中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)概念探析

張少林

(麗江高等師范?？茖W(xué)校 數(shù)計(jì)系，云南 麗江 674100）

自17 世紀(jì)近代數(shù)學(xué)產(chǎn)生以來，函數(shù)概念一直處于數(shù)學(xué)的核心位置。函數(shù)概念是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。同時，函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的核心內(nèi)容，以函數(shù)思想來貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容更容易形成體系。另外，由于函數(shù)概念的抽象性以及學(xué)生的思維水平處于很不成熟的階段，初、高中學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念時，往往感到困難，用函數(shù)思想分析問題和解決問題就顯得更困難，因此，對函數(shù)概念的深刻理解就顯得非常重要。

現(xiàn)就初、高中教材中函數(shù)概念的定義我們來作全面地分析。

1 初中“函數(shù)概念”

初中數(shù)學(xué)課本中函數(shù)概念的定義：在某個變化過程中，有兩個變量x 和y，如果給定x 一個值，就能相應(yīng)地確定y 的一個值，那么，我們就說y 是x 的函數(shù)，x 叫做自變量。

對于這個定義，我們應(yīng)從以下三個方面認(rèn)真領(lǐng)會其含義：

（1）首先看一看這一定義的描述：“在某個變化過程中，有兩個變量x、y”這個前提條件。

例如：圓的面積公式：S=πr2中，若指明S 是一個定值。那么π 和r可以構(gòu)成函數(shù)關(guān)系嗎？顯然不能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系的，事實(shí)上，r 是變量，而π 是一個常量。它們之間不具備函數(shù)關(guān)系的條件。又如，給定了一個圓柱體，其圓柱體公式為V=πr2h，當(dāng)圓柱體積V、h 一旦確定，即都為定值時，r 和π 能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系嗎？其實(shí)，這兩個量是不能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系的，因?yàn)棣?是一個固定不變的數(shù)，即一個常量，而r 是一個變量。這兩個量不具備函數(shù)關(guān)系的前提條件。

（2）反復(fù)琢磨、思考函數(shù)和自變量這個兩量在定義中的“角色”

我們看一看這樣一個變化過程：騎自車從甲地到乙地的過程中，自行車速度設(shè)定為20 千米/小時，隨著時的增加路程也在增加，在這一過程中涉及到的是時間和路程這兩個變量，如果給定時間一個值。相應(yīng)地就確定了路程的一個值，那么我們就說路程是時間的函數(shù)，時間就是自變量。又如，騎自行車從甲地到乙地路程已知是80 千米，車速越快，用時就越短；相應(yīng)的車速越慢，用時就越長。在這個過程中，速度和時間就是兩個變量。如果給定時間一個值，相應(yīng)地就確定速度的一個值，那么，我們就說，速度是時間的函數(shù)。時間叫做自變量。又如：騎自行行從甲地到乙地路程已知為80 公里，車速越快，用時就短；車速越慢，用時就越長。在這個過程中，速度和時間就是兩個變量。如果給定時間一個值就能相應(yīng)地確定速度的一個值。那么，我們就說，速度是時間的函數(shù)。時間叫做自變量。在前一變化過程中路程是變量，而后一過程中路程是常量。同樣，在后一變化過程中換一個角度，給定速度一個值就能相應(yīng)地確定時間一個值，那么我們就說時間是速度的函數(shù)，速度叫自變量。即使在同一變化過程中，誰是函數(shù)誰是自變量也是相對的，而不是固定的。

從以上分析可知：變量和常量是相對于某一過程而言，沒有絕對的變量和常量。把一個變量稱做函數(shù)，也是相對的。這里一方面指它必須是依賴于某個稱為自變量的變量，另一方面，一個變量是某個變量的函數(shù)，也是相對于某個過程而言的。對于自變量和函數(shù)來講，決不能認(rèn)為只要自變量變化了，函數(shù)理應(yīng)隨著變化。事實(shí)上，如，符號函數(shù)就是一個典型的例子：sgn=，當(dāng)x＜0 時，其函數(shù)值保持為-1，當(dāng)x＞0 時，同樣函數(shù)值始終為1，定義中明確指出；對于給定每一個自變量的值，就有確定的一個函數(shù)值和它對應(yīng)。事實(shí)上，從上例可知，對于不同的自變量的值，函數(shù)可以取到相同的值，并且可以是多個。

2 高中教材里“函數(shù)概念”的剖析

有了“集合論”以后，函數(shù)的定義就改用了“集合”和“對應(yīng)”這兩個原始概念來敘述，即“給出了兩個非空數(shù)集D 和M，對于集合D 中每一個元素x，可以依照某一法則使之對應(yīng)于集合M 中的某一個元素y，假定這種對應(yīng)關(guān)系確定了，那么在集合D 上就確定了一個函數(shù)。記作：y=f（x）。分析這個定義，我們可以得出如下幾點(diǎn)：

