一類三階m點(diǎn)邊值問題多重正解的存在性

劉 洋，解大鵬，楊 劉

（合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽合肥 230601）

一類三階m點(diǎn)邊值問題多重正解的存在性

劉 洋，解大鵬，楊 劉

（合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽合肥 230601）

應(yīng)用一個(gè)新的不動(dòng)點(diǎn)定理，討論了一類三階m點(diǎn)邊值問題多重正解的存在性.

邊值問題；不動(dòng)點(diǎn)定理；正解

0 引言

近年來，微分方程邊值問題解的存在性與多重性在數(shù)學(xué)與工程科學(xué)方面引起了人們較大的興趣，國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)二階，三階乃至高階的方程進(jìn)行了研究，得出了大量有價(jià)值的結(jié)果［1?6］．如文［6］研究了非線性三階三點(diǎn)邊值問題

正解的存在性．本文將考慮形如

（H1）f：［0，1］×［0，∞）→［0，∞）是連續(xù)的；

（H2）a：［0，1］→［0，∞）是連續(xù)的，并且在［0，1］上不恒等于零．

1 預(yù)備知識(shí)和引理

為了證明本文的主要結(jié)果，我們給出如下的預(yù)備知識(shí)和引理

定義1 映射φ被稱為P上的非負(fù)連續(xù)凹泛函，只要φ：P→［0，∞）連續(xù)且

φ（tx＋（1－t）y）≥φt（x）＋（1－t）φ（y），

對(duì)所有的x，y∈P以及0≤t≤1成立．類似地，映射?被稱為P上的非負(fù)連續(xù)凸泛函，只要φ：P→［0，∞）連續(xù)且

對(duì)所有的x，y∈P以及0≤t≤1成立．

定義2 給定常數(shù)r＞a＞0，L＞0．設(shè)φ是P上的非負(fù)連續(xù)凹泛函，γ，β是P上的非負(fù)連續(xù)凸泛函．定義凸集

以下假設(shè)P上非負(fù)連續(xù)凸泛函γ，β滿足

（A1）存在M＞0，使得對(duì)任意x∈P有‖x‖≤M max｛γ（x），β（x）｝；

（A2）P（γ，r；β，L）＝?，對(duì)任意的r＞0，L＞0P?E．

引理1［7］令E是空間，P是一個(gè)錐，給定常數(shù)r2≥d＞b＞r1＞0，L2≥L1＞0．假定γ，β_是P上的非負(fù)連續(xù)凸泛函_且滿足（A1），（A2），φ是P上的非負(fù)連續(xù)凹泛函且φ（y）≤γ（x），對(duì)所有x∈P（γ，r2；β，L2）成立．令T：P（γ，r2；β，L2）→P（γ，r2；β，L2）是全連續(xù)算子．假設(shè)

則T在P（γ，r2；β，L2）中至少有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1，x2，x3，且有

引理2 假設(shè)則邊值問題

有唯一解

其中

證明 由常規(guī)計(jì)算可證得，這里略去．

證明 由常規(guī)計(jì)算可證得，這里略去．

2 主要結(jié)果

令E＝C1［0，1］是一個(gè)Banach空間，并且定義其范數(shù)為令P是E上的錐，定義為

定義算子T：

顯然邊值問題（1）有解u＝u（t）當(dāng)且僅當(dāng)u是（2）式定義的算子T的不動(dòng)點(diǎn)．定義泛函

則γ，β，φ：P→［0，∞）是三個(gè)非負(fù)連續(xù)泛函，滿足‖u‖＝max｛γ（u），β（u）｝＝γ（u）＝β（u），且（A1），（A2）成立，φ是凹泛函且φ（u）≤γ（u），對(duì)所有u∈P．令

使得

定理1 假設(shè)（H1），（H2）成立，假設(shè)存在常數(shù)

且如下假設(shè)成立：

證明 由（H1），（H2），引理3及（2）式知，T（u）≥0，u∈P，t∈［0，1］，且

因此，T（P）?P．并且由Arzela?Ascoli定理易知算子T是全連續(xù)的．下面我們驗(yàn)證引理1的所有條件都滿足．

如果u∈P（γ，r2；β，L2），那么γ（u）＝β（u）＝0m≤a

t≤x1｜u（t）｜≤min｛r2，L2｝≤r2，從而由（H5）知，

最后驗(yàn)證驗(yàn)證引理1的條件（C3）成立，假設(shè)則由φ的定義及Tu∈P，有

于是，引理1的條件（C3）也成立．因此由引理1知邊值問題（1）至少有3個(gè)正解u1，u2，u3滿足

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［7］ Bai Z，Ge W.Existence of three positive solutions for some second?order boundary?value problems［J］.Comput Math Appl，2004，48：699-707.

Existence of M ultiple Positive Solutions for a Class of Third?order m?point Boundary Value Problem

LIU Yang，XIE Da?peng，YANG Liu
（School of Mathematics and Statistics，Hefei Normal University，Hefei Anhui230601，China）

By using a new fixed?point theorem，we establish the existence ofmultiple positivesolutions for a class of third?order m?point boundary value problem.

boundary value problem；fixed point theorem；positive solutions

O175.8

A

1671?6876（2014）03?0189?05

［責(zé)任編輯：李春紅］

2014?05?08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11201109）；安徽省高校省級(jí)優(yōu)秀青年人才基金項(xiàng)目（2012SQRL165）

劉洋（1983?），女，吉林長春人，講師，碩士，主要從事非線性泛函分析及其應(yīng)用研究.E?mail：dapengx＠hftc.edu.cn