劉 洋,解大鵬,楊 劉
(合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽合肥 230601)
一類三階m點(diǎn)邊值問題多重正解的存在性
劉 洋,解大鵬,楊 劉
(合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽合肥 230601)
應(yīng)用一個(gè)新的不動(dòng)點(diǎn)定理,討論了一類三階m點(diǎn)邊值問題多重正解的存在性.
邊值問題;不動(dòng)點(diǎn)定理;正解
近年來,微分方程邊值問題解的存在性與多重性在數(shù)學(xué)與工程科學(xué)方面引起了人們較大的興趣,國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)二階,三階乃至高階的方程進(jìn)行了研究,得出了大量有價(jià)值的結(jié)果[1?6].如文[6]研究了非線性三階三點(diǎn)邊值問題
正解的存在性.本文將考慮形如
(H1)f:[0,1]×[0,∞)→[0,∞)是連續(xù)的;
(H2)a:[0,1]→[0,∞)是連續(xù)的,并且在[0,1]上不恒等于零.
為了證明本文的主要結(jié)果,我們給出如下的預(yù)備知識(shí)和引理
定義1 映射φ被稱為P上的非負(fù)連續(xù)凹泛函,只要φ:P→[0,∞)連續(xù)且
φ(tx+(1-t)y)≥φt(x)+(1-t)φ(y),
對(duì)所有的x,y∈P以及0≤t≤1成立.類似地,映射?被稱為P上的非負(fù)連續(xù)凸泛函,只要φ:P→[0,∞)連續(xù)且
對(duì)所有的x,y∈P以及0≤t≤1成立.
定義2 給定常數(shù)r>a>0,L>0.設(shè)φ是P上的非負(fù)連續(xù)凹泛函,γ,β是P上的非負(fù)連續(xù)凸泛函.定義凸集
以下假設(shè)P上非負(fù)連續(xù)凸泛函γ,β滿足
(A1)存在M>0,使得對(duì)任意x∈P有‖x‖≤M max{γ(x),β(x)};
(A2)P(γ,r;β,L)=?,對(duì)任意的r>0,L>0P?E.
引理1[7]令E是空間,P是一個(gè)錐,給定常數(shù)r2≥d>b>r1>0,L2≥L1>0.假定γ,β_是P上的非負(fù)連續(xù)凸泛函_且滿足(A1),(A2),φ是P上的非負(fù)連續(xù)凹泛函且φ(y)≤γ(x),對(duì)所有x∈P(γ,r2;β,L2)成立.令T:P(γ,r2;β,L2)→P(γ,r2;β,L2)是全連續(xù)算子.假設(shè)
則T在P(γ,r2;β,L2)中至少有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1,x2,x3,且有
引理2 假設(shè)則邊值問題
有唯一解
其中
證明 由常規(guī)計(jì)算可證得,這里略去.
證明 由常規(guī)計(jì)算可證得,這里略去.
令E=C1[0,1]是一個(gè)Banach空間,并且定義其范數(shù)為令P是E上的錐,定義為
定義算子T:
顯然邊值問題(1)有解u=u(t)當(dāng)且僅當(dāng)u是(2)式定義的算子T的不動(dòng)點(diǎn).定義泛函
則γ,β,φ:P→[0,∞)是三個(gè)非負(fù)連續(xù)泛函,滿足‖u‖=max{γ(u),β(u)}=γ(u)=β(u),且(A1),(A2)成立,φ是凹泛函且φ(u)≤γ(u),對(duì)所有u∈P.令
使得
定理1 假設(shè)(H1),(H2)成立,假設(shè)存在常數(shù)
且如下假設(shè)成立:
證明 由(H1),(H2),引理3及(2)式知,T(u)≥0,u∈P,t∈[0,1],且
因此,T(P)?P.并且由Arzela?Ascoli定理易知算子T是全連續(xù)的.下面我們驗(yàn)證引理1的所有條件都滿足.
如果u∈P(γ,r2;β,L2),那么γ(u)=β(u)=0m≤a
t≤x1|u(t)|≤min{r2,L2}≤r2,從而由(H5)知,
最后驗(yàn)證驗(yàn)證引理1的條件(C3)成立,假設(shè)則由φ的定義及Tu∈P,有
于是,引理1的條件(C3)也成立.因此由引理1知邊值問題(1)至少有3個(gè)正解u1,u2,u3滿足
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Existence of M ultiple Positive Solutions for a Class of Third?order m?point Boundary Value Problem
LIU Yang,XIE Da?peng,YANG Liu
(School of Mathematics and Statistics,Hefei Normal University,Hefei Anhui230601,China)
By using a new fixed?point theorem,we establish the existence ofmultiple positivesolutions for a class of third?order m?point boundary value problem.
boundary value problem;fixed point theorem;positive solutions
O175.8
A
1671?6876(2014)03?0189?05
[責(zé)任編輯:李春紅]
2014?05?08
國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201109);安徽省高校省級(jí)優(yōu)秀青年人才基金項(xiàng)目(2012SQRL165)
劉洋(1983?),女,吉林長春人,講師,碩士,主要從事非線性泛函分析及其應(yīng)用研究.E?mail:dapengx@hftc.edu.cn