（1）對于上述的定義，很明顯就抓住了函數(shù)概念的本質(zhì)屬性。要確定兩個變量之間是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，必須事先給定：屬于兩個數(shù)集D和M 的x，y，而且它們之間還要有一個確定的法則。對于D 中的每一個x 值，在M 中有一個唯一確定的y 值和它相對應(yīng)。不管給定的法則是用公式，圖形，表格和其它任何形式，。顯然定義帶有了普遍性和廣泛性。

對于概念中的“每一個”、“唯一確定”等這些關(guān)鍵詞一定要認(rèn)真理會。例如，給10 位編了學(xué)號的同學(xué)測量身高，但遇到剛好其中有一位同學(xué)沒有參加，可以想象得到，學(xué)號與身高之間是不能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系的。因?yàn)閷τ趯W(xué)號構(gòu)成的集合中的一個學(xué)號，在身高構(gòu)成的集合中就沒有元素與它對應(yīng)；概念中給出的集合是“數(shù)集”，它不是“點(diǎn)集”，也不是由圖形構(gòu)成的集合。如，由某班全體同學(xué)構(gòu)成的集合記作A，教室里的座位組成的集合記作B，每一位同學(xué)都有唯一的一個座位，班上還有空座位，這能否算作一個函數(shù)的例子嗎？。對于概念中的集合B，它是不是函數(shù)的值域，事實(shí)上，函數(shù)的值域是集合B 的子集。

（2）從定義可以看出，確定一個函數(shù)實(shí)際上包括了以下的三要素：①自變量集合（即定義即定義域）；②函數(shù)的集合M（即值域）；③對應(yīng)關(guān)系。

3 關(guān)于初、高中教材“函數(shù)概念”的比較

初中教材中的“函數(shù)”定義是從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)出發(fā)，把函數(shù)看成是變量之間的依賴關(guān)系。從歷史的角度看，初中給出的定義來源于物理公式，最初的函數(shù)概念幾乎等同于解析式。如，學(xué)習(xí)函數(shù)概念后，雖然明確地給出了函數(shù)的表示法：解析法，圖像法，表格法。但接下來所學(xué)習(xí)的函數(shù)都是用解析式表達(dá)出來的。如，正比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)等等，這明顯給我們一個映象——函數(shù)就是解析式。后來，人們逐漸意識到定義域與值域的重要性，一個函數(shù)存在，還必須看定義域。如，若不給x≠1 出這一條件，那么這個函數(shù)就無意義了。事實(shí)上討論它也就失去它應(yīng)有的價值了。而要弄清變量以及兩個變量間的變化的依賴關(guān)系，往往先要弄清各個變量的物理意義，這就使研究受到了一定的限制。如果只根據(jù)變量觀點(diǎn)，那么有些函數(shù)就很難進(jìn)行深入討論。如，迪里赫里函數(shù)，當(dāng)x 是有理數(shù)時，函數(shù)值為1，當(dāng)x 為無理數(shù)時，值為0，對這一函數(shù)，如果用變量觀點(diǎn)來解釋，會顯得十分勉強(qiáng)。也說不出x 的物理意義是什么。但用集合、對應(yīng)的觀點(diǎn)來解釋，就十分明了，進(jìn)入高中，學(xué)生需要建立的函數(shù)概念是：設(shè)A、B 是兩個非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A 中的任意一個數(shù)x，在集合B 中都有唯一確定的數(shù)f（x ）和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B 為集合A 到集合B 的一個函數(shù)。這個概念與初中概念相比更具有一般性。實(shí)際上，高中的函數(shù)概念與初中函數(shù)概念本質(zhì)上是一致的，不同點(diǎn)在于，表述方式不同，高中明確了集合、對應(yīng)的方法。初中雖然沒有明確定義域、值域這些集合，但這是客觀存在的，也已經(jīng)滲透了集合與對應(yīng)的觀點(diǎn)，與初中相比，高中引入了抽象的符號f（x ）。f（x ）指集合B 中與x 對應(yīng)的那個數(shù)。當(dāng)x 確定時，f（x ）也唯一確定，另外，初中并沒有明確函數(shù)值域這個概念。

函數(shù)概念的核心是“對應(yīng)”，理解函數(shù)概念要注意：

（1）兩個數(shù)集間有一種確定的對應(yīng)關(guān)系f。對應(yīng)關(guān)系f 是一個整體，是集合A 與B 之間的一種對應(yīng)關(guān)系，應(yīng)該從整體的角度認(rèn)識函數(shù)。

（2）涉及兩個數(shù)集A、B，而且這兩個數(shù)集都非空。

（3）定義中的關(guān)鍵詞是“每一個”“唯一確定”。也就是，對于集合A中的數(shù)，不能有的在集合B 中有數(shù)與對應(yīng)，有的沒有，每一個都要有，而且，在集合B 中只能有一個與其對應(yīng)，不能有兩個或者兩個以上與其對應(yīng)。

