高等代數(shù)學(xué)中的化歸思想探究

凌蕾花

(鎮(zhèn)江市高等?？茖W(xué)校 丹陽(yáng)師范學(xué)院，江蘇 丹陽(yáng) 212300)

侯敏義[1]指出“化歸是將未知轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已知的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法”．劉洪星、梁宏偉[2]分析了化歸在高等代數(shù)課程教學(xué)中的滲透，列舉了標(biāo)準(zhǔn)形式化問(wèn)題、具體化問(wèn)題、低層次化問(wèn)題與和諧統(tǒng)一性問(wèn)題．郭微、楊月婷[3]簡(jiǎn)要列舉了高等代數(shù)學(xué)中的化歸問(wèn)題，即向量空間中向量之間的關(guān)系可以由向量在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)向量來(lái)表現(xiàn)，對(duì)于向量空間中的線性變換可以通過(guò)選定空間的基底使得該線性變換通過(guò)矩陣表示出來(lái)，還有二次型的研究可以轉(zhuǎn)化為對(duì)稱矩陣的研究．這些分析初步反映了化歸的作用，但對(duì)化歸的成因和方法強(qiáng)調(diào)不夠．本文將進(jìn)一步分析高等代數(shù)學(xué)中的化歸方法，揭示化歸的依據(jù)或工具，充分展現(xiàn)它在高等代數(shù)學(xué)中是如何發(fā)揮作用的，有效促進(jìn)課程的教與學(xué)．

1 線性方程組中的化歸

1.1 線性方程組的一般解法中的化歸

線性方程組的一般解法即Gauss消元法是化歸的經(jīng)典實(shí)例，它實(shí)際上有三步．第一步，將解一般方程組問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解一個(gè)特殊方程組.在這一步中，將方程組的簡(jiǎn)化問(wèn)題化為矩陣的簡(jiǎn)化問(wèn)題，方程組在化簡(jiǎn)過(guò)程中變化的是它的系數(shù)(元本身不變)，將所有系數(shù)依次排列構(gòu)成增廣矩陣，直接對(duì)增廣矩陣進(jìn)行變化．第二步，求解出這個(gè)特殊方程組的解．其方法就是迭代法．第三步，將特殊方程組的解作為原方程組的解．其依據(jù)就是同解定理，它反映了線性方程組的本質(zhì)屬性．有了矩陣的初等變換和同解定理，再加上迭代法最終得到了Gauss消元法．整個(gè)消元法過(guò)程中充分體現(xiàn)了一般與特殊的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜與簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化．

1.2 解的結(jié)構(gòu)表示中的化歸

在研究非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題時(shí)，大家通常是將其轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，再用非齊次線性方程組的一個(gè)特解與對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系來(lái)表示非齊次線性方程組的一般解．這種做法的依據(jù)是非齊次線性方程組與對(duì)應(yīng)齊次線性方程組解之間的關(guān)系，正是因?yàn)橛辛诉@一關(guān)系才實(shí)現(xiàn)了上述轉(zhuǎn)化．整個(gè)過(guò)程也體現(xiàn)了一般與特殊的轉(zhuǎn)化．

2 一元多項(xiàng)式中的化歸

2.1 最大公因式中的化歸

求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式用的是輾轉(zhuǎn)相除法，這一方法的本質(zhì)在于不斷地用帶余除法將求f與g的最大公因式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求g與r(g除f的余式)的最大公因式問(wèn)題，經(jīng)有限步后便得結(jié)果．能夠這樣做的依據(jù)是關(guān)系式(f,g)=(g,r)，它僅由最大公因式定義便可得出．當(dāng)然，帶余除法才是實(shí)現(xiàn)這一化歸的有力工具．整個(gè)化歸過(guò)程展現(xiàn)的是高次多項(xiàng)式向低次多項(xiàng)式的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜多項(xiàng)式向簡(jiǎn)單多項(xiàng)式的轉(zhuǎn)化．

2.2 有理根中的化歸

求一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式有理根問(wèn)題也是典型的化歸問(wèn)題．其解法就是先找出多項(xiàng)式所有可能的有理根(只有有限個(gè))，然后再一一篩選，得到最終確定的根．前一步的依據(jù)是定理2.7[4]，它提供了判斷一個(gè)有理數(shù)是否為多項(xiàng)式根的方法，能夠確定出多項(xiàng)式所有可能的有理根．后一步用到的方法是綜合除法，能夠準(zhǔn)確找到多項(xiàng)式所有有理根．整個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了“從未知化可知，再由可知化已知”思想．

