M?矩陣Hadamard積最小特征值下界的進(jìn)一步研究

周 平，高美平，李艷艷

（文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南文山 663000）

M?矩陣Hadamard積最小特征值下界的進(jìn)一步研究

周 平，高美平，李艷艷

（文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南文山 663000）

對(duì)兩個(gè)非奇異M?矩陣的Hadamard積的最小特征值下界做進(jìn)一步研究，給出在不同情況下τ（B?A－1）和τ（A?A－1）的新估計(jì)式；并從理論上證明了新估計(jì)式在一定條件下改進(jìn)了現(xiàn)有文獻(xiàn)的結(jié)果；算例驗(yàn)證表明估計(jì)式提高了已有估計(jì)式的估計(jì)精確度.

M?矩陣；對(duì)角占優(yōu)；雙隨機(jī)；Hadamard積；最小特征值

0 預(yù)備知識(shí)

為了便于后文的敘述，文中引入以下記號(hào)：

設(shè)A＝（aij）∈Rn×n是非奇異M?矩陣，對(duì)任意i，j，k∈N，i≠j，定義

設(shè)A＝（aij）∈Zn，如果A可表示為A＝sI－P，其中P≥0，s≥ρ（P），則稱A為M?矩陣．特別地，當(dāng)s＝ρ（P）時(shí)，稱A為奇異M?矩陣；當(dāng)s＞ρ（P）時(shí)，稱A為非奇異M?矩陣．記所有n×n階非奇異M?矩陣所成之集為Mn．

設(shè)A＝（aij）∈Cn×n，B＝（bij）∈Cn×n，定義A?B＝（aijbij）∈Cn×n為A與B的Hadamard積［1?10］．如果n階實(shí)矩陣A的各行元素之和均為1，那么A叫做行隨機(jī)矩陣；如果n階實(shí)矩陣A的各列元素之和均為1，那么A叫做列隨機(jī)矩陣；若A與AT均為行隨機(jī)矩陣，則稱A為雙隨機(jī)矩陣［7?9］．

1988年，F(xiàn)iedler和Markham［2］得到：設(shè)A，B∈Rn×n都為非奇異M?矩陣，則A?B－1為M?矩陣；同時(shí)得到τ（A?A－1）的下界的一個(gè)結(jié)果：τ（A?A－1）≥n－1，并猜想τ（A?A－1）≥2n－1，在文［3］中證明了此猜想．

1991年，R.A.Horn［4］等在給出如下結(jié)果：

2008年，Huang Rong［5］給出如下結(jié)果：

2013年，Zhou Duanmei［10］等給出如下結(jié)果：

本文繼續(xù)討論τ（B?A－1）和τ（A?A－1）的下界．

引理1［6］若A＝（aij）∈Cn×n，則對(duì)任意的0≤α≤1和任意的正實(shí)數(shù)組x1，x2，…，xn，A的特征值位于下列區(qū)域：

3.維持試驗(yàn)檢測(cè)室內(nèi)環(huán)境的恒定，優(yōu)化實(shí)驗(yàn)室環(huán)境。注重實(shí)驗(yàn)室內(nèi)部溫度以及空氣循環(huán)系統(tǒng)的升級(jí)與改建，保持實(shí)驗(yàn)室內(nèi)溫度恒定以及整潔，對(duì)檢驗(yàn)后的樣品進(jìn)行及時(shí)處理和數(shù)據(jù)記錄，規(guī)范數(shù)據(jù)結(jié)果的保存以及留檔。

引理2［9］如果A＝（aij）為行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M?矩陣，那么A－1＝（βij）存在，且有βji≤mjiβii，i，j∈N，j≠i．

引理3［6?10］如果A＝（aij）∈Mn，是一個(gè)行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M?矩陣，那么A－1＝（βij）存在，且有

引理4［9］如果A＝（aij）∈Rn×n是M?矩陣，A－1＝（βij）是雙隨機(jī)矩陣，那么

1 主要結(jié)論

定理1 設(shè)A＝（aij）∈Rn×n是嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)M?矩陣，B＝（bij）∈Mn，A－1＝（βij），則

證明 令λ＝τ（B?A－1）．1）當(dāng)A?B為不可約矩陣時(shí)，根據(jù)Hadamard積的定義可得到A，B也為不可約矩陣，應(yīng)用引理1和引理2可知，存在i（1≤i≤n），有

