V(x)為定義的李雅普諾夫函數(shù)。

在式(14)所示的滑模控制律中，三個(gè)參數(shù)需要調(diào)整，即滑模面參數(shù)c，增益參數(shù)ε和趨近速度參數(shù)k.c是影響滑模運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)快慢的關(guān)鍵參數(shù)，參數(shù)k主要作用于切換函數(shù)的動(dòng)態(tài)過渡過程。系統(tǒng)的快速性隨著c和k的增加而變大，但過大的參數(shù)則會(huì)引起過大的控制量輸出。ε的取值主要影響系統(tǒng)克服攝動(dòng)及外界干擾，ε越大，系統(tǒng)克服攝動(dòng)和外干擾的能力越強(qiáng)。但是，過大的增益則引起系統(tǒng)抖振加大。為了提高趨近效果同時(shí)削弱抖振現(xiàn)象，適當(dāng)增大k而同時(shí)減小ε值。

2.2 球桿系統(tǒng)的滑模控制器設(shè)計(jì)

球桿系統(tǒng)的狀態(tài)方程:

(18)

與式(8)中對(duì)應(yīng)的g(x,t)=0，h(x,t)=0.7.

令控制器的狀態(tài)變量為：

(19)

x1，x2為小球的位置，rd為小球位置的期望值，rd為常數(shù)，滑模面為:

將式(15)代入，得控制律:

(20)

本文用飽和函數(shù)sat(s)代替理想滑動(dòng)模態(tài)中的符號(hào)函數(shù)sgn(s)，這樣能較好削弱滑?？刂浦卸墩瘳F(xiàn)象，基于式(20)則有:

(21)

MATLAB環(huán)境下以SIMULINK搭建球桿系統(tǒng)的仿真圖進(jìn)行仿真。將滑?？刂破鬟M(jìn)行離散化，采樣時(shí)間為0.02 s，球桿臂總長為0.4 m，取小球的期望置rd=0.25 m，在10 ms時(shí)加幅值為+0.05的階躍干擾，參數(shù)選取c=0.000 2，ε=0.8，k=120時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)、滑模面和滑?？刂破鬏敵銮€分別如圖3-5所示，由圖3可以看出，本文方法可以使小球較快達(dá)到穩(wěn)定位置，而且對(duì)外界干擾具有較強(qiáng)的抑制能力。

圖3 滑?？刂葡到y(tǒng)仿真曲線

圖4 滑模面仿真曲線

圖5 滑模控制器仿真曲線

為驗(yàn)證本文方法在實(shí)際應(yīng)用中的有效性，選用固高公司的GBB1004球桿系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)控制研究。將滑模控制器進(jìn)行離散化，采樣時(shí)間為0.02 s.滑模控制器的參數(shù)選取為：c=0.02，ε=0.8，k=120.設(shè)定小球的期望值rd=0.25 m，在50 s時(shí)加幅值為+0.05的階躍干擾，在Matlab/Simulink環(huán)境中進(jìn)行實(shí)時(shí)控制，球桿系統(tǒng)實(shí)時(shí)控制界面為圖6所示，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7-9所示。

圖6 球桿系統(tǒng)實(shí)時(shí)控制界面

圖7 滑?？刂葡到y(tǒng)實(shí)時(shí)曲線

實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)小球位置輸出、滑模面輸出和控制器輸出曲線分別如圖7-9所示，由圖7可以看到，小球在10 s時(shí)穩(wěn)定到期望值0.25 m，在50 s時(shí)加幅值+0.05的階躍干擾，系統(tǒng)能較快的回到設(shè)定值。由圖8和圖9可以看出，有效的削弱了滑模控制中的抖振現(xiàn)象。仿真和實(shí)驗(yàn)效果驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)的基于指數(shù)趨近律滑模控制器可使小球快速，準(zhǔn)確的穩(wěn)定回到目標(biāo)值，并且具有較強(qiáng)的抗干擾能力。

圖8 滑模面實(shí)時(shí)曲線

圖9 滑模控制器實(shí)時(shí)曲線

3 結(jié)論

本文針對(duì)球桿系統(tǒng)，首先對(duì)復(fù)雜的非線性模型進(jìn)行線性化簡化處理，其次設(shè)計(jì)出基于指數(shù)趨近律的滑?？刂破?。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法可使小球具有較好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能，并且對(duì)外界具有良好的干擾抑制能力，同時(shí)有效的削弱了滑?？刂浦幸鸬亩墩瘳F(xiàn)象。

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