3 行列式中的化歸

3.1 定義中的化歸

行列式的常用定義有三種，其中最普遍的一種稱為歸納定義．容易發(fā)現(xiàn)，其定義就是通過(guò)n-1階行列式來(lái)定義n階行列式的，其定義是基于2階行列式的定義是已知的．按此定義可以將任意一個(gè)高階行列式化為低階行列式，直至2階．歸納定義通過(guò)由低階表示高階來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題化歸，體現(xiàn)的是“化高為低”思想．

3.2 計(jì)算中的化歸

行列式的計(jì)算方法有多種，其中行列式性質(zhì)是行列式計(jì)算的強(qiáng)有力工具，依靠它可以有效實(shí)現(xiàn)問(wèn)題化歸．具體來(lái)看，性質(zhì)1“行列式某一行元素的公因子可以提出來(lái)”可以將行列式的某一行簡(jiǎn)化，體現(xiàn)了“化繁為簡(jiǎn)”思想；性質(zhì)2“行列式某一行是兩組數(shù)的和，則這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和，而這兩個(gè)行列式除這一行外全與原來(lái)行列式的對(duì)應(yīng)的行一樣”將行列式分解成兩個(gè)行列式，而這兩個(gè)行列式往往容易求解，這一性質(zhì)的應(yīng)用體現(xiàn)了“化難為易”思想，而性質(zhì)本身又滲透了“分解與組合”思想； 性質(zhì)3“把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變”同樣可以簡(jiǎn)化行列式，實(shí)現(xiàn)“化繁為簡(jiǎn)”．需要指出的是，性質(zhì)1與性質(zhì)2反映了行列式的線性性質(zhì)．

按行(列)展開定理也是行列式計(jì)算的一種工具，與歸納定義一樣，它也是通過(guò)實(shí)現(xiàn)化高階行列式為低階行列式來(lái)解決問(wèn)題的．

4 矩陣中的化歸

矩陣是關(guān)于數(shù)的矩形陣列，這一定義反映出矩陣是一個(gè)數(shù)的集體，所有數(shù)按位置排列構(gòu)成一個(gè)整體即為矩陣．顯然，其中任何一個(gè)數(shù)(局部)發(fā)生變化，則矩陣(整體)也相應(yīng)變化．可見，矩陣本身就是一個(gè)整體性概念，它體現(xiàn)出局部對(duì)整體的影響．下面均將矩陣看作一個(gè)整體性來(lái)理解．

4.1 運(yùn)算中的化歸

矩陣運(yùn)算中充滿著化歸問(wèn)題．例如加法運(yùn)算，矩陣A與矩陣B相加(理解為兩個(gè)整體相加)，是先將矩陣A與矩陣B分解，將它們的元素(理解為局部)松綁(不再綁定成一個(gè)矩陣)，然后讓相應(yīng)位置上的元素相加，所得的和仍舊回歸原位，最后所有的和按相應(yīng)位置排列好后就得到一個(gè)新矩陣(新整體)，這就是矩陣A與矩陣B的和．可見，由矩陣A與矩陣B得到它們的和是通過(guò)它們的元素求和而來(lái)的，換言之，求和過(guò)程體現(xiàn)了整體分解為局部，局部再組合成整體的變化．類似地，矩陣的減法、數(shù)乘和乘法運(yùn)算等都是如此．不難理解的是，不同型(行數(shù)或列數(shù)不同)的矩陣不能相加，因?yàn)樗鼈儾荒軐?shí)現(xiàn)相應(yīng)位置上的元素相加．

4.2 關(guān)系中的化歸

矩陣相似關(guān)系的主要應(yīng)用是判斷一個(gè)矩陣是否可對(duì)角化，其依據(jù)是判斷所有特征值的特征子空間的基向量的個(gè)數(shù)之和是否等于矩陣的階數(shù)，而要求基向量就必須要用到Gauss消元法，如此化未知為已知．

矩陣合同的判斷是通過(guò)矩陣的合同變換先將矩陣化為數(shù)量矩陣，然后觀察對(duì)角線上的非零元素個(gè)數(shù)是否相同即可得到原有矩陣是否合同(研究范圍是復(fù)數(shù)域，若是實(shí)數(shù)域則分別觀察正的和負(fù)的元素的個(gè)數(shù)是否對(duì)應(yīng)相同即可)，而合同變換的過(guò)程就是矩陣初等變換，所以矩陣初等變換還是判斷矩陣合同的工具．