即

由引理3，上式可變?yōu)?/p>

故

2）當(dāng)A?B可約時(shí)，令D＝（dij），其中

由于A，B∈Mn，從而對(duì)任意正數(shù)ε，只要ε足夠小時(shí)，A－εD與B－εD的所有主子式為正，且A－εD，B－εD是不可約的非奇異M?矩陣［2］，用A－εD和B－εD分別替換A，B，并且令ε→0，由1）和連續(xù)性可得到該結(jié)論．

注1： 在定理1中，當(dāng)α＝0時(shí)，得到

即定理4.8［10］，因此文［10］中的結(jié)果包含于本文定理1中．

證明 因?yàn)?/p>

所以

當(dāng)A－1是雙隨機(jī)矩陣時(shí)，應(yīng)用引理4同理可得到下列結(jié)論．

定理3 設(shè)A＝（aij），B＝（bij）∈Mn，且A－1＝（βij）是雙隨機(jī)矩陣，則

定理4 設(shè)A＝（aij）∈Mn，A－1＝（βij）是雙隨機(jī)矩陣，則

注3： 在定理3和4中，當(dāng)α＝0時(shí)，分別得到即文［10］給出的估計(jì)式，說(shuō)明本文定理3和定理4的結(jié)果包含文［10］中的結(jié)果．

由注1～注4可看出，本文所給出的這些估計(jì)式在一定條件下改進(jìn)了現(xiàn)有文獻(xiàn)的結(jié)果．下面用數(shù)值算例來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明．

2 數(shù)值例子

這里A，B∈Mn，根據(jù)MATLAB計(jì)算τ（B?A－1）＝0.2148．根據(jù)式（1），式（2）和式（3）計(jì)算，分別得到τ（B?A－1）≥0.07，τ（B?A－1）≥0.052和τ（B?A－1）≥0.075，但根據(jù)本文定理1，取α＝時(shí)，計(jì)算得τ（B?A－1）≥0.1653．

又分別應(yīng)用Fiedler和Markham的猜想，定理3.1［7］，定理3.2［8］中推論4.10［10］得

和τ（A?A－1）≥0.8602．但應(yīng)用本文定理4，當(dāng)取α＝時(shí)，得τ（A?A－1）≥0.9207．從此數(shù)值例子的計(jì)算結(jié)果表明，本文給出的新估計(jì)式改進(jìn)了Fiedler和Markham的猜想以及現(xiàn)有文獻(xiàn)的結(jié)果，所得結(jié)論是對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)的一個(gè)有益補(bǔ)充．

［1］ Berman A，Plemmons R J.Nonegative Matrices in the Mathematices Sciences［M］.New York：Acedemic Press，1979.

［2］ Fiedler M，Markham T.An inequality for the Hadamard Product of an M?matrix and Inverse M?matrix［J］.Linear Algebra and its applications，1988，101：1-8.

［3］ Yong X R.Proof of a conjecture of Fiedler and Markham［J］.Linear Algebra and its applications，2000，320：167-171.

［4］ Horn R A，Johnson C R.Topic in Matrix Analysis［M］.New York：Cambridge University Press，1991.

［5］ Huang R.Some inequalities for the Hadamard productand the Fan productofmatrices［J］.Linear Algebra and its appli?cations，2008，428：1551-1559.

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［9］ Li Y T，Liu X Y.Some new lower bounds for theminimum eigenvalue of the Hadamard product of an M?matrix and its in?verse［J］.Electronic Journal of Linear Algebra，2011，22：630-643.

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Further Research on Lower Bounds of the M inimum Eigenvalue for the Hadamard Product of M?matrix

ZHOU Ping，GAO Mei?ping，LIYan?yan
（College of Mathematics，Wenshan University，Wenshan Yunnan 663000，China）

For the Hadamard product of two nonsingular M?matrices is further research，and some new lower bounds ofτ（B?A－1）andτ（A?A－1）are given in different situations.It is proved that the new estimating for?mulas improve the results of the current in some cases；numerical example show that these formulas aremore accurate than several existing results.

M?matrix；diagonally dominant；doubly stochastic；hadamard product；smallest eigenvalue

O151.21

A

1671?6876（2014）03?0206?04

［責(zé)任編輯：李春紅］

2014?01?02

云南省科技廳應(yīng)用基礎(chǔ)研究青年基金項(xiàng)目（2013FD052）；云南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目（2012Y270，2013Y585）

周平（1987?），女，云南大理人，助教，碩士，研究方向?yàn)閿?shù)值代數(shù)和矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用.E?mail：yunpzjy＠126.com