磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)的嚴(yán)格數(shù)學(xué)處理

劉 瑩，劉國(guó)松

（長(zhǎng)春工程學(xué)院理學(xué)院，長(zhǎng)春130012）

0 引言

電偶極子和磁偶極子是介質(zhì)電磁屬性描述和研究的重要模型。相對(duì)而言，磁偶極子模型的處理和應(yīng)用遠(yuǎn)較電偶極子復(fù)雜，原因主要在于磁場(chǎng)的無(wú)（散度）源、有旋性。電、磁偶極模型在普通物理課程中均以典型例題的面目出現(xiàn)在教科書和教學(xué)過程中[1]，卻沒有深入闡述其對(duì)于介質(zhì)電磁場(chǎng)研究的重要性，更談不上在介質(zhì)場(chǎng)處理中的應(yīng)用。

由于介質(zhì)場(chǎng)對(duì)勢(shì)函數(shù)的貢獻(xiàn)歸根結(jié)底來(lái)源于電、磁偶極子，即分子偶極矩，而分子尺度在連續(xù)介質(zhì)理論中相對(duì)于連續(xù)介質(zhì)微元總可以認(rèn)定為充分小量，所以無(wú)論是電極化強(qiáng)度，還是磁化強(qiáng)度，都可以用大量偶極矩貢獻(xiàn)的宏觀平均描述，故而遠(yuǎn)場(chǎng)表達(dá)是很好的重要近似。

對(duì)于磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)的計(jì)算，眾多教科書中都有涉及[2]。通行的處理方法是將給定半徑的載流圓環(huán)置于歐氏空間的x－y平面且使其環(huán)心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，在z－x平面上選取任意充分遠(yuǎn)點(diǎn)，采取一階近似，得到遠(yuǎn)場(chǎng)表達(dá)式，再利用偶極子場(chǎng)關(guān)于z軸的對(duì)稱性，得到空間任意遠(yuǎn)點(diǎn)偶極場(chǎng)[3]，最后一步推廣到磁偶極子位于空間任意位置、偶極矩空間指向任意情形下，距其充分遠(yuǎn)點(diǎn)磁矢勢(shì)的嚴(yán)格表達(dá)。這種方法雖然得到了可靠的結(jié)果，但是操作過程復(fù)雜，而且從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)是不嚴(yán)格的。

下文首先對(duì)通行處理做一簡(jiǎn)要回顧，然后再介紹嚴(yán)格的處理過程。

圖1 磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)一般處理模型

如圖1所示，選回路中心為球面坐標(biāo)的原點(diǎn)，有關(guān)源坐標(biāo)的物理量是帶撇的。在此情況下，可做某些近似計(jì)算。考慮體系具有軸對(duì)稱性，對(duì)稱軸為z坐標(biāo)軸，顯然磁矢勢(shì)的模與場(chǎng)點(diǎn)的角位置φ無(wú)關(guān)，為了方便，在z－x平面內(nèi)選取任意遠(yuǎn)點(diǎn)進(jìn)行磁矢勢(shì)計(jì)算。在載流環(huán)上選取任意載流微元Idl′＝Iadφ′eφ，其對(duì)場(chǎng)點(diǎn)的磁矢勢(shì)貢獻(xiàn)為

因此，場(chǎng)點(diǎn)處的磁矢勢(shì)為

利用遠(yuǎn)場(chǎng)條件，r＞＞a，進(jìn)行如下泰勒級(jí)數(shù)展開得到：

對(duì)于任意載流微元Idl，都存在與其對(duì)稱的微元，它們對(duì)磁矢勢(shì)的貢獻(xiàn)在x方向相互抵消。這里需要注意：矢量積分過程中方向的判斷問題。所以

該處理過程雖然得到的結(jié)果是正確的，但是推理過程嚴(yán)格性存在缺陷。嚴(yán)格的處理應(yīng)當(dāng)將磁偶極子置于坐標(biāo)系中的一般位置、偶極矩指向任意，且場(chǎng)點(diǎn)選擇任意。另外從球坐標(biāo)表達(dá)式（2）到矢量乘積表達(dá)式（3）的過渡處理過程難以令人信服。

1 磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)的嚴(yán)格處理

載流環(huán)位于歐氏空間任意位置，其環(huán)心位置矢量為r′，以該矢端為參考點(diǎn)的載流微元相對(duì)位矢為r″，遠(yuǎn)場(chǎng)點(diǎn)位矢為r，則任意載流微元Idr″的位置矢量為r′＋r″，如圖2所示。

圖2 磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)嚴(yán)格處理模型

進(jìn)行一階展開得到

則根據(jù)式（1）矢勢(shì)微元

根據(jù)矢量運(yùn)算恒等式

故而

所以

這樣就在坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的前提下得到了磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)的嚴(yán)格表達(dá)式。