5 向量空間中的化歸

5.1 線性組合中的化歸

判斷一向量是否為給定向量組的一個(gè)線性組合，這一問(wèn)題通常是轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)線性方程組解的問(wèn)題，若有解則是組合且解就是組合系數(shù)．可以看出，方程組解的問(wèn)題是一個(gè)基本問(wèn)題，其他很多問(wèn)題都是轉(zhuǎn)化為這一問(wèn)題來(lái)解決．

5.2 向量組的秩中的化歸

求向量組的秩通常是先將向量組寫成列的形式得到一矩陣，如此將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求矩陣的秩．然后，求矩陣的秩則是通過(guò)矩陣的初等變換將矩陣化成階梯形，判斷其非零行的個(gè)數(shù)即為原向量組的秩．

5.3 基中的化歸

對(duì)于有限維向量空間而言，向量有無(wú)限多個(gè)，似乎不好把握，但實(shí)際上只要找到空間的基(它由有限個(gè)向量組成)，就可以通過(guò)它來(lái)把握整個(gè)空間，實(shí)現(xiàn)“有限”把握“無(wú)限”．

6 二次型中的化歸

6.1 二次型等價(jià)關(guān)系中的化歸

二次型等價(jià)關(guān)系的判斷通常是轉(zhuǎn)化為二次型矩陣的合同關(guān)系的判斷，而合同關(guān)系的判斷在上面已經(jīng)解決，這里轉(zhuǎn)化的依據(jù)是二次型的矩陣表示，體現(xiàn)的是未知向已知的轉(zhuǎn)化．

6.2 二次型標(biāo)準(zhǔn)形計(jì)算中的化歸

通過(guò)簡(jiǎn)單的配方就可以得到二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，實(shí)現(xiàn)將一個(gè)二次型的簡(jiǎn)化，體現(xiàn)“化繁為簡(jiǎn)”思想．可見，配方法是求二次型標(biāo)準(zhǔn)形的有力工具．

6.3 二次型正定判斷中的化歸

定理9.10[4]給出了二次型正定的判斷方法．可見，二次型正定的判斷問(wèn)題完全轉(zhuǎn)化為主子式(即行列式)的計(jì)算問(wèn)題，從而行列式的計(jì)算成為判斷二次型正定的工具．

7 化歸的特征分析及其教學(xué)啟發(fā)

7.1 化歸的特征分析

依據(jù)1～6部分的分析，按照化歸的常見模式對(duì)實(shí)例進(jìn)行分類得到表1．

表1化歸模式與實(shí)例對(duì)照表

由表1可以看出以下三點(diǎn):一是化未知為已知的實(shí)例最多，這說(shuō)明這種化歸模式在高等代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用最普遍；二是部分實(shí)例(如，Gauss消元法、最大公因式求法)中運(yùn)用了兩種或以上模式，這說(shuō)明化歸問(wèn)題需要多種形式，不是一步完成，需要多個(gè)步驟；三是化歸模式齊全，幾乎所有的化歸模式在這里都用到．

依據(jù)1～6部分的分析歸納出化歸實(shí)例對(duì)應(yīng)的依據(jù)或工具，得到表2．

表2化歸實(shí)例及其依據(jù)或工具對(duì)照表

由表2可以看出，化歸的依據(jù)往往都是一些關(guān)系，而化歸的工具則是基本定義、性質(zhì)或定理．在所有工具中，矩陣的初等變換是最突出的．

7.2 教學(xué)啟發(fā)

以上分析告訴我們，要真正理解化歸、用好化歸關(guān)鍵在于以下兩點(diǎn):一是理解基本概念、性質(zhì)和定理，它們就是化歸的基本依據(jù)或工具，在教學(xué)中可以多舉例子幫助學(xué)生理解，多做練習(xí)加強(qiáng)鞏固；二是理解不同問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)，它們也是化歸的重要依據(jù)， 在教學(xué)中可以多總結(jié)、多畫結(jié)構(gòu)圖、多反思來(lái)強(qiáng)化對(duì)這些關(guān)系的理解．

參考文獻(xiàn)：

[1]侯敏義.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論[M].長(zhǎng)春:東北師范大學(xué)出版社,1991.

[2]劉洪星,梁宏偉.化歸原則在《高等代數(shù)》教學(xué)中的滲透[J].安陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2006(5):14-16.

[3]郭微,楊月婷.數(shù)學(xué)思想方法在高等代數(shù)教學(xué)中的滲透[J].高等數(shù)學(xué)研究,2009,12(1):105-106.

[4]凌蕾花,卜玉成.矩陣在“高等代數(shù)”中的應(yīng)用基礎(chǔ)分析[J].鎮(zhèn)江高專學(xué)報(bào),2012,25(1):101-103.