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    一類三階m點(diǎn)邊值問題多重正解的存在性

    2014-06-12 12:16:52解大鵬
    關(guān)鍵詞:三階邊值問題不動(dòng)點(diǎn)

    劉 洋,解大鵬,楊 劉

    (合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽合肥 230601)

    一類三階m點(diǎn)邊值問題多重正解的存在性

    劉 洋,解大鵬,楊 劉

    (合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽合肥 230601)

    應(yīng)用一個(gè)新的不動(dòng)點(diǎn)定理,討論了一類三階m點(diǎn)邊值問題多重正解的存在性.

    邊值問題;不動(dòng)點(diǎn)定理;正解

    0 引言

    近年來,微分方程邊值問題解的存在性與多重性在數(shù)學(xué)與工程科學(xué)方面引起了人們較大的興趣,國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)二階,三階乃至高階的方程進(jìn)行了研究,得出了大量有價(jià)值的結(jié)果[1?6].如文[6]研究了非線性三階三點(diǎn)邊值問題

    正解的存在性.本文將考慮形如

    (H1)f:[0,1]×[0,∞)→[0,∞)是連續(xù)的;

    (H2)a:[0,1]→[0,∞)是連續(xù)的,并且在[0,1]上不恒等于零.

    1 預(yù)備知識(shí)和引理

    為了證明本文的主要結(jié)果,我們給出如下的預(yù)備知識(shí)和引理

    定義1 映射φ被稱為P上的非負(fù)連續(xù)凹泛函,只要φ:P→[0,∞)連續(xù)且

    φ(tx+(1-t)y)≥φt(x)+(1-t)φ(y),

    對(duì)所有的x,y∈P以及0≤t≤1成立.類似地,映射?被稱為P上的非負(fù)連續(xù)凸泛函,只要φ:P→[0,∞)連續(xù)且

    對(duì)所有的x,y∈P以及0≤t≤1成立.

    定義2 給定常數(shù)r>a>0,L>0.設(shè)φ是P上的非負(fù)連續(xù)凹泛函,γ,β是P上的非負(fù)連續(xù)凸泛函.定義凸集

    以下假設(shè)P上非負(fù)連續(xù)凸泛函γ,β滿足

    (A1)存在M>0,使得對(duì)任意x∈P有‖x‖≤M max{γ(x),β(x)};

    (A2)P(γ,r;β,L)=?,對(duì)任意的r>0,L>0P?E.

    引理1[7]令E是空間,P是一個(gè)錐,給定常數(shù)r2≥d>b>r1>0,L2≥L1>0.假定γ,β_是P上的非負(fù)連續(xù)凸泛函_且滿足(A1),(A2),φ是P上的非負(fù)連續(xù)凹泛函且φ(y)≤γ(x),對(duì)所有x∈P(γ,r2;β,L2)成立.令T:P(γ,r2;β,L2)→P(γ,r2;β,L2)是全連續(xù)算子.假設(shè)

    則T在P(γ,r2;β,L2)中至少有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1,x2,x3,且有

    引理2 假設(shè)則邊值問題

    有唯一解

    其中

    證明 由常規(guī)計(jì)算可證得,這里略去.

    證明 由常規(guī)計(jì)算可證得,這里略去.

    2 主要結(jié)果

    令E=C1[0,1]是一個(gè)Banach空間,并且定義其范數(shù)為令P是E上的錐,定義為

    定義算子T:

    顯然邊值問題(1)有解u=u(t)當(dāng)且僅當(dāng)u是(2)式定義的算子T的不動(dòng)點(diǎn).定義泛函

    則γ,β,φ:P→[0,∞)是三個(gè)非負(fù)連續(xù)泛函,滿足‖u‖=max{γ(u),β(u)}=γ(u)=β(u),且(A1),(A2)成立,φ是凹泛函且φ(u)≤γ(u),對(duì)所有u∈P.令

    使得

    定理1 假設(shè)(H1),(H2)成立,假設(shè)存在常數(shù)

    且如下假設(shè)成立:

    證明 由(H1),(H2),引理3及(2)式知,T(u)≥0,u∈P,t∈[0,1],且

    因此,T(P)?P.并且由Arzela?Ascoli定理易知算子T是全連續(xù)的.下面我們驗(yàn)證引理1的所有條件都滿足.

    如果u∈P(γ,r2;β,L2),那么γ(u)=β(u)=0m≤a

    t≤x1|u(t)|≤min{r2,L2}≤r2,從而由(H5)知,

    最后驗(yàn)證驗(yàn)證引理1的條件(C3)成立,假設(shè)則由φ的定義及Tu∈P,有

    于是,引理1的條件(C3)也成立.因此由引理1知邊值問題(1)至少有3個(gè)正解u1,u2,u3滿足

    [1] Guo L J,Sun J P,Zhao Y H.Existence of positive solution for nonlinear third?order three?point boundary value prob?lem[J].Nonlinear Anal,2008,68(10):3151-3158.

    [2] Bai Z,F(xiàn)ei X.Existence of triple positive solutions for a third order generalized right focal problem[J].Math Inequal Appl,2006,9(3):437-444.

    [3] Ma R.Multiplicity results for a third order boundary value problem at reonance[J].Nonliear Analysis,1998,32(4):493-499.

    [4] Sun Y.Positive solutions of singular third order boundary value problem[J].Math Anal Appl,2005,306:589-603.

    [5] Xie D P,Liu Y,Bai C Z.Existence ofmultiple positive solutions of higher ordermulti?point nonhomogeneous boundary value problem[J].Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations,2010,33:1-13.

    [6] 解大鵬,李東.一類三階三點(diǎn)邊值問題正解的存在性[J].淮陰師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,6(3):192-195.

    [7] Bai Z,Ge W.Existence of three positive solutions for some second?order boundary?value problems[J].Comput Math Appl,2004,48:699-707.

    Existence of M ultiple Positive Solutions for a Class of Third?order m?point Boundary Value Problem

    LIU Yang,XIE Da?peng,YANG Liu
    (School of Mathematics and Statistics,Hefei Normal University,Hefei Anhui230601,China)

    By using a new fixed?point theorem,we establish the existence ofmultiple positivesolutions for a class of third?order m?point boundary value problem.

    boundary value problem;fixed point theorem;positive solutions

    O175.8

    A

    1671?6876(2014)03?0189?05

    [責(zé)任編輯:李春紅]

    2014?05?08

    國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201109);安徽省高校省級(jí)優(yōu)秀青年人才基金項(xiàng)目(2012SQRL165)

    劉洋(1983?),女,吉林長春人,講師,碩士,主要從事非線性泛函分析及其應(yīng)用研究.E?mail:dapengx@hftc.edu.cn

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