2 磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)結(jié)論的重要地位

正如同在電介質(zhì)靜電場(chǎng)中電偶極矩有著重要地位一樣[4]，在描述和研究磁介質(zhì)磁化機(jī)理以及計(jì)算介質(zhì)磁場(chǎng)時(shí)，磁偶極子模型是不二選擇，不僅使問題得以簡(jiǎn)化，而且形象易懂，表達(dá)嚴(yán)格[5]。介質(zhì)的磁化源于磁場(chǎng)對(duì)電子運(yùn)動(dòng)的作用，電子有兩種基本運(yùn)動(dòng)方式，一是軌道運(yùn)動(dòng)，二是自旋。無(wú)論哪種運(yùn)動(dòng)都可以用一個(gè)等效磁矩（分子磁矩）來(lái)描述。普通介質(zhì)（順磁質(zhì)、抗磁質(zhì)）在沒有外場(chǎng)條件下，每個(gè)分子磁矩的空間指向具有隨機(jī)性，全部分子磁矩的矢量和為0，對(duì)空間任意一點(diǎn)的磁矢勢(shì)貢獻(xiàn)抵消，從而不呈現(xiàn)宏觀磁屬性；在外磁場(chǎng)當(dāng)中，無(wú)論是抗磁質(zhì)，還是順磁質(zhì)，分子磁矩的空間排布都將具有傾向性，從而凈磁矩不為0，空間一般點(diǎn)的總磁矢勢(shì)貢獻(xiàn)不為0，介質(zhì)呈現(xiàn)磁屬性。因而磁介質(zhì)的磁化程度，完全可以用凈磁偶極矩密度刻畫。據(jù)此，在宏觀充分小（刻畫空間各點(diǎn)）、微觀足夠大（磁偶極子足夠多，取平均，結(jié)果更可靠）的介質(zhì)區(qū)域內(nèi)將全部磁偶極矩矢量加和，除以該體積微元的體積，得到單位體積內(nèi)的平均磁偶極矩，它可以準(zhǔn)確地描述介質(zhì)受外場(chǎng)的影響程度，此即為磁化強(qiáng)度[6]。

而且對(duì)于任意介質(zhì)微元dV，其凈磁偶極矩可以用磁化強(qiáng)度M（r′）和體積微元dV之乘積表達(dá)，如圖3所示，它實(shí)際上就是一個(gè)磁矩為M（r′）dV的磁偶極子。依據(jù)上述推理結(jié)果，直接得到該“磁偶極子”對(duì)空間一點(diǎn)的磁矢勢(shì)貢獻(xiàn)

圖3 磁偶極子模型在磁介質(zhì)場(chǎng)中的應(yīng)用

依據(jù)磁化強(qiáng)度空間分布函數(shù)進(jìn)行積分，就可以得到空間磁矢勢(shì)分布的介質(zhì)貢獻(xiàn)。

實(shí)際上，磁偶極模型不僅是磁介質(zhì)場(chǎng)研究的基礎(chǔ)模型，也是宏觀復(fù)雜載流體的分解模型。茲以圖4中的簡(jiǎn)單載流體為例予以簡(jiǎn)單說(shuō)明。圖中的平面矩形閉合回路長(zhǎng)為a，寬為b，則其總磁矩為Iab，矢量表達(dá)為

顯然可以將該回路按如圖4方式無(wú)窮剖分，由于每相鄰子回路的邊界積分抵消，故而

因而宏觀導(dǎo)體閉合回路仍然可以用磁偶極子模型（分解）表達(dá)。

需要指出分解表達(dá)可以在以載流閉合回路為邊界的任意單通開曲面上進(jìn)行，這是由旋量場(chǎng)的屬性決定的。由于無(wú)窮剖分下的偶極微元可以是任意形狀的矢量微元，在前述嚴(yán)格處理中采用了圓環(huán)偶極子模型。

圖4 磁偶極模型的宏觀導(dǎo)體回路應(yīng)用

3 結(jié)語(yǔ)

本文先采用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理，給出了磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。較為詳細(xì)地討論了磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)模型在磁學(xué)研究分析中的基礎(chǔ)地位，為電磁場(chǎng)理論的教學(xué)和研究工作提供了一種借鑒思路。

[1]趙近芳.大學(xué)物理學(xué)[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，2011：6－7.

[2]Cheng David K.電磁場(chǎng)與電磁波[M].北京：清華大學(xué)出版社，2013：162－164.

[3]葉齊政，陳德智.電磁場(chǎng)教程[M].北京：高等教育出版社，2012：158－160.

[4]歐陽(yáng)金華.介質(zhì)極化教學(xué)的幾個(gè)問題[J].電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2008，30（2）：1－3.

[5]李靜.微小電流環(huán)與磁偶極子[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，27（4）：1－3.

[6]趙凱華.電磁學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1985：551－552.