4 加強(qiáng)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

函數(shù)在數(shù)學(xué)這個大家庭中是一個必不可少的成員，而且在生活中他也同樣隨處可見。正如我們學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)，這些形形樣樣的函數(shù)，都在用不同的表示方法，不同的角度來表示著自然界中變量與變量之間的關(guān)系。因此，數(shù)學(xué)中函數(shù)的知識與我們的生活實(shí)踐有著不可分割的聯(lián)系。如：

（1）一次函數(shù)的應(yīng)用? 購物時總價與數(shù)量間的關(guān)系，是最基本的一次函數(shù)的應(yīng)用，由函數(shù)解析式可以清楚地了解到其中的正比例關(guān)系，在單價一定的條件下，數(shù)量越大，總價越大。此類問題非常基本，卻也運(yùn)用最為廣泛。

（2）二次函數(shù)的應(yīng)用

當(dāng)某一變量在因變量變化均勻時變化越來越快，?？紤]用二次函數(shù)解決。如細(xì)胞的分裂數(shù)量隨時間的變化而變化、利潤隨銷售時間的增加而增多、自由落體時速度隨時間的推移而增大、計(jì)算彈道軌跡等。二次函數(shù)的解析式及其圖像可簡明扼要地闡述出我們需要的一系列信息。如增加的速度、增加的起點(diǎn)等。

（3）反比例函數(shù)的應(yīng)用

反比例函數(shù)在生活中應(yīng)用廣泛，其核心為一個恒定不變的量。如木料的使用，當(dāng)木料一定時長與寬的分別設(shè)置即滿足相應(yīng)關(guān)系。還有總量一定的分配問題，可應(yīng)用在公司、學(xué)校等地方。所分配的數(shù)量及分配的單位即形成了這樣的關(guān)系。

（4）三角函數(shù)的應(yīng)用

實(shí)際生活中，我們常?？梢杂龅饺切?，而三角函數(shù)又蘊(yùn)含其中。如建筑施工時某物體高度的測量，確定航海行程問題，確定光照及房屋建造合理性以及河寬的測量都可以利用三角函數(shù)方便地測出。

（5）在生活中的利潤問題

總利潤=每件利潤×銷售量、人口增長率問題、個人所得稅問題、市場預(yù)測問題、運(yùn)貨調(diào)配問題、經(jīng)濟(jì)圖標(biāo)問題、平衡價格問題、工程造價問題，這些生活常見的問題在計(jì)算、應(yīng)用方面離不開函數(shù)的知識。利用函數(shù)就可以把各種數(shù)據(jù)都放到表格里，然后再繪制成函數(shù)圖像，從平面直角坐標(biāo)系中觀察出事情發(fā)展的趨勢以及計(jì)算出他們之間的函數(shù)關(guān)系式，來進(jìn)行合理的預(yù)算。有時還可以利用某些函數(shù)的函數(shù)圖像來求最值。由此可見，函數(shù)是十分重要的一部分。

（6）涉及函數(shù)的應(yīng)用題

這些應(yīng)用題更是與生活實(shí)際聯(lián)系密切，他不僅能培養(yǎng)我們分析問題和解決實(shí)際問題的能力，還能提高我們的思維素質(zhì)。同時利用函數(shù)也可以更簡便地解決問題。所以，學(xué)會了解和應(yīng)用函數(shù)也是十分重要的。

上面所說的均是與代數(shù)有關(guān)的函數(shù)，而三角函數(shù)則是主要運(yùn)用在幾何問題中。像利用三角函數(shù)求值問題、推算角度問題、判斷三角形問題，也都是非常常見的。所以，無論是代數(shù)還是幾何，計(jì)算還是應(yīng)用，考試還是生活，都離不開函數(shù)的知識。有了函數(shù)，可以讓我們生活更加地便利。隨著市場經(jīng)濟(jì)的逐步完善，人們?nèi)粘Ｉ钪械慕?jīng)濟(jì)活動越來越豐富多彩，買與賣，存款與保險，股票與債券，都已進(jìn)入我們的生活。

數(shù)學(xué)分基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。對初等數(shù)學(xué)來說，我們要接受前人的定理，然后會用這些知識去解釋實(shí)際問題，從而解決實(shí)際問題。在初中時，學(xué)生們基本上是按照方程的思想，列方程（組），最后求解。長期的定勢思維，束縛了一部分同學(xué)的思維，上高一后，雖然學(xué)習(xí)了函數(shù)，但方程思想根深蒂固，無法正確用函數(shù)思想來分析問題，解決問題，使之應(yīng)用題解決起來困難重重，所以讓我們還是沒有真正的做到把函數(shù)應(yīng)用到實(shí)踐生活中。但函數(shù)問題卻是時時刻刻的在我們身邊，我們應(yīng)該提高對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)意識，加強(qiáng)對實(shí)踐問題的分析，讓數(shù)學(xué)理論有機(jī)的和實(shí)踐問題結(jié)合起來。讓數(shù)學(xué)知識真正的應(yīng)用在實(shí)踐中，不再是空談數(shù)學(xué